王發(fā)興　鄭瑩

線性代數(shù)教學(xué)中應(yīng)合理安排內(nèi)容的講授順序，在抽象概念和定理講解中引入恰當(dāng)?shù)纳顚?shí)例，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時應(yīng)加入線性代數(shù)的文化背景和思想內(nèi)涵，提升整個教學(xué)的層次，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)真正的“有效教學(xué)”。

線性代數(shù)理論實(shí)例文化有效教學(xué)線性代數(shù)作為理工科院校的一門必修課程，是學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課程的重要基礎(chǔ)，是培養(yǎng)科技創(chuàng)新能力的載體，也是解決實(shí)際問題的有力工具。其特點(diǎn)是概念多、定理多、符號多、運(yùn)算規(guī)律多，內(nèi)容抽象且相互縱橫交錯、環(huán)環(huán)相扣。

一、目前線性代數(shù)教學(xué)存在的問題

本文研究的該課程教學(xué)對象是非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，目前，在教學(xué)中凸顯的問題主要有：不同版本教材內(nèi)容編排順序各有特點(diǎn)，有些版本的編排脈絡(luò)較混亂，不盡符合知識點(diǎn)積累的自然規(guī)律，給教師授課和學(xué)生理解造成困難；教學(xué)課時客觀上較緊，教師難以在較短時間內(nèi)完全講透抽象概念；課程內(nèi)容缺乏具體的應(yīng)用實(shí)例，難以聯(lián)系實(shí)際理解知識，影響學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性；教學(xué)中普遍忽略了文化內(nèi)涵，包括數(shù)學(xué)的歷史、思想、精神、方法、觀念、語言等人文元素的認(rèn)知以及數(shù)學(xué)思維、技能等素質(zhì)的訓(xùn)練，一味就概念講概念，缺乏內(nèi)涵、枯燥乏味，達(dá)不到真正的教學(xué)目的。

如何讓學(xué)生輕松的進(jìn)入到線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中來，了解理論的背景，使課程生動起來、連貫起來，且能在較短時間內(nèi)掌握核心內(nèi)容且能熟練應(yīng)用到現(xiàn)代科技中解決實(shí)際問題，是值得所有線性代數(shù)教學(xué)工作者深思的問題。本文主要論述線性代數(shù)的理論、應(yīng)用、文化特征，并將三方面有機(jī)結(jié)合，進(jìn)而在實(shí)現(xiàn)該課程的“有效教學(xué)”。

有效教學(xué)，就是在符合時代和個體積極價(jià)值建構(gòu)的前提下其效率在一定時空內(nèi)不低于平均水準(zhǔn)的教學(xué)。有效教學(xué)的“有效”，主要是指通過教師在一種先進(jìn)教學(xué)理念指導(dǎo)下經(jīng)過一段時間的教學(xué)之后，使學(xué)生獲得具體的進(jìn)步或發(fā)展?！敖虒W(xué)”，是指教師引起、維持和促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的所有行為和策略。它主要包括三個方面：一是引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)意向、興趣，教師通過激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，使教學(xué)在學(xué)生“想學(xué)”“愿學(xué)”“樂學(xué)”的心理基礎(chǔ)上展開；二是明確教學(xué)目標(biāo)，教師要讓學(xué)生知道“學(xué)什么”和“學(xué)到什么程度”；三是采用學(xué)生易于理解和接受的教學(xué)方式。

二、實(shí)現(xiàn)線性代數(shù)有效教學(xué)的三個方面

1.合理的講授順序使教學(xué)內(nèi)容清晰貫通

目前，工科院校非數(shù)學(xué)專業(yè)線性代數(shù)課程內(nèi)容主要涉及六個板塊：行列式、矩陣、n-維向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型。從庫洛什的《高等代數(shù)》和我國的《高等代數(shù)》（線性代數(shù)）的教學(xué)內(nèi)容的安排來看，線性代數(shù)中的主要對象、基本理論基本都是按照線性代數(shù)的歷史發(fā)展的脈絡(luò)進(jìn)行的。但目前各教材內(nèi)容編排順序各有特點(diǎn)，比如，行列式的概念早于矩陣，有教材先講行列式；Cramer法則早于求解線性方程組的消元變換，有教材也先講Cramer法則；矩陣是線性代數(shù)最重要的概念和符號，有教材也先講矩陣。

線性代數(shù)獨(dú)立作為一門課程，不考慮其發(fā)展史，任何一種方式都可以展開講解，但基于該課程的特點(diǎn)，內(nèi)容順序的安排又顯得至關(guān)重要，這直接關(guān)系到學(xué)生學(xué)習(xí)的效果。

對于教學(xué)對象來講，由于線性代數(shù)的概念和思維模式與高中階段有較大的不同，如果“一上來就講n階行列式”，這樣導(dǎo)致的結(jié)果是學(xué)認(rèn)為既不好懂，也不知有什么用，況且用行列式解線性方程組也不實(shí)用。如果一開始就引入矩陣，雖然簡單，但不知道為何要學(xué)這樣一個概念。對于進(jìn)大學(xué)一年級的初學(xué)者來講，筆者認(rèn)為如果通過線性方程組切入則易于理解，且能和高中知識較好銜接。

線性代數(shù)的起源也是解線性方程組，方程組作為主線貫穿于線性代數(shù)，在引入方程組后，對其解進(jìn)行初步研究，去掉未知量和一些符號后就可自然的引入矩陣，這是學(xué)生容易接受的，進(jìn)而利用矩陣?yán)碚撗芯肯蛄拷M的理論，再用向量空間的理論表達(dá)方程組解的結(jié)構(gòu)。這種模式用線性關(guān)系（相關(guān)、無關(guān)）、秩等概念描述n維向量和矩陣的某些本質(zhì)屬性，刻畫線性空間中子空間的關(guān)系，揭示線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，并將線性方程組、矩陣與線性空間、線性變換緊密聯(lián)系起來，就較好的完成了線性代數(shù)的公理化結(jié)構(gòu)的構(gòu)建。在此之后再通過方程組引入行列式，而行列式的定義則可根據(jù)不同層次學(xué)生的需求給出不同的定義方式，如n！項(xiàng)求和、按行（或列）展開、三角形行列式對角線乘積等等。在充分掌握了基本工具和方法之后，展開特征值與特征向量（相似、對角化）、二次型等知識的講解就會較為輕松，進(jìn)而也會取得較好的教學(xué)效果。

美國近幾十年的線性代數(shù)教材在內(nèi)容安排上基本都是遵循從線性方程組出發(fā)的模式。當(dāng)然，在實(shí)施中必須還應(yīng)該結(jié)合學(xué)生的實(shí)際掌握情況作及時調(diào)整，與學(xué)生溝通、互動、交流，讓學(xué)生學(xué)會，這也是教學(xué)的主要目的。

2.恰當(dāng)?shù)纳顚?shí)例讓抽象理論鮮活生動

線性代數(shù)的重要作用主要是能把頭緒紛繁的事物按一定的規(guī)則清晰地展現(xiàn)出來，使我們不至于被一些表面看起來雜亂無章的關(guān)系迷惑，它還可以恰當(dāng)?shù)慕o出事物之間內(nèi)在的聯(lián)系，并通過矩陣的運(yùn)算或變換來揭示事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，是我們求解問題時候“數(shù)形結(jié)合”的途徑。

教學(xué)中，要求教師不單用嚴(yán)格的語言、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明論述課程內(nèi)容，更應(yīng)將抽象的內(nèi)容具體化，吸納來自計(jì)算機(jī)、物理、工程、經(jīng)濟(jì)、生物、航天、航海等學(xué)科的實(shí)例與知識，以及數(shù)學(xué)其他分支的知識。在充分激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的同時，讓線性代數(shù)活起來，將學(xué)生帶入課程內(nèi)容的思考和鉆研當(dāng)中來，進(jìn)而能夠掌握扎實(shí)的理論功底，且能學(xué)以致用。

好的實(shí)例可以調(diào)節(jié)氣氛、明確知識，學(xué)生甚至可能因此對這么課產(chǎn)生濃厚的興趣，下面簡要介紹兩個在教學(xué)中引入的實(shí)例：

（1）用逆矩陣進(jìn)行保密編譯碼

在講解逆矩陣時，通過密碼破譯問題，可以加深對逆矩陣概念的理解、應(yīng)用價(jià)值的升華。

如在英文中有一種對信息進(jìn)行保密的措施，就是把英文字母用一個整數(shù)來表示，然后傳送這組整數(shù)。這種方法是很容易根據(jù)數(shù)字出現(xiàn)的頻率來破譯。為避免頻率特征，做好保密工作，可以利用逆矩陣來進(jìn)一步保密。

對照表：

a b c d e f g h i j k l m n o …… x y z 空格

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …… 24 25 26 0

明文： he is in England

密文： 8 5 0 9 19 0 9 14 0 5 14 7 12 1 14 4

為消除頻率特征，可用逆矩陣知識加以保密。

（2）向量組的極大線性無關(guān)組解決配藥問題

在講解抽象的向量組的線性相關(guān)、無關(guān)性以及最大無關(guān)組的內(nèi)容概念時，通過中成藥藥方配制問題可引發(fā)興趣且充分理解向量的表示以及向量空間等知識。

例：某藥廠用9種中草藥（A-I），根據(jù)不同配比制成了7種藥物，各用量成分見表1（單位：克）。

現(xiàn)在由于3號和6號藥脫銷，問是否可以用其他5種藥配制3號和6號特效藥？

解：把每一種特效藥看成一個九維列向量，記為α1，α2，…α7，分析7個列向量構(gòu)成向量組的線性相關(guān)性，若向量組線性無關(guān)，則無法配制脫銷的藥；若向量組線性相關(guān)，并且能找到不含α3，α6的一個最大線性無關(guān)組，則可以配制3號和6號藥品。

記A為上述表構(gòu)成的矩陣，A化為如下行最簡矩陣：

A→A1

O4×7， 其中A1=1 0 1 0 0 0 0

0 1 2 0 0 3 0

0 0 0 1 0 1 0

0 0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0 1

從最簡矩陣可以看出，R（A）=5，且可以找到不含α3，α6的一個最大線性無關(guān)組，令α3=α1+2α2，α6=3α2+α4+α5，因此可以實(shí)現(xiàn)脫銷藥品的配制。

另外，用矩陣知識處理3D圖像數(shù)據(jù)、航空運(yùn)輸業(yè)航班調(diào)度問題，用線性方程組解決經(jīng)濟(jì)學(xué)中著名的投入產(chǎn)出模型、化學(xué)方程式中的配平、IC集成電路設(shè)計(jì)中數(shù)百萬個集體管的仿真軟件設(shè)計(jì)、（k，n）門限方案中的應(yīng)用模型，特征值和特征向量在 Google網(wǎng)頁搜索排序中的應(yīng)用等方面的實(shí)例都可以較好的引入到教學(xué)當(dāng)中。這對于學(xué)生開闊眼界，拓寬思路，激發(fā)他們學(xué)習(xí)本門課程的興趣將大有益處，為實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)邁了一大步。

3.博大的數(shù)學(xué)文化使內(nèi)涵思想融入生活

線性代數(shù)自身的抽象性和抽象程度比一般數(shù)學(xué)學(xué)科要高，學(xué)生不但因此感到學(xué)習(xí)困難，而且感到離現(xiàn)實(shí)生活太遠(yuǎn)，相當(dāng)部分學(xué)生采取模仿式學(xué)習(xí)。如果在教學(xué)中揭示線性代數(shù)的思想內(nèi)涵、抽象性概念的現(xiàn)實(shí)背景，用哲學(xué)的高度感受該課程，讓學(xué)生體會到線性代數(shù)其實(shí)是萬變生活的縮影，是現(xiàn)實(shí)生活的高度抽象化，它滲透在生活的每一個角落，以此提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解力，培育學(xué)生的精神品質(zhì)，提升邏輯分析能力。

一般講，數(shù)學(xué)思想文化應(yīng)包含：數(shù)學(xué)自身 、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)的應(yīng)用（工具性）、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)藝術(shù)、數(shù)學(xué)美學(xué)及數(shù)學(xué)的社會效應(yīng)等。具體講，在數(shù)學(xué)課的教學(xué)中應(yīng)突出所學(xué)概念、定理、公式歷史存在的因由、它們隱含的思想、方法及應(yīng)用。下面簡要舉例說明如何引入文化教學(xué)以及它的重要性。

（1）方程組求解變形“掌握規(guī)律，化繁為易”

消元法解線性方程組是1800年左右Gausss用于解決天體計(jì)算和后來大地測量計(jì)算中的最小平方問題時提出的（中國九章算術(shù)中有消元解3 ×3的線性方程組），消去法的重要意義在于，它不僅可以作為線性方程組的普通求解方法，還能以簡短的迭代來表達(dá)整個求解過程， 是現(xiàn)代計(jì)算方法中一個基本的演算法，完全可用于計(jì)算機(jī)自動處理，可以認(rèn)為消元法是計(jì)算機(jī)科學(xué)與數(shù)學(xué)的結(jié)合點(diǎn)。高斯消去法用矩陣表示相當(dāng)于初等矩陣作用給定矩陣將它化為階梯形矩陣或行最簡形，這是用矩陣語言對線性方程組解法的進(jìn)一步簡化。從中反應(yīng)出事物發(fā)展的本質(zhì)過程，讓學(xué)生領(lǐng)會透過現(xiàn)象看本質(zhì)，用簡單的方式解決復(fù)雜的問題，進(jìn)而將矩陣方法應(yīng)用到現(xiàn)代科技發(fā)展中。

（2）向量組最大無關(guān)組“變中不變”

在向量組的教學(xué)中，向量組的最大無關(guān)組作為向量組最本質(zhì)的部分，也是刻畫向量空間的核心工具，應(yīng)該在教學(xué)中融入“變中有不變”的思想。最大線性無關(guān)組當(dāng)中增加一個向量就線性相關(guān)了，減少一個向量就無法刻畫整個向量組。而一個向量組的“最大線性無關(guān)組”往往不是唯一的，會有多個甚至無窮多個，這就是“變”。但在這種變中又有一個“不變”的東西，即“最大線性無關(guān)組”中向量的個數(shù)。這種在事物變換中不變的東西具有某種穩(wěn)定性，能反應(yīng)出事物的本質(zhì)特征。

另外，用矩陣初等變換求方陣的逆矩陣時，通過乘以一個單位矩陣來推導(dǎo)求逆方法，這種“無中生有”方式所體現(xiàn)的“創(chuàng)新思想”，用矩陣對角化求解方陣的n次冪問題中所體現(xiàn)的“化大為小，化未知為已知”的思想等都應(yīng)該在理論教學(xué)之后對學(xué)生進(jìn)行充分的講解，將數(shù)學(xué)文化思想真正的融入到教學(xué)當(dāng)中。

三、結(jié)語

線性代數(shù)這門課程教學(xué)歷史較短，在我國作為一門獨(dú)立課程時間也不長，而近代信息與計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，使得線性代數(shù)成為現(xiàn)代科技世界的復(fù)雜的多變量控制系統(tǒng)和計(jì)算的數(shù)學(xué)，許多數(shù)學(xué)軟件都借助于線性代數(shù)。未來該課程與現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的結(jié)合必須實(shí)施，也是今后線性代數(shù)發(fā)展的重要方向，這也給線性代數(shù)教育工作者給出了新的啟發(fā)和新的研究方向，而真正意義上的“有效教學(xué)”的教學(xué)必須將“理論、應(yīng)用、文化”全面融入到教學(xué)當(dāng)中。

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