繆葦偉（江蘇省徐州市豐縣中學）

高中階段，不等式的恒成立問題是一種重要題型，學生普遍感覺較難.一方面是題目的類型和形式多樣；另一方面是方法靈活多樣、思維含量較高．涉及函數(shù)的圖像與性質(zhì)、導數(shù)及其應用，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法．不等式恒成立問題多與參數(shù)的取值范圍問題聯(lián)系在一起，往往與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等相關(guān)．對于不等式恒成立的常用解題方法已是老生常談的問題，本文在這里就不再闡述．但我們知道不等式恒成立問題形式千變?nèi)f化，考題亦?？汲Ｐ拢鴮τ谝恍╊}目，學生即使采用常規(guī)的方法去解決，仍然會出現(xiàn)不少的新問題．在此類現(xiàn)象的基礎(chǔ)上，作者結(jié)合近期我校實行的“學講計劃”這一新課改模式，對復習試卷上出現(xiàn)的不等式問題，及時進行了此類問題的講評.在課堂上除了對此類問題的常規(guī)解題方法進行“整合”以外，在其他方面也進行了“創(chuàng)新”，把一節(jié)試卷講評課變成了一節(jié)探究課，讓學生在“學講計劃”課改模式下不斷領(lǐng)悟和總結(jié)，從而促使學生在解決此類問題的能力上得到改善和提高.

一、課堂實錄（摘錄）

教師：我們繼續(xù)講評試卷，請看第18題

教師：上述解法是我們這次練習中出現(xiàn)的一類解法，并且比較集中，現(xiàn)在請各小組認真分析上述解法的正確與否，然后請幾位同學把交流討論的結(jié)果進行闡述.

學生分組活動：3分鐘后

甲組代表：老師，本題解法好像無誤，我也是這樣做的，仍不明白錯誤何在.

乙組代表：不正確是肯定的了，但是我有點不明白這里面的m的作用；

教師提示：剛才甲組同學說得很好，這里m的作用是什么？還有，本題是解關(guān)于誰的不等式？

丙組代表：好，我明白了，不正確，這里m的作用是參數(shù)，本題是解關(guān)于x的不等式，應該用m來表示不等式的解集；

教師：很好，這位同學總結(jié)的好，本題中的m與x并不是雙自變量，是解關(guān)于x的不等式，m的作用是參數(shù)，但此解法誤認為是不等式恒成立問題，這也是此解法錯誤的根源，正確解法應該是用m來表示不等式的解集.請同學們繼續(xù)思考，應該如何給出正確解法呢？

【教師整合一】

提高對不等式恒成立問題的本質(zhì)認識

在解決此問題的過程中，由于學生對不等式恒成立問題的本質(zhì)模糊不清，把解不等式與不等式恒成立混為一談，導致了上述的錯解，所以在教學過程中，教師要提高學生對不等式恒成立問題的本質(zhì)認識．可見，學習數(shù)學不僅僅是使用數(shù)學公式、數(shù)學方法解題，更重要的是對基本數(shù)學概念、數(shù)學方法、數(shù)學模型的深刻理解，從而豐富學生的科學知識，培養(yǎng)學生的分析能力和科學的探究能力，全面地培養(yǎng)學生的科學素養(yǎng)．課堂教學如何培養(yǎng)學生的科學素養(yǎng)，應作為教學設計的重要指導思想之一．

在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)設置針對性的練習，讓學生鞏固.

教師：既然同學們認識了不等式恒成立問題的本質(zhì)，下面請思考導學案上例1的變題解法的正確性.

變題：已知函數(shù) f（x）= λx+sinx是區(qū)間［－1，1］上的減函數(shù)，若 f（x）=t2+ λt+1在 x∈［－1，1］恒成立，求的取值范圍．

投影錯誤解法：因為 f（x）= λx+sinx是區(qū)間［－1，1］上的減函數(shù)，所以f′（x）=λ+cosx≤0在區(qū)間［－1，1］上恒成立．

所以 λ ≤ -1，且［f（x）］max=f（－1）＝ －λ － sin1．

不等式 f（x）≤ t2+ λt+1 對于 x∈［－1，1］恒成立，

所以只需-λ-sin1≤t2+λt+1成立，即不等式（t+1）λ+t2＋1＋sin1≥0對λ≤－1恒成立．

令 m（λ）=（t+1）λ +t2+1+sin1．

學生分組活動：3分鐘后

丁組代表：根據(jù)不等式恒成立計算出不等式-λ-sin1≤t2+λt+1是正確的，但在解決不等式-λ-sin1≤t2+λt+1（λ≤-1）時出現(xiàn)了同上題一樣的錯誤，此處情景的描述不是不等式恒成立問題，本題在此處的本質(zhì)是解關(guān)于t的不等式，其中參數(shù)λ滿足λ≤-1．

教師總結(jié)：這位同學回答得非常好，現(xiàn)在看起來對不等式問題的認識已經(jīng)掌握，這個解法比較由于比較復雜，現(xiàn)在我把過程投影給同學們參考，課后請同學們自行完善.

正解：因 f（x）= λx+sinx在［-1，1］上是減函數(shù)，

所以f′（x）=λ+cosx≤0，在區(qū)間［-1，1］上恒成立．

所以 λ ≤ -1，且［f（x）］max=f（-1）=-λ -sin1．

所以只需-λ-sin1≤t2+λt+1，其中λ≤-1．

教師：既然同學們認識了不等式恒成立問題與解含參數(shù)的不等式的區(qū)別，那么我們下面繼續(xù)來研究如何解決不等式恒成立問題，請看導學案例2（2）.

例2 （2）已知，f（x）=x4-4x3+（3+m）x2-12x+12，m∈R，若對于任意實數(shù)x，f（x）≥0恒成立，求m的取值范圍．

戊組代表：此題可用導數(shù)求解，簡潔明了.

當 x=2 時，g（2）=7．

所以 g（x）得最大值為 g（2）=7，

所以m+3≥7，即m≥4．

綜上可知：的取值范圍是［4，+∞）．

【教師整合二】

轉(zhuǎn)化為最值問題是解決不等式恒成立的常用方法

不等式恒成立問題通用解法是通過化歸的方式把轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題．函數(shù)最值的求解是函數(shù)學習中的一個難點，而用導數(shù)求解，則流程明確、可操作性強、易于把握，是求最值的常用方法之一．

按理說，到這里已經(jīng)把試卷中的一類典型錯誤評講清晰，完成了，但就恰恰此時，一位學生的發(fā)言改變了課堂的預先設計——

學生甲：老師，我們組討論的結(jié)果是此法太麻煩，有更簡便的方法：

容易判斷當x=2時，函數(shù)y=m（x），y=n（x）同時取得最大值．

又因為 m（2）=4，n（2）=3，

所以當 x=2 時 g（x）=m（x）+n（x）有最大值 7．

所以m+3≥7，即m≥4．

綜上可知：m的取值范圍是［4，+∞）.

學生齊鼓掌——學生已經(jīng)完全沉浸在喜悅之中，享受著“學講計劃”課堂、享受著數(shù)學帶來的樂趣——學生的思路已經(jīng)盤活，立竿見影，馬上又出現(xiàn)了新的解法：

學生乙：我們組的方法比他們組更簡便，解法如下：

f（x）=x4-4x3+（3+m）x2-12x+12=（x2+3）（x-2）2+（m-4）x2，

當 m<4 時，f（2）=4（m-4）<0 不成立，

當 m ≥ 4 時，f（x）=（x2+3）（x-2）2+（m-4）x2≥ 0 對一切x∈R恒成立．

所以m的取值范圍是［4，+∞）.

此時，課堂已經(jīng)沸騰了——

我及時根據(jù)學生的發(fā)言，進行了“二度教學設計”，及時整理思路，調(diào)整教學方案，讓學生結(jié)合近期的模擬題以及去年的高考題，把不等式恒成立問題的研究方法進行匯總，適度進行了創(chuàng)新，效果甚好.

栽植方式有穴植法和溝植法2種。栽植的深度應與移植前保持一致或者稍微淺一些，對于出葉的花卉不能栽植過深，以免出現(xiàn)爛根情況，移植過后不能澆水過多，應等到新根長出后再進行澆水。還應確保植株的通風效果。在遮陰條件或者天氣較為干燥時，通過植株噴霧或者噴水的方式促進生根。新移植的花卉重新栽植后，會出現(xiàn)一段時間的萎蔫，停止生長，這種情況是一種正?，F(xiàn)象，待新的根系長出以后，將會重新生長。折斷時期稱為緩苗期。通常為保證花卉的長勢，以及園林景觀的早日形成，緩苗期越短越好。具體在挖苗時可以通過多帶土的方式有效避免傷根，降低對花卉根系的影響，從而有效縮短緩苗期。

二、不等式恒成立問題的“四大攻略”

攻略一：求導是基本，而不是惟一

課堂上，針對學生的解法，我適時進行了表揚，并對解法進行了總結(jié)：求導是基本方法，但并不是惟一方法.求導方法思路清晰，學生易于接受．但是求導、因式分解等計算會讓很多學生望而卻步．所以在解決這類問題時提醒學生：在利用導數(shù)解決這類問題較繁瑣時，不妨換換思路，讓學生感受不同的方法在此處的應用．

攻略二：以形輔數(shù)，數(shù)形結(jié)合

我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非”．“數(shù)”與“形”反映了事物兩個方面的屬性.通過“以形輔數(shù)、數(shù)形結(jié)合”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的．

則a≤g′（0）=2．

由（1）（2）可知 a≤ 2．

因此，訓練學生要看他們能否將已學過的知識與該問題相遷移，能否找到恰當而熟悉的函數(shù)模型表述題意，能否把數(shù)學過程分析明白，并結(jié)合題意轉(zhuǎn)化為形象而直觀的圖像，進而使化難為易，這都是值得教師重視的．

攻略三：會當凌絕頂，一覽眾山小

整體意識是一種全面地、總體地考慮問題的思維習慣或自覺意識，它注重問題的整體結(jié)構(gòu)和結(jié)構(gòu)的改造，能從整體上把握思維方向和進程．解題中應用整體意識考慮問題，能增加思維的有效性，達到另辟蹊徑的效果，有助于培養(yǎng)思維的靈活性和創(chuàng)造性．仍然以跟蹤訓練1為例，如果學生具有這種整體意識的話，做如下處理就很順理成章．

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為a≤2．

此解法中三次使用整體意識，一處在當a≤0時，直接判斷g（x）≥0恒成立；第二處在02時又改變了函數(shù)的結(jié)構(gòu)，通過構(gòu)造新的函數(shù)來解決問題.事實上，在解決不等式恒成立問題的過程中，構(gòu)造新函數(shù)也是常見的解決方法．三處整體意識的使用，直接把題目的思維量降了下來．

攻略四：大處著眼，小處著手

局部意識是能通過細節(jié)來把握整體情況．所以要想順利解決問題，不僅要熟練掌握基礎(chǔ)知識和靈活運用解題方法，更重要的是掌握一定的技巧，才能達到快速求解的目的，有些數(shù)學問題，如果從整體上不便解決，可先研究其局部．

跟蹤練習2：（2011浙江文科 21） 設函數(shù) f（x）=a2lnxx2+ax，a>0.

（1）求 f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）求所有的實數(shù) a，使 e-1 ≤ f（x）≤ e2對 x∈［1，e］恒成立．

由于 a>0，所以f（x）的增區(qū)間為（0，a），減區(qū)間為（a，＋∞）．

（2）由題意得，f（1）＝a－1≥ e－1，即a≥ e．

由（1）知 f（x）在［1，e］內(nèi)單調(diào)遞增，要使 e－ 1 ≤ f（x）≤e2，對 x∈［1，e］恒成立，

函數(shù) f（x）滿足 e－ 1 ≤ f（x）≤ e2對 x∈［1，e］恒成立，則對于區(qū)間［1，e］上的局部值也是滿足的．在此題中選擇了f（1）這個局部值，通過f（1）這個局部值可以得到參數(shù)a的大致范圍，為后續(xù)的問題處理帶來方便．此數(shù)學意識中要求學生有較強的觀察能力，根據(jù)函數(shù)、不等式和區(qū)間的特點來選擇合適的局部值．所以在解決數(shù)學問題時，要善于找到事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，回歸到較為淺顯的知識，就能有一種“柳暗花明又一村”的感覺．

羅增儒教授也曾經(jīng)說過：新課改所倡導的教學理念經(jīng)過十年的貫徹，必然會與數(shù)學學科有機結(jié)合，產(chǎn)生出既區(qū)別于其他學科，又區(qū)別于傳統(tǒng)數(shù)學教學新特色．“學講計劃”的實施也不例外．因此，在“學講計劃”實施過程中，我們要防止一種傾向掩蓋另一種傾向．遺憾的是，探究合作泛濫，傳統(tǒng)的具有啟發(fā)性的“講授法”缺位；以學生為主體的思想泛濫，教師的主導作用缺失；表演作秀，重形式輕實質(zhì)；無效討論、合作的形式化；滿堂發(fā)問，師生對話過于頻繁；探索泛化，放任自流等現(xiàn)象在現(xiàn)階段數(shù)學教學中較為突出.

“學講計劃”對教師提出了更高的要求．教學過程中需要教師能正確處理好“教”與“學”的雙邊和諧關(guān)系，具有誘導學生使其“想學”、指導學生讓其“會學”、輔導學生令其“能學”的技能．實現(xiàn)“學講計劃”是一個長期而又復雜的工程，需要堅持不懈地探索與追求．“學講計劃”要以教師教的轉(zhuǎn)變促進學生學的轉(zhuǎn)變．

［1］羅增儒.評課的視角，課例的切磋［J］.中學數(shù)學教學參考，2014（1-2）：14.