李平香

摘 ?要：本文將恒成立、能成立的“混搭”問題追溯到最基礎(chǔ)的“？坌”、“？堝”兩個(gè)量詞的解讀.事物的發(fā)展往往是由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，而復(fù)雜之后人們又在不斷追求著簡(jiǎn)單，從復(fù)雜背景中把握簡(jiǎn)單的本質(zhì)，從復(fù)雜問題中發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單的方法，即在追簡(jiǎn)的過程中悟“道”，以道求簡(jiǎn)，達(dá)到大道至簡(jiǎn)的境界.

關(guān)鍵詞：恒成立能成立;溯根追源;以道求簡(jiǎn);大道至簡(jiǎn)

《利用搭橋法處理不等式中恒成立與能成立的“混搭”問題》（作者：徐加華，簡(jiǎn)稱文【1】）一文發(fā)表在《數(shù)學(xué)通訊》2013年第12期（下半月），文中探討了如何用“搭橋法”處理不等式中恒成立與能成立的“混搭”問題，并且為了行文方便，對(duì)文中的y=f（x），y=g（x）進(jìn)行約定均存在最大值和最小值. 文首先介紹了不等式中恒成立與能成立的基本題型，即（1）a≥f（x）恒成立？圳a≥f（x）max;（2）a≤f（x）恒成立？圳a≤f（x）min;（3）a≥f（x）能成立？圳a≥f（x）min;（4）a≤f（x）能成立a≤f（x）max. 接著，文詳細(xì)探討了能成立與恒成立“混搭”的4種基本類型：（1）x∈A，x∈B，f（x）>g（x）成立;（2）x∈A，x∈B，f（x）>g（x）成立;（3）x∈A，x∈B，f（x）>g（x）成立;（4）x∈A，x∈B，f（x）>g（x）成立（以上A、B為非空數(shù)集，這里僅考慮f（x）>g（x），其他情況類似處理）. 然后用“搭橋法”分別將以上4種類型轉(zhuǎn)化為基本題型來解決，如對(duì)于恒成立與能成立“混搭”問題的（1）“x∈A，x∈B，f（x）>g（x）成立” “x∈A，x∈B，f（x）>M>g（x）成立”，而“對(duì)x∈A，f（x）>M成立”“f（x）min>M”（恒成立），“對(duì)x∈B，M>g（x）”（恒成立）M>g（x）max. 這樣，“x∈A，x∈B，f（x）>M>g（x）成立”“f（x）min>M>g（x）max”. 于是“x∈A，x∈B，f（x）>g（x）成立”？圳f（x）min>M>g（x）max.

雖然“搭橋法”即用“中介值”也是數(shù)學(xué)解題中常用的策略，但這樣分析恒成立與能成立問題會(huì)不會(huì)太繁雜，會(huì)不會(huì)把學(xué)生弄得更暈?zāi)?？本人覺得解題宜自然、簡(jiǎn)捷.下面談?wù)劚救藢?duì)此類問題的看法.

溯根追源——“恒成立”、“能成立”問題由來

追溯命題產(chǎn)生的過程，就是尋求命題生長(zhǎng)的根，從邏輯關(guān)系看，也就是溯源命題的邏輯起點(diǎn). 短語“所有的”、“任意一個(gè)”、“每一個(gè)”在陳述語句中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“ ?”表示，含有全稱量詞的命題叫全稱命題;短語“存在一個(gè)”、“至少一個(gè)”、“有”在陳述語句中表示事物的個(gè)體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“？堝”表示，含有存在量詞的命題叫特稱命題.全稱命題的形式：P：“x∈M，p（x）”x∈M，p（x）成立”“x∈M，p（x）恒成立”. 可見，“恒成立”其實(shí)就是為了與全稱量詞“ ?”進(jìn)行首尾呼應(yīng)，由此，產(chǎn)生了“恒成立”問題（或稱“任意性”問題）. 特稱命題的形式：q：“x∈M，q（x）”？圳“x∈M，q（x）成立”“x∈M，q（x）能成立”. 可見，“能成立”其實(shí)也是為了與存在量詞“ ”進(jìn)行首尾呼應(yīng). 由此，產(chǎn)生了題型“能成立”問題. 同時(shí)，還需注意，全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，即命題P：x∈M，p（x），則p：x∈M，p（x）;命題q：x∈M，q（x），則q：x∈M，q（x），這就意味著“恒成立”與“能成立”需要時(shí)可以互相轉(zhuǎn)化.

命題解讀——“恒成立”、“能成立”問題分析

通過命題的溯根追源，對(duì)“恒成立”、“能成立”問題解讀關(guān)鍵是回歸到最基礎(chǔ)的“？坌”、“？堝”兩個(gè)量詞的解讀，即回歸到兩個(gè)詞語“所有”還是“有”的正確理解，為了幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解“所有”、“有”，可以打比方. 如：“我們班所有人都比我小”，“我們班有人比我小”，要求同學(xué)們，只能選出一人來與我比，應(yīng)選誰出來呢？這時(shí)，學(xué)生很容易找到前者應(yīng)找“最大”，后者應(yīng)找“最小”與“我”比較;又如“（1）班所有人都比（2）班所有人小”，“（1）班有人比（2）班所有人小”，要求每班也只能選一人出來比，應(yīng)怎么選呢？顯然，前者應(yīng)選“（1）班最大的與（2）班最小的比”后者應(yīng)選“（1）班最小與（2）班最小的比”. 現(xiàn)在，換成比函數(shù)值，如“？坌x∈A，f（x）≤a恒成立”，即“f（x）所有值≤a”，即f（x）max≤a;“？堝x∈A，f（x）<a能成立”，即“f（x）有值

反思感悟——以道求簡(jiǎn)，大道至簡(jiǎn)

事物的發(fā)展往往是由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，所謂“一生二，二生三，三生萬物”便是如此;而復(fù)雜之后人們又在不斷追求著簡(jiǎn)單，所謂“大道至簡(jiǎn)”便是體現(xiàn). 簡(jiǎn)單蘊(yùn)涵了事物的簡(jiǎn)練性、樸素性，復(fù)雜蘊(yùn)涵了事物的發(fā)展性、整合性. “恒成立”與“能成立”正是由簡(jiǎn)單的兩個(gè)量詞“？坌”、“？堝”衍生出來，對(duì)兩個(gè)量詞再進(jìn)行組合就衍生出了更復(fù)雜的“多元恒成立、能成立”問題，問題復(fù)雜之后，如何化繁為簡(jiǎn)呢？筆者認(rèn)為應(yīng)該“以道求簡(jiǎn)”，數(shù)學(xué)中的“道”指的是數(shù)學(xué)中的核心概念、問題實(shí)質(zhì)、本質(zhì)屬性、統(tǒng)一模式、貫通線索、不變規(guī)律、思想方法、通性通法等等. 數(shù)學(xué)的特性之一簡(jiǎn)潔性，數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于求簡(jiǎn)，數(shù)學(xué)中的“簡(jiǎn)”就是要用簡(jiǎn)明的視角、簡(jiǎn)要的設(shè)計(jì)，內(nèi)容上刪繁就簡(jiǎn)，形式上去繁就簡(jiǎn)，思路上化繁為簡(jiǎn)，解題上自然簡(jiǎn)捷，情境上簡(jiǎn)單明了，語言上精煉簡(jiǎn)要，表達(dá)上簡(jiǎn)明扼要. 數(shù)學(xué)教學(xué)中要滲透由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的思想，讓學(xué)生能夠循序漸進(jìn)地認(rèn)識(shí)事物，理清知識(shí)之間的關(guān)系，從復(fù)雜背景中把握簡(jiǎn)單的本質(zhì)，從復(fù)雜問題中發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單的方法，即在追簡(jiǎn)的過程中悟“道”，以道求簡(jiǎn)，達(dá)到大道至簡(jiǎn)的境界.