陳禮芳

類比法，就是根據(jù)兩個對象之間在某些方面的相同或相似之處的比較，通過聯(lián)想和猜測，推出它們在其他方面也可能相同或相似的地方，從而去建立猜想和發(fā)現(xiàn)真理的方法。這種方法在中學數(shù)學教學與研究中的應(yīng)用很廣泛，對數(shù)學知識的勾連與綜合、對數(shù)學技能的培養(yǎng)與發(fā)展，尤其是對數(shù)學思維的養(yǎng)成與完善，都有極其重要的作用。常用的類比有：

一、數(shù)與式的類比

數(shù)與式的類可從分式與分數(shù)類比探討。分式的有關(guān)概念和性質(zhì)與分數(shù)相類似。例如分式和分數(shù)一樣分母都不能為0;分式的性質(zhì)與分數(shù)的基本性質(zhì)相類似;分式的加減法與分數(shù)的加減法的運算方法相類似;分式的通分與約分與分數(shù)的通分與約分相類似;因此在教學分式的有關(guān)概念和性質(zhì)時可類比分數(shù)的有關(guān)概念和性質(zhì)進行教學，這樣學生易于理解，便于他們接受，還能培養(yǎng)學生思維的靈活性。

二、有理式與無理式的類比

有理式與無理式的類比如二次根式與整式的類比：二次根式的加減運算與整式的加減運算類似，分別是合并同類二次根式和合并同類項;二次根式的乘法運算與整式的乘法類似。

如：

三、數(shù)與形的類比

在數(shù)學研究中，數(shù)與形的類比經(jīng)常在相反的方向上得到應(yīng)用。即通過與“形”的比較去推測“數(shù)”的有關(guān)性質(zhì)，又通過與“數(shù)”的比較去推測“形”的有關(guān)性質(zhì)。

例：k為何值時，方程組

①有一組解？ ?②兩組解？ ?③無解？（利用數(shù)與形類比，解法直觀，簡單明了）。

方程組有一組解，即直線與半圓只有一個交點;有二組解，即直線與半圓有兩個交點;無解，即直線與半圓無交點。

所以，當 ? ? ? ? ? ? ? ?時有兩解。

四、全等與相似的類比

全等與相似的類比可由相似三角形與全等三角形間的類比進行探討。相似三角形與全等三角形判斷方法有聯(lián)系，在相似與全等三角形的判定中，有關(guān)角的條件都是對應(yīng)角相等。有關(guān)邊的條件，全等三角形中是對應(yīng)邊相等而相似三角形中是成比例，只要把全等三角形判定中的對應(yīng)邊相等改為對應(yīng)邊成比例，就相應(yīng)得到相似三角形的判定方法。全等三角形必須有一組對應(yīng)邊相等，而判定相似三角形時，則可舍去此條件。

概念的區(qū)別。全等三角形是能夠完全重合的三角形。包括形狀相同，大小也相同兩個方面;相似三角形只是形狀相同而大小不一定相同。即只是對應(yīng)角相等，而對應(yīng)邊成比例，當對應(yīng)邊的比值等于1時，就全等，因此全等三角形是相似三角形的特例。掌握它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，問題就會迎刃而解。

五、平面與空間的類比

把立體幾何知識與相關(guān)的平面幾何知識類比，是實現(xiàn)知識遷移的有效方法，也利于化難為易，啟迪思維。常用的思路有：由平面圖形中點的性質(zhì)類比推理出空間里的線的性質(zhì)，由平面圖形中線的性質(zhì)類比推理出空間中面的性質(zhì)，由平面圖形中面的性質(zhì)類比推理出空間中體的性質(zhì).

如，關(guān)于勾股定理，可有幾個類比：

勾股定理：在直角邊長為a、b，斜邊長為c的直角三角形中，有

類比1：長、寬、高分別為p、q、r，對角線長為d的長方體中，有

類比2：長方體交于某一頂點的三個長方形面的對角線長分別為p，q，r，長方體對角線長為d，則有

類比3：四面體交于一個頂點O的三條棱兩兩互相垂直，與O相鄰的三個面的面積分別為A，B，C，與O相對的面的面積為D，則有：

六、有限與無限的類比

例：因為圓可看成是正多邊形當邊數(shù)趨于無窮時的極限情形。因此，依據(jù)“三角形的面積等于底與高的乘積的一半”的結(jié)論，可證：正多邊形的面積等于周長與邊心距乘積的一半。從而類比出圓的面積等于其周長與半徑乘積的一半。

數(shù)學中相近、類似的問題很多，諸如“整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)”與“分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)”;“方程”與“不等式”;“橢圓”和“雙曲線”;“直線和圓的位置關(guān)系”與“點和圓的位置關(guān)系”;“等差數(shù)列與等比數(shù)列”等等，它們彼此都有相類似的地方，若能在教學中靈活運用“類比”的方法，揭示這些知識之間的關(guān)系，對于學生掌握數(shù)學知識具有極大的幫助。

（作者單位：江蘇南通市第三中學）