李保林 阿卜杜瓦力·艾佰、2

（1.中央財(cái)經(jīng)大學(xué)，北京 100081；2.新疆財(cái)經(jīng)大學(xué)，新疆 烏魯木齊 830012）

利率期限結(jié)構(gòu)是某個(gè)時(shí)點(diǎn)不同期限的利率所組成的一條曲線，由于零息票債券的到期收益率等于該時(shí)期的利率，所以利率期限結(jié)構(gòu)也可以表示為某個(gè)時(shí)點(diǎn)零息票債券收益率與到期期限的關(guān)系。它不僅是資產(chǎn)定價(jià)、風(fēng)險(xiǎn)管理等的基準(zhǔn)，還是政府制定宏觀經(jīng)濟(jì)政策的重要參考，其形狀的變化反映了市場對(duì)未來利率走勢(shì)和經(jīng)濟(jì)運(yùn)行趨勢(shì)的預(yù)期。由于國外有關(guān)利率期限結(jié)構(gòu)理論的研究起步較早，根據(jù)傳統(tǒng)的劃分標(biāo)準(zhǔn)，以20世紀(jì)70年代為界，利率期限結(jié)構(gòu)理論的發(fā)展主要經(jīng)歷了定性描述和定量分析兩個(gè)階段。定性描述階段的理論包括純預(yù)期理論、流動(dòng)性偏好理論和市場分割理論等，研究范圍主要集中在討論市場上存在的利率期限結(jié)構(gòu)的形狀、形成原因以及他們所代表的含義。之后的定量分析主要是引入隨機(jī)過程，建立一些利率期限結(jié)構(gòu)模型，包括均衡模型和無套利模型。

一、傳統(tǒng)的利率期限結(jié)構(gòu)理論

（一）預(yù)期理論

利率期限結(jié)構(gòu)的預(yù)期假說首先由歐文·費(fèi)雪（Fisher）于1896年提出，是較早建立的期限結(jié)構(gòu)理論。該理論認(rèn)為，長期債券是一組短期債券的理想替代物，即不論人們所投資的債券期限長短，投資所取得的單一時(shí)期的預(yù)期收益率都相同，期限結(jié)構(gòu)中隱含的遠(yuǎn)期利率是未來即期利率的無偏估計(jì)。用公式表示為：

R(0,n)表示現(xiàn)在開始剩余期限為n期的即期利率，f(n-1,n)表示n-1時(shí)刻到n時(shí)刻的遠(yuǎn)期利率。

市場中風(fēng)險(xiǎn)中立者的套利行為將促使遠(yuǎn)期利率與預(yù)期未來即期利率趨于一致。因此，在純預(yù)期理論看來，收益率曲線的形狀，取決于投資者對(duì)未來即期利率的預(yù)期。但純預(yù)期理論認(rèn)為所有市場參與者都具有相同預(yù)期的假定，顯然過于理想化。債券市場高度有效的假設(shè)意味著資金可以在長期市場和短期市場之間完全自由的流動(dòng)。

（二）流動(dòng)性偏好理論

流動(dòng)性偏好理論認(rèn)為，債券剩余期限越長，提前變現(xiàn)時(shí)的利率風(fēng)險(xiǎn)越大，即債券的流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)越大。該理論最初由?？怂梗℉icks）提出。由于投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡特性，大多傾向于持有短期債券，只能提供更高的收益來吸引投資者購買長期債券，只有在長期債券投資收益率能同時(shí)覆蓋預(yù)期利率水平和風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)時(shí)，投資者才愿意持有長期債券。因此，遠(yuǎn)期利率是對(duì)未來即期利率的有偏估計(jì)，從長期利率中提煉出來的遠(yuǎn)期利率同時(shí)反映了市場對(duì)未來的預(yù)期和流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，即：

與純預(yù)期理論相比，流動(dòng)性偏好理論不僅考慮了預(yù)期還引入了流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，從而更貼近現(xiàn)實(shí)。但這一理論認(rèn)為投資者總是偏好持有短期債券，因而風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)總是隨期限遞增的。然而事實(shí)并非總是如此，在投資期較長的情況下，持有短期債券會(huì)面臨再投資風(fēng)險(xiǎn)，而合適期限的長期債券則不存在這個(gè)問題。除此以外，投資者特定的資產(chǎn)負(fù)債狀況也會(huì)使得他們可能對(duì)某些期限的債券有一定的偏好，這些都是流動(dòng)性理論未考慮的情形。

（三）市場分割理論

與以上兩種理論不同，市場分割理論認(rèn)為，在進(jìn)行貸款或融資時(shí)，借貸者并不能自由地在各個(gè)市場之間轉(zhuǎn)移證券，因?yàn)槭袌鍪堑托У?，存在著分割。該理論最早由卡伯特森（J.M.Culbertson）于1957年提出。他認(rèn)為，機(jī)構(gòu)的貸款或融資活動(dòng)由于受偏好和行為方式等因素的制約，總是局限于一些特定的期限范圍內(nèi)。比如商業(yè)銀行通常偏好中短期貸款，而保險(xiǎn)公司則偏好長期貸款。借貸者分割的市場行為基本上決定了收益率曲線的形態(tài)。

根據(jù)債券到期期限的不同，市場被劃分為長、中、短3個(gè)部分，各部分的收益情況由其資金供求關(guān)系決定，并隨著資金供求的變化而變化。將各期限的資金供求均衡點(diǎn)連接，就得到完整的利率期限結(jié)構(gòu)。如果短期均衡點(diǎn)利率低于長期均衡點(diǎn)利率，期限結(jié)構(gòu)則呈上升趨勢(shì)；反之，則呈下降趨勢(shì)。

市場分割理論假設(shè)機(jī)構(gòu)交易的根本目的是保證生存，但實(shí)際上大多投資者追求的卻是財(cái)富最大化，因此他們?cè)敢庀蛉魏我粋€(gè)具有高收益預(yù)期的市場轉(zhuǎn)移，從而導(dǎo)致借款者和貸款者具有固定期限偏好的假定與現(xiàn)實(shí)不符，貸款市場并非完全分割。

（四）期限偏好理論

針對(duì)市場分割理論的缺陷，莫迪利亞尼和薩奇（Franco Modigliani和Richard Sutch，1966）提出了期限偏好理論。他們認(rèn)為，不同類別的貸款者具有不同的期限偏好，但這些偏好并非是完全不變的。如果相應(yīng)期限的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)變化到足以抵消利率風(fēng)險(xiǎn)或再投資風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，一些投資者的偏好就會(huì)發(fā)生改變。如果市場上對(duì)長期債務(wù)資金的需求較大，相對(duì)于短期利率來說，長期利率就會(huì)提高；如果市場上對(duì)短期債務(wù)資金的需求較大，則會(huì)出現(xiàn)相反的情況。競爭的結(jié)果就是使得相鄰兩個(gè)市場的收益率不會(huì)出現(xiàn)大的跳躍。因此，在期限偏好理論看來，利率期限結(jié)構(gòu)反映了市場對(duì)未來利率的預(yù)期以及期限風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。期限溢價(jià)反映了利率風(fēng)險(xiǎn)、再投資風(fēng)險(xiǎn)和期限偏好，風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)不再是簡單遞增，短期債券并非都是最優(yōu)選擇。

二、現(xiàn)代利率期限結(jié)構(gòu)理論

傳統(tǒng)利率期限結(jié)構(gòu)基于定性的視角對(duì)可觀察到的利率期限結(jié)構(gòu)及其形成原因做出解釋。自20世紀(jì)70年代末，隨著世界各國利率波動(dòng)的加劇，尤其是美聯(lián)儲(chǔ)的貨幣政策逐漸由80年代初的數(shù)量型調(diào)控轉(zhuǎn)向價(jià)格型調(diào)控，加劇了對(duì)利率比較敏感的債券價(jià)格的劇烈波動(dòng)。1973年，默頓（Merton）將股票收益率的設(shè)定形式移植到利率模型上來，從此開啟了以隨機(jī)過程為基礎(chǔ)的現(xiàn)代利率期限結(jié)構(gòu)的研究。

（一）均衡模型

均衡模型從假定一些經(jīng)濟(jì)變量開始，通過求解經(jīng)濟(jì)的一般均衡，得到瞬時(shí)利率所遵循的隨機(jī)過程，從該過程中尋找債券和期權(quán)價(jià)格的含義，最后導(dǎo)出債券和期權(quán)價(jià)格的數(shù)值或解析表達(dá)式。其最大特點(diǎn)在于參數(shù)的非時(shí)變性，并且允許理論價(jià)格與實(shí)際價(jià)格存在差異。依據(jù)設(shè)定的不同，均衡模型又分為單因子模型和雙因子模型，前者主要包括Merton模型、Vasicek模型和CIR模型等；后者主要包括Brennan和Schwartz模型、Longstaff and Schwartz模型等。

1.Merton模型。默頓（1973）提出了最早也是最簡單的動(dòng)態(tài)利率模型。他將對(duì)股票收益率的設(shè)定形式移植到利率模型中來，提出在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下，瞬時(shí)利率的變化服從如下普通布朗運(yùn)動(dòng)：

其中，μ和σ均為常數(shù)，dW(t)為中性測(cè)度下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。這就是利率期限結(jié)構(gòu)的Merton模型。給定初始時(shí)刻t，風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下任一時(shí)點(diǎn)T的瞬時(shí)利率r（T）可表示為：

利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)基本原理可以推出Merton模型下的資產(chǎn)定價(jià)公式和隱含的即期利率的一般公式：

Merton模型的意義在于它首次將隨機(jī)過程的分析框架引入利率的研究，從而刻畫了利率的動(dòng)態(tài)變化，為利率期限結(jié)構(gòu)問題的研究開拓了一種新思路。但同時(shí)也存在很多不足之處，表現(xiàn)在：（1）在Merton模型下利率可能為負(fù)，顯然與現(xiàn)實(shí)不相符。（2）Merton模型無法刻畫利率期限結(jié)構(gòu)的基本靜態(tài)特征。（3）在刻畫利率動(dòng)態(tài)特征方面，Merton模型也存在很大的缺陷，如利率不存在均值回復(fù)特征，無法刻畫利率波動(dòng)率的典型特征，無法描述長短期利率受到不同因素影響發(fā)生不同變化的現(xiàn)象等。后來的研究者將漂移率和波動(dòng)率為常數(shù)的假設(shè)放寬，從各個(gè)方面改善了Merton模型的缺陷，從而產(chǎn)生了眾多的利率擴(kuò)展模型。

2.Vasicek模型。該模型由瓦西塞克（Vasicek）于1977年提出，是第一個(gè)滿足均值回復(fù)的模型。他假定在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下，瞬時(shí)利率的變化服從如下隨機(jī)過程：

其中，k、μ、σ均為常數(shù)，參數(shù)k反映了利率回復(fù)到μ的速度。Vasicek模型說明，在T時(shí)刻支付1美元的零息票債券在t時(shí)刻的價(jià)格為：

由于r（t）是正態(tài)分布的，所以R（t，T）也是正態(tài)分布的。因此，只要確定了k、μ和σ，整個(gè)期限結(jié)構(gòu)就可用r（t）函數(shù)來表示。

與Merton模型相比，Vasicek模型考慮了利率的均值回復(fù)特征，在刻畫利率期限結(jié)構(gòu)的靜態(tài)特征和利率波動(dòng)率方面有了較大的改進(jìn)，但同時(shí)也存在不足之處，主要是沒有考慮未來即期利率可能為負(fù)，這與現(xiàn)實(shí)是不符的。此外，在刻畫利率期限結(jié)構(gòu)靜態(tài)特征方面，只反映了R（t，∞）的有界，而忽略了它的時(shí)變性，沒有考慮利率波動(dòng)率與利率水平之間的關(guān)系，現(xiàn)實(shí)中利率波動(dòng)率的某些特征不能很好反映。

3.Rendleman和Batter模型。在Rendleman和Batter模型中，r的風(fēng)險(xiǎn)中性過程為：

其中，μ和σ為常數(shù)。這意味著利率r服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。該模型假定短期利率的變動(dòng)與股票相似，可以用一個(gè)類似股票的二叉樹圖來計(jì)算出債券的價(jià)格，但結(jié)果并不理想。因?yàn)殡S著時(shí)間的推移，利率會(huì)呈現(xiàn)出向某個(gè)長期平均水平收斂的均值回復(fù)特性，而Rendleman和Batter模型并沒有刻畫出這個(gè)特性。

4.CIR模型。CIR模型是一個(gè)持續(xù)競爭經(jīng)濟(jì)的一般均衡模型，由考克斯、英格索爾和羅斯（Cox、Ingersoll和Ross）于1985年提出。它假定個(gè)人從消費(fèi)單一商品中取得預(yù)期效用最大化，該商品是通過有限數(shù)量的技術(shù)狀態(tài)生產(chǎn)出來的。在實(shí)現(xiàn)效用最大化的過程中，通過選擇最優(yōu)消費(fèi)水平，財(cái)富中投資于每個(gè)生產(chǎn)過程的最優(yōu)比例以及投資于各種債券或衍生品的最優(yōu)比例來達(dá)到期望效用的最大化。

通過假設(shè)債券的價(jià)格服從某種隨機(jī)過程，考克斯等人在一般均衡條件下，導(dǎo)出了一個(gè)利率總是為非負(fù)的單因子CIR模型：

該模型與Vasicek模型一樣具有均值回復(fù)特性，但其隨機(jī)項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)差隨著短期利率的上升而上升，并且與利率的平方根成正比。因此，對(duì)于CIR模型來說，套利將使得所有期限債券的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格相同。

CIR模型和Vasicek模型都可以刻畫正向、負(fù)向和上凸的收益率曲線。根據(jù)CIR模型導(dǎo)出的債券價(jià)格與Vasicek模型中的一般形式相同，即：

但B（t，T）和A（t，T）不同：

總之，CIR模型認(rèn)為，利率期限結(jié)構(gòu)在大多數(shù)情況下都存在正的期限溢價(jià)，因?yàn)樗a(chǎn)生于經(jīng)濟(jì)中的內(nèi)在實(shí)際變量和總體均衡，因此它包含了風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避、風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償、財(cái)富限制及時(shí)間消費(fèi)偏好等。此外，CIR期限結(jié)構(gòu)圍繞長期利率（常恒）波動(dòng)。由于模型過于復(fù)雜，在對(duì)經(jīng)濟(jì)和風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)以及進(jìn)行實(shí)際預(yù)測(cè)時(shí)都存在一些困難，而且CIR模型只能考察利率期限結(jié)構(gòu)的平行移動(dòng)，這與現(xiàn)實(shí)不符。后續(xù)的研究者通過簡化模型假設(shè)和數(shù)理計(jì)算，推導(dǎo)出了債券及其他金融工具的定價(jià)公式。

5.Brennan和Schwartz雙因子模型。該模型是最早的兩因子模型，由布倫南和施瓦茲（Brennan和Schwartz）于1982年提出。他們認(rèn)為，以往的單因子模型都假定不同期限債券的瞬時(shí)回報(bào)均完全相關(guān)，這與實(shí)際嚴(yán)重不符。因此，他們根據(jù)債券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過程，建立了一個(gè)具有均值回復(fù)性質(zhì)的隨機(jī)模型，分別用短期利率和長期利率來表示，之后運(yùn)用伊藤定理計(jì)算出其收益率所遵循的隨機(jī)過程。

短期利率r和長期利率R的動(dòng)態(tài)可描述為：

根據(jù)伊藤定理，利用數(shù)值方法可解出債券的價(jià)格表達(dá)式。與單因子模型不同，該模型是由短期利率與長期利率兩因子共同決定。利用該模型可以解釋不同形狀的收益率曲線。但模型并沒有給出為何選取這兩個(gè)因子的理由，因此后來有人提出了其他的兩因子模型。

6.Longstaff和Schwartz雙因子模型。朗斯塔夫和施瓦茲（Longstaff和Schwartz，1992）在均衡模型的框架下擴(kuò)展了CIR模型，導(dǎo)出了一種新的雙因子模型。他們假定經(jīng)濟(jì)中有兩個(gè)服從CIR過程的狀態(tài)變量，而消費(fèi)者的投資收益的漂移率和波動(dòng)率則是這兩個(gè)狀態(tài)變量的函數(shù)。之后通過最優(yōu)化消費(fèi)者的效用函數(shù)并將無風(fēng)險(xiǎn)利率與期望邊際效用變化率相聯(lián)系，應(yīng)用伊藤定理得到了瞬時(shí)無風(fēng)險(xiǎn)利率所服從的隨機(jī)過程①：

從模型結(jié)果可以看出，L-S模型實(shí)際上是一個(gè)雙因子的CIR模型，其中一個(gè)因子是瞬時(shí)利率，另一個(gè)因子是瞬時(shí)利率的波動(dòng)率。通過對(duì)微分方程的求解，朗斯塔夫和施瓦茲（1992）得出了零息債和零息債期權(quán)價(jià)格的解析解。

盡管L-S模型形式復(fù)雜，但由于模型存在解析解，它在實(shí)際應(yīng)用中較為方便。與單因子CIR模型相比，L-S模型在擬合利率期限結(jié)構(gòu)的變化以及波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)上有了更大的突破，但忽略了長期利率對(duì)債券價(jià)格的影響。由于該模型本質(zhì)上仍屬于均衡模型，因此缺少無套利的市場接口。

7.CKLS模型。CKLS模型是陳、卡羅伊、朗斯塔夫和桑德斯（Chan、Karolyi、Longstaff和Sanders）4位學(xué)者于1992年建立的一個(gè)實(shí)證檢驗(yàn)的模型。模型的具體形式如下：

其中λ為常數(shù)。當(dāng)參數(shù)α、β、λ取不同的值時(shí)，上式對(duì)應(yīng)不同的模型。

模型Merton Vasicek CIR Dothan R-B B-S具體形式dr=μdt+δdW dr=(α + βr)dt+ δdW dr=(α + βr)dt+ δr1 2dW dr=δrdW dr=βrdt+δrdW dr=(α+βr)dt+δrdW α λ 0 0 1/2 0 0 β 0 0 1 1 1

針對(duì)λ的不同取值，運(yùn)用極大似然法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，他們發(fā)現(xiàn)，那些允許波動(dòng)率隨無風(fēng)險(xiǎn)利率變化的模型擬合度較好，因此，在選擇模型時(shí)要考慮波動(dòng)率能否反映利率的動(dòng)態(tài)特征。CKLS模型是一種通用模型，通過它能夠?qū)Ω鞣N模型進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)。

以上模型都是均衡模型，它們的共同缺點(diǎn)是擬合效果較差，即通過模型計(jì)算出的證券價(jià)格與實(shí)際價(jià)格存在較大差異，在現(xiàn)實(shí)市場中不太令人滿意。當(dāng)模型不能對(duì)基礎(chǔ)證券做出準(zhǔn)確定價(jià)時(shí)，衍生品的定價(jià)更是無從說起。當(dāng)然，這些模型的優(yōu)點(diǎn)相對(duì)簡單，計(jì)算方便。

（二）無套利模型

無套利模型以債券等相關(guān)資產(chǎn)之間必須滿足的無套利條件為基礎(chǔ)，選擇時(shí)變的參數(shù)值，使得每個(gè)時(shí)點(diǎn)上模型生成的利率期限結(jié)構(gòu)與市場上觀察到的利率期限結(jié)構(gòu)之間不存在套利機(jī)會(huì)。代表性的模型包括Ho-Lee模型、Hull-White模型和HJM模型等。

1.Ho-Lee模型。胡和李（Ho和Lee，1986）利用離散的二叉樹圖首次提出了利率期限結(jié)構(gòu)的無套利模型，該模型包含短期利率的標(biāo)準(zhǔn)差和該短期利率風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格這兩個(gè)參數(shù)，如下所示：

Ho-Lee模型用一種比較簡單的方式來模擬利率期限結(jié)構(gòu)的時(shí)變特征，它是對(duì)Merton模型的無套利擴(kuò)展，是可解析處理的馬爾科夫模型，應(yīng)用簡便而且能精確地符合當(dāng)前的利率期限結(jié)構(gòu)。模型的缺點(diǎn)是不具有均值回復(fù)特征，而且即期和遠(yuǎn)期利率標(biāo)準(zhǔn)差相同并且為常數(shù)。

2.Hull和White模型。赫爾和懷特（Hull和White，1990）在Vasicek模型基礎(chǔ)上，將模型中的參數(shù)變?yōu)殛P(guān)于時(shí)間的確定性函數(shù)，即假設(shè)在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下有：

其中， θ(t)， a(t)， δ(t)都是時(shí)間的確定性函數(shù)。然而上述模型在實(shí)際模型界定中有一些不盡如人意的地方。1994年，他們對(duì)該模型進(jìn)行了改進(jìn)，僅將Vasicek模型中的參數(shù)θ變?yōu)殛P(guān)于時(shí)間的確定性函數(shù)，而其他參數(shù)仍為常數(shù)，得到模型：

很顯然，當(dāng)a=0時(shí)，該模型就是Ho-Lee模型。模型中隨時(shí)間變化的確定函數(shù)θ(t)由當(dāng)前觀測(cè)到的市場利率期限結(jié)構(gòu)決定，滿足

Hull-White單因子模型的優(yōu)勢(shì)在于：將Vasicek模型拓展為更為靈活的無套利模型，對(duì)瞬時(shí)利率長期均值的時(shí)變?cè)O(shè)定使其可以完全擬合當(dāng)前時(shí)刻市場上的利率期限結(jié)構(gòu)。但由于Hull-White單因子模型并未對(duì)Vasicek模型的其他缺陷加以改善，因此仍存在Vasicek模型的其他不足，包括利率可能為負(fù)、利率波動(dòng)仍與水平無關(guān)等。

針對(duì)單因子模型的不足之處赫爾和懷特（1994）在單因子模型基礎(chǔ)上提出了雙因子模型。該模型將風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下瞬時(shí)利率的隨機(jī)過程設(shè)為

其中，μ的初始值為0，并且遵循如下過程：

如上面單因子模型中的情況，根據(jù)初始期限結(jié)構(gòu)選擇參數(shù)θ(t)，隨機(jī)變量 μ是r的回復(fù)水平的一個(gè)組成部分，并且隨機(jī)變量μ以速率b拉向0水平。參數(shù)α 、b、 σ1和 σ2都是常數(shù)， dW1和 dW2是維納過程，兩者的瞬態(tài)相關(guān)系數(shù)為 ρ。上述模型比單因子模型更能充分解釋期限結(jié)構(gòu)移動(dòng)模式以及波動(dòng)率模式。

3.Black-Derman-Toy模型。為保證利率始終為正，BDT模型假設(shè)利率服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。與Ho-Lee離散模型節(jié)點(diǎn)自然重合不同，BDT模型無法保證節(jié)點(diǎn)的自然重合，需要施加外部約束。Black，Derman and Toy（1990）最早只提出了BDT模型的離散形式，之后赫爾和懷特（1990）給出了BDT模型的連續(xù)形式：

其中，σ'是下一個(gè)時(shí)間段短期利率r的瞬時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差。BDT模型實(shí)際上是假設(shè)瞬時(shí)利率服從參數(shù)時(shí)變的Vasicek模型，因此是一個(gè)無套利的均值回復(fù)模型。該模型只有兩個(gè)待估參數(shù)：θ(t)和σ(t)，這兩個(gè)時(shí)變的參數(shù)都由t時(shí)刻的市場數(shù)據(jù)校準(zhǔn)得到。與Hull-White單因子模型相比，BDT模型既可以擬合當(dāng)前市場上的利率期限結(jié)構(gòu)，又可以完全擬合當(dāng)前利率波動(dòng)率的期限結(jié)構(gòu)。由于BDT模型使用利率的對(duì)數(shù)建模，還避免了模型生成負(fù)利率的可能。但BDT模型中趨勢(shì)變量完全由短期利率的波動(dòng)率來決定，這種方式不是很精確，模型應(yīng)該在不受波動(dòng)率的影響下，單獨(dú)考慮均值回復(fù)的性質(zhì)。

4.Black-Karasinski模型。在BDT模型中，利率的均值回復(fù)速度完全是由波動(dòng)率決定的，這一假定過于嚴(yán)格，而且可能并不合理。布萊克和拉辛斯基（Black和Karasinski，1991）在BDT模型的基礎(chǔ)上引入了第三個(gè)參數(shù)，單獨(dú)刻畫利率的均值回復(fù)速度，其連續(xù)形式為：

其中，φ(t)為均值回復(fù)速度， μ(t)為目標(biāo)利率，σ(t)為區(qū)域波動(dòng)率，即lnr的波動(dòng)率，由于BK模型引入了時(shí)變的均值回復(fù)速度φ(t)，可以視為BDT模型的一般化。因此，與BDT模型相比，BK模型更靈活。由于多引入了一個(gè)待估參數(shù)，BK模型的樣本內(nèi)擬合效果必然會(huì)優(yōu)于BDT模型。但是，這同時(shí)也意味著擬合該模型所需的市場信息將增加，且樣本外的定價(jià)和預(yù)測(cè)結(jié)果并不必然優(yōu)于BDT模型。

由于BK模型是對(duì)數(shù)正態(tài)分布的模型，利率不可能為負(fù)，并且允許獨(dú)立設(shè)定均值回復(fù)的行為。但是該模型與其他離散模型一樣，利率的樹狀圖面臨節(jié)點(diǎn)不重合的可能，均值回復(fù)的行為將受到波動(dòng)率結(jié)構(gòu)的影響。

5.HJM模型。希思、賈羅和莫頓（Heath、Jarrow和Morton，1992）提出的HJM分析框架給出了無套利模型的一般形式，幾乎所有的無套利模型都可以看成是HJM框架的特例。在此之前的模型都是從假定債券價(jià)格或即期利率服從某種隨機(jī)過程入手，而希思、賈羅和莫頓則從設(shè)定瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率在現(xiàn)實(shí)測(cè)度下的隨機(jī)過程出發(fā)，將當(dāng)前的利率期限結(jié)構(gòu)作為輸入變量，基于無套利條件推出風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率所應(yīng)遵循的隨機(jī)過程，進(jìn)而求解債券與衍生品價(jià)格。

HJM模型假設(shè)瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率在現(xiàn)實(shí)測(cè)度下服從如下過程：

其中， f(t,T)表示在t時(shí)刻觀測(cè)到的T時(shí)刻到期合約的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率，ωˉt表示直到t時(shí)刻為止發(fā)生的所有事件②，α（?）和σ（?）分別表示現(xiàn)實(shí)世界中瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率的漂移率和波動(dòng)率。他們運(yùn)用無套利分析導(dǎo)出了瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率的漂移率和波動(dòng)率之間的關(guān)系，即：

因此，只要估計(jì)出了遠(yuǎn)期利率的波動(dòng)率，就可得到瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率的漂移率，從而求出債券的價(jià)格。與其他直接假定短期利率服從布朗運(yùn)動(dòng)的短期利率模型不同，該模型是非馬爾科夫過程，短期利率樹圖不一定重合，需要用蒙特卡洛模擬方法來處理，缺點(diǎn)是耗時(shí)過久。

HJM模型的結(jié)果可以擴(kuò)展到多個(gè)獨(dú)立因子的情況。假設(shè)

和之前一樣進(jìn)行類似的分析，得到③：

該式是HJM分析框架的核心結(jié)論，由于刻畫的是無法觀測(cè)的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率，而且計(jì)算速度慢，因此，HJM模型的應(yīng)用不是很多，但該模型為其他利率模型的構(gòu)建提供了一個(gè)較好的框架。

總而言之，不管是均衡模型還是套利模型，其所描述的均是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的利率變動(dòng)行為。而實(shí)證檢驗(yàn)所利用的利率數(shù)據(jù)都是現(xiàn)實(shí)世界的，因此在對(duì)衍生產(chǎn)品定價(jià)時(shí)，必須通過Girsanov定理先將現(xiàn)實(shí)世界轉(zhuǎn)換為風(fēng)險(xiǎn)中性世界，然后再利用風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的相應(yīng)結(jié)果進(jìn)行定價(jià)。

三、利率期限結(jié)構(gòu)模型的研究新進(jìn)展

利率期限結(jié)構(gòu)理論在近年出現(xiàn)了兩極化發(fā)展趨勢(shì)。一個(gè)方向是在HJM分析框架下向更微觀的市場模型（LMM）拓展，另一個(gè)方向是向大型的宏觀金融模型發(fā)展，用潛因子和宏觀經(jīng)濟(jì)變量來解釋利率期限結(jié)構(gòu)。

（一）市場模型

長期以來，利率建模主要是基于即期利率模型和瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率，而瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率在市場中是不可直接觀測(cè)的，使得模型相對(duì)不易理解。隨著利率上限和利率互換期權(quán)產(chǎn)品在國際利率市場上交易的日益頻繁，針對(duì)這兩種產(chǎn)品的標(biāo)的資產(chǎn)利率建模也成了利率模型發(fā)展的必然趨勢(shì)。自1997年Brace、Gatarek和Musiela首次建立BGM模型以來，市場模型已經(jīng)由最初的遠(yuǎn)期Libor模型發(fā)展到帶隨機(jī)波動(dòng)率的市場模型、帶跳躍的市場模型等一系列復(fù)雜模型，由于對(duì)隨機(jī)積分的要求過高，模型也越來越難以處理。LMM模型的優(yōu)點(diǎn)在于模型建模對(duì)象是基于市場上能夠觀察到的遠(yuǎn)期利率（比如Libor利率），且模型本身具有動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)，可反映不同期限利率的動(dòng)態(tài)走勢(shì)。目前主流的市場模型分為兩類：LFM模型和LSM模型。LFM模型是基于利率上限的標(biāo)的利率進(jìn)行建模，而LSM模型是基于利率互換期權(quán)的標(biāo)的利率建模。二者都假設(shè)利率在某種風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的動(dòng)態(tài)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。

1.LFM模型。假設(shè)對(duì)于任意的1≤i

其中，Wi+1t是遠(yuǎn)期風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Pi+1下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，γi(t)是一個(gè)關(guān)于時(shí)間t的確定性函數(shù)。通過測(cè)度變換和伊藤積分可知，LFM模型又可以表示為在同一個(gè)遠(yuǎn)期測(cè)度Pn下，所有Fi(t)都滿足的方程形式：

其中，Wnt是遠(yuǎn)期風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Pn下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

由LFM模型的基本假設(shè)可知，遠(yuǎn)期利率F(t,Ti,Ti+1)在遠(yuǎn)期測(cè)度下是一個(gè)無漂移項(xiàng)且標(biāo)準(zhǔn)差具有如下形式的幾何布朗運(yùn)動(dòng)。

這與BS框架的假設(shè)是一致的，因此，對(duì)利率上限的定價(jià)就變得簡單很多。其利率上限單元的價(jià)格可由類似于BS公式的推導(dǎo)得到如下形式：

其中，Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，且

2.LSM模型。LSM模型假設(shè)對(duì)任意的1≤i

與LFM模型類似，LSM模型假設(shè)遠(yuǎn)期互換利率S(t,Ti,Ti+1)在遠(yuǎn)期測(cè)度Pi,j下是一個(gè)無漂移項(xiàng)且標(biāo)準(zhǔn)差具有如下形式的幾何布朗運(yùn)動(dòng)：

則以其為標(biāo)的的利率互換期權(quán)的價(jià)格也可由類似于BS公式的推導(dǎo)得出：

其中，Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，且：

需要特別指出的是，LFM模型和LSM模型是內(nèi)在矛盾的，LFM模型認(rèn)為遠(yuǎn)期利率服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，而LSM認(rèn)為遠(yuǎn)期互換利率服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。由于兩個(gè)假設(shè)是不可能同時(shí)滿足的，因此，在同一遠(yuǎn)期風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下，兩個(gè)模型不可能同時(shí)得到上述各自模型形式。有學(xué)者在各自風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下給出了對(duì)方所滿足的具有幾何布朗運(yùn)動(dòng)形式的隨機(jī)微分方程，但模型失去了鞅性，不再適用于BS理論框架，這極大地影響了模型的應(yīng)用。實(shí)際上，兩個(gè)模型雖然互不兼容，但其各自風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度之間具有關(guān)聯(lián)，并能夠找到各自參數(shù)之間的近似表達(dá)式，這樣，通過參數(shù)之間的相互作用，拉進(jìn)了模型之間的一致性，從某種程度上減弱了不兼容性所引起的對(duì)模型的詬病。

（二）宏觀金融模型

在研究利率期限結(jié)構(gòu)時(shí)，無套利定價(jià)模型沒有考慮宏觀經(jīng)濟(jì)因素對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)的影響，根據(jù)凱恩斯理論，利率是投資者進(jìn)行投資決策和政府制定政策的重要依據(jù)，在宏觀經(jīng)濟(jì)中占有重要地位。作為宏觀政策制定者，希望知道驅(qū)動(dòng)利率變動(dòng)的真實(shí)力量以及利率與宏觀經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系，因?yàn)槔适侵醒脬y行監(jiān)控金融系統(tǒng)和調(diào)節(jié)貨幣政策的工具，中央銀行通過在公開市場上買賣不同到期債券來影響利率的期限結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)經(jīng)濟(jì)的調(diào)控。另一方面，短期利率又是其他期限利率的基準(zhǔn)，長期利率可看作經(jīng)風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整的預(yù)期短期利率的期望值。因此，一些學(xué)者在無套利模型的基礎(chǔ)上，將宏觀經(jīng)濟(jì)模型與利率期限結(jié)構(gòu)模型相結(jié)合，從宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)的雙重視角，構(gòu)建了宏觀金融模型，考察了宏觀經(jīng)濟(jì)變量對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)的影響，深化了對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)理論的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，在宏觀經(jīng)濟(jì)模型中引入利率期限結(jié)構(gòu)信息來提高模型參數(shù)估計(jì)的效率以及模型對(duì)關(guān)鍵參數(shù)的識(shí)別能力。

新凱恩斯理論和泰勒規(guī)則的提出，是宏觀金融模型觸發(fā)和發(fā)展的關(guān)鍵。新凱恩斯理論是近三十年學(xué)者們研究經(jīng)濟(jì)周期和經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的主流理論框架，它將不完全競爭和名義剛性融入一般均衡之中，用較少的宏觀經(jīng)濟(jì)變量構(gòu)造隨機(jī)動(dòng)態(tài)一般均衡（DSGE）模型，以此為基礎(chǔ)分析貨幣、經(jīng)濟(jì)周期和通貨膨脹之間的關(guān)系。新凱恩斯模型通過優(yōu)化消費(fèi)者或者廠商效用函數(shù)推導(dǎo)出經(jīng)濟(jì)變量的均衡條件，具有很強(qiáng)的微觀理論基礎(chǔ)。泰勒（1993）提出的泰勒規(guī)則描述了中央銀行如何使用利率手段來保持較低并且穩(wěn)定的通貨膨脹率及避免產(chǎn)出和就業(yè)的劇烈波動(dòng)，分為后顧型和前瞻型的泰勒規(guī)則。后顧型泰勒規(guī)則將利率表示為通貨膨脹和產(chǎn)出缺口的仿射函數(shù)，前瞻型泰勒規(guī)則引入了預(yù)期通貨膨脹的概念，將利率表示為預(yù)期通貨膨脹與目標(biāo)通貨膨脹之差和產(chǎn)出缺口的仿射函數(shù)，以此刻畫央行對(duì)利率的調(diào)節(jié)機(jī)制。根據(jù)泰勒規(guī)則，安和皮亞澤西（Ang和Piazzesi，2003）在無套利約束下首次將通貨膨脹率等宏觀經(jīng)濟(jì)變量引入到仿射利率期限結(jié)構(gòu)模型中，用向量自回歸（VAR）的方法描述了短期利率與宏觀經(jīng)濟(jì)變量之間的聯(lián)系，探討宏觀經(jīng)濟(jì)對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)的影響，從而開啟了宏觀金融模型研究的新時(shí)代。

現(xiàn)實(shí)中的經(jīng)濟(jì)和金融數(shù)據(jù)大多是離散的，在進(jìn)行實(shí)證分析時(shí)需要把連續(xù)時(shí)間模型離散化為時(shí)間序列。依照無套利原則，將仿射利率期限結(jié)構(gòu)中因子和定價(jià)核的隨機(jī)方程進(jìn)行離散化，得到如下模型：

第一個(gè)等式是定價(jià)核的離散形式，εt+1是白噪聲，服從獨(dú)立同分布；第二個(gè)等式是離散的因子模型，具有向量自回歸（VAR）的形式，用于描述因子的動(dòng)態(tài)變化，擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)矩陣D，利率函數(shù)r(Xt)和風(fēng)險(xiǎn)市場價(jià)格函數(shù) λ(Xt)中的系數(shù) ρ0， ρ1， γ0，γ1均為常數(shù)。

現(xiàn)有文獻(xiàn)中的宏觀金融模型均以該模型為研究框架，區(qū)別主要體現(xiàn)在因子的選取上（金，2009）。所有到期收益率均表示為因子的仿射函數(shù)，因子可看作利率期限結(jié)構(gòu)的基。按因子的來源將模型分為內(nèi)基模型和外基模型④。內(nèi)基模型的因子不可觀測(cè)，只能通過債券到期收益率數(shù)據(jù)用統(tǒng)計(jì)方法得到，比如通過卡爾曼濾波或主成分分析法。外基模型的因子則全部由可觀測(cè)的宏觀經(jīng)濟(jì)變量構(gòu)成，如通貨膨脹、產(chǎn)出缺口和利率等。對(duì)于既包含可觀測(cè)變量又包含隱因子的模型，可按照因子模型的設(shè)定劃分：如果因子模型是沒有施加經(jīng)濟(jì)理論約束的一般VAR模型，則該模型為內(nèi)基模型；如果因子模型是根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論得出的結(jié)構(gòu)向量自回歸（SVAR）模型，則可看作是外基模型。

因子不可觀測(cè)的內(nèi)基模型由于采用的是VAR模型來刻畫因子的變化，缺乏經(jīng)濟(jì)理論支撐，因此在實(shí)證過程中應(yīng)對(duì)模型施加約束，以減少模型估計(jì)的參數(shù)。其中以安和皮亞澤西（2003）、勞巴克（Laubach，2007）、德瓦曲和亞尼亞（Dewachter和Iania，2009）等學(xué)者的內(nèi)基模型為代表。與內(nèi)基模型不同，外基模型強(qiáng)調(diào)模型本身的內(nèi)生穩(wěn)定性。外基模型中的因子為宏觀經(jīng)濟(jì)變量，模型具有明確的經(jīng)濟(jì)含義，因子動(dòng)態(tài)模型采用基于新凱恩斯理論的動(dòng)態(tài)一般均衡（DSGE）模型，采用SVAR模型進(jìn)行估計(jì)和檢驗(yàn)。其中以拉文納和塞帕拉（Ravenna和Seppla，2005），奧爾塔爾、特里斯塔尼和韋斯廷（Hordahl、Tristani和Vestin，2006）、魯?shù)虏际┖蛥牵≧udebusch和Wu，2008）、貝克特、曹和莫雷諾（Bekaert、Cho和Moreno，2010）等外基模型為代表。

雖然宏觀金融模型研究起步較晚，但發(fā)展迅速，在取得一些研究成果的同時(shí)，還有很多需要深入和完善的地方。比如為了保證收益率具有放射形式的解析解，現(xiàn)有的宏觀金融模型大都建立在仿射期限結(jié)構(gòu)模型基礎(chǔ)上，模型設(shè)定缺乏經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)理論基礎(chǔ)。此外，盡管從偏好函數(shù)出發(fā)，推導(dǎo)動(dòng)態(tài)一般均衡利率期限結(jié)構(gòu)模型的研究已經(jīng)取得了一些進(jìn)展，但根據(jù)潛在偏好和技術(shù)參數(shù)來設(shè)定無套利宏觀金融模型仍然面臨著很大的挑戰(zhàn)。比如安德烈亞森（Andreasen，2008）在仿射期限結(jié)構(gòu)模型的基礎(chǔ)上，通過非線性DSGE模型構(gòu)建了宏觀金融模型，將投資者偏好、勞動(dòng)生產(chǎn)率和投資沖擊分解為平穩(wěn)和非平穩(wěn)兩個(gè)部分。他認(rèn)為沖擊中的平穩(wěn)部分只能解釋短期利率和宏觀經(jīng)濟(jì)變量的動(dòng)態(tài)行為，而沖擊中的非平穩(wěn)部分可解釋中長期利率的動(dòng)態(tài)行為。李、辛格爾頓和戴（Le、Singleton和Dai，2010）提出的離散時(shí)間仿射期限結(jié)構(gòu)模型，解決了風(fēng)險(xiǎn)市場價(jià)格是因子的非線性函數(shù)問題，從而可以更為靈活地設(shè)定宏觀金融模型中的因子模型和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格函數(shù)形式，為實(shí)際宏觀金融模型的研究奠定了基礎(chǔ)。

注：

①具體推導(dǎo)過程參見：Longstaff and Schwartz（1992）。

②為書寫方便，在后續(xù)推導(dǎo)中，我們將省略ωˉ。

③具體推導(dǎo)過程參見：陳蓉、鄭振龍，固定收益證券[M].北京大學(xué)出版社，2011。

④金（Kim，2009）將宏觀金融模型劃分為內(nèi)基模型和外基模型，也有學(xué)者將其劃分為結(jié)構(gòu)化宏觀金融模型和簡約型宏觀金融模型，內(nèi)基模型與結(jié)構(gòu)化宏觀金融模型相似，外基模型與簡約型宏觀金融模型相似。

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