【摘 要】一方面，高考真題是高三學(xué)生復(fù)習(xí)的寶貴資源；另一方面，把關(guān)題、壓軸題難度大，不適合課堂教學(xué)。那么如何在課堂中充分利用這些難度大的高考題？本文以江蘇近幾年高考與數(shù)列相關(guān)的把關(guān)題、壓軸題為例，說明適當(dāng)鋪墊可以解決這個(gè)問題。這不僅在思路上給予學(xué)生提示，且分散了整道題的難點(diǎn)，便于在課堂中利用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)列壓軸題 課堂利用 鋪墊

【中圖分類號(hào)】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2014）07-0135-02

一方面，高考真題是高三學(xué)生復(fù)習(xí)的寶貴資源；另一方面，把關(guān)題、壓軸題難度大，不適合課堂教學(xué)。那么，如何在課堂中充分利用這些難度大的高考題？

適當(dāng)鋪墊可以解決這個(gè)問題，它不僅在思路上給予學(xué)生提示，且分散了整道題的難點(diǎn)，便于在課堂中利用。

下面以江蘇近幾年高考與數(shù)列相關(guān)的把關(guān)題、壓軸題為例，說明這個(gè)問題：

2008年，江蘇省高考執(zhí)行了新的改革方案，分析江蘇這幾年的高考題發(fā)現(xiàn)，數(shù)列在江蘇高考中始終是一道小題一道大題，且大題幾乎都為難題，與其他省市?？嫉臄?shù)列與不等式相結(jié)合而形成難點(diǎn)不同，江蘇高考數(shù)列題有其獨(dú)特的風(fēng)格，主要難點(diǎn)回歸等差等比數(shù)列的整體性質(zhì)，不僅要求學(xué)生對(duì)代數(shù)式有較強(qiáng)的化簡、變形能力，還重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

如2008年先要意識(shí)到一個(gè)既等差又等比的數(shù)列是常數(shù)

列，再是存在性命題的證明；2010年對(duì) （m+n=3k）

下確界的估計(jì)；2011年由角標(biāo)差3和差4的項(xiàng)成等差數(shù)列，得出數(shù)列本身是等差數(shù)列；2012年由1

必須承認(rèn)，命題者的設(shè)計(jì)非常精妙。但從學(xué)生的角度思考，這些問題是如何想到的？這需要多么高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

網(wǎng)上曾經(jīng)流傳一句話：“世界上沒有無緣無故的愛，也沒有無緣無故的恨，更加沒有無緣無故的第一小問。——數(shù)學(xué)老師”。而江蘇這幾年的數(shù)列題，恰恰是“無緣無故的第一小問”；換句話說，整道題難點(diǎn)的解決缺少適當(dāng)?shù)匿亯|。這使得學(xué)生解題時(shí)感覺無從下手，特別是2011年作為壓軸題，難倒了99.9%以上的考生，而2012年的試題難度不亞于2011年。

例1，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}和{bn}滿足： ，

n∈N*。（1）略；（2）設(shè) ，n∈N*，且{an}是等

比數(shù)列，求a1和b1的值（2012年江蘇卷）。

據(jù)2012年江蘇高考命題組的說明，本題考查等差等比數(shù)列的基本性質(zhì)、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，重在考查考生分析探究及邏輯推理的能力，但從（2）的題干來看，想到用基本不等式估計(jì)數(shù)列{an}的界是不容易的，通過觀察表達(dá)式

，聯(lián)想到不等式 ≤ ≤ （a>0，

b>0），這需要一定數(shù)學(xué)素養(yǎng)的。在此題背景下，學(xué)生容易想到列方程求解，但求值遇到困難時(shí)，縮小a1、b1范圍這樣的思路是困難的。這是解不定方程的基本思路，而非競賽的中學(xué)生腦海中沒有這樣的概念，實(shí)際課堂中學(xué)生會(huì)陷入迷茫，因此如果學(xué)生第二問遇到瓶頸，不妨作如下鋪墊：

（2）證明：1

（3）設(shè) ，n∈N*，且{an}是等比數(shù)列，求a1

和b1的值。

由 證明1

容。但也需要將基本不等式適當(dāng)變形。故此問可以反映學(xué)生對(duì)基本不等式掌握情況。有了10，q>1時(shí)，an→+∞；a1>0，0

例2，（1）設(shè)a1，a2，…，an是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列（n≥4），且公差d≠0，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列

（按原來順序）是等比數(shù)列。①n=4時(shí)，求 的數(shù)值；②求

n的所有可能值；（2）求證：對(duì)一個(gè)給定的正整數(shù)n（n≥4），存在一個(gè)各項(xiàng)及公差都不為零的等差數(shù)列b1，b2，…，bn，其中任意三項(xiàng)（按原來順序）都不能組成等比數(shù)列（2008年江蘇卷）。

對(duì)于（1）命題組給出的答案是：先證明一個(gè)“基本事實(shí)”：一個(gè)等差數(shù)列中，若連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的公差為0……

如果學(xué)生能意識(shí)到這個(gè)“基本事實(shí)”，說明對(duì)等差等比數(shù)列已有深入的理解，并具備很好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；但若意識(shí)不到這一點(diǎn)，那么對(duì)（1）②會(huì)無從下手，課堂教學(xué)陷入停滯，此時(shí)不妨作鋪墊：（1）證明：一個(gè)等差數(shù)列中，若有連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的公差為0；（2）設(shè)a1，a2，…，an是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列（n≥4），公差d≠0，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列，求n的所有可能值；

“基本事實(shí)”的證明可以反映學(xué)生對(duì)等差等比數(shù)列的掌握程度，而且鋪墊后，作為把關(guān)題的第一問，難度也適中。由此鋪墊，學(xué)生容易分析出4≤n≤5，故直接去掉問題（1）①。接下來用分類討論的思想進(jìn)行分析探究也便順其自然，課堂自然流暢。

對(duì)于原題（2），初讀會(huì)讓人發(fā)懵，但是用反證法證明這種存在性命題應(yīng)該是能夠想到的：假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)n，存在一個(gè)公差為d′的等差數(shù)列b1，b1+d′，…，b1+（n-1）d′，其中3項(xiàng)：b1+m1d′，b1+m2d′，b1+m3d′成等比數(shù)列，下面就是形式的運(yùn)算：（b1+m2d′）2=（b1+m1d′）（b1+m3d′），然后呢？很多學(xué)生沒有處理這一問題的后續(xù)手段，問題卡殼。如何給予學(xué)生適當(dāng)?shù)匿亯|使其能夠解決問題呢？不妨先讓學(xué)生做2007年福建理科卷21題：

等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，a1=1+ ，S3=9+ ，

bn= （n∈N*），求證：{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不能構(gòu)

成等比數(shù)列。

易得bn=n+ ，若{bn}中存在3項(xiàng)bp，bq，br成等比數(shù)列，則bq2=bpbr，代入通項(xiàng)化簡：（q2-pr）+（2q-p-r）

=0， = ，無理數(shù)=有理數(shù)，矛盾。

bn=n+ 已經(jīng)是滿足江蘇卷19題（2）的特殊數(shù)列；那么一般地，上述過程對(duì)處理“（b1+m2d′）2=（b1+m1d′）

（b1+m3d′）”有什么幫助？同樣化簡得（1+m2 ）2=（1

+m1 ）（1+m3 ），（m1+m3-2m2）-（m22-m1m3）

=0，因此只要取 ∈R＼Q即可。

例3，設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意整數(shù)k屬于M，當(dāng)n>k時(shí)，Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk）都成立。（1）略；（2）設(shè)M={3，4}，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（2011年江蘇卷）。

作為壓軸題，第（2）問難度過大，區(qū)分度小。命題組提供的參考答案從遞推式入手，利用通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系，由角標(biāo)差3和角標(biāo)差4的項(xiàng)都成等差數(shù)列，推出數(shù)列本身是等差數(shù)列，想到這點(diǎn)談何容易。因此課堂教學(xué)中，可以設(shè)計(jì)鋪墊性的一問：（2）設(shè)M={3，4}，①證明：{a3k}，{a4k}成等差數(shù)列，并探究其公差之間的關(guān)系；②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

有①作鋪墊之后，問題的難點(diǎn)已經(jīng)轉(zhuǎn)移到了①上，但學(xué)生會(huì)有目的地去挖掘角標(biāo)差3的項(xiàng)和角標(biāo)差4的項(xiàng)之間的關(guān)系。這樣的鋪墊不僅利于學(xué)生思考問題，且鋪墊本身具有探索性，使得原來因難度過大而導(dǎo)致區(qū)分度小的壓軸題具有很好的區(qū)分度，不失為一道好題。

從上面的例子可以看出，適當(dāng)?shù)匿亯|可以讓這些學(xué)生“望而生畏”的高考題得以在高三課堂教學(xué)中有效利用。當(dāng)然鋪墊也應(yīng)當(dāng)掌握一定的原則：（1）鋪墊應(yīng)對(duì)準(zhǔn)整道題難點(diǎn)的出題思路，不能“無緣無故”；（2）鋪墊不能讓問題難度降低太多，致使整道題失去意義；（3）鋪墊本身應(yīng)盡量具備探索意義，提升整道題的價(jià)值。

〔責(zé)任編輯：肖薇〕