胡開文

數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學?！皵?shù)”和“形”是數(shù)學中最基本的兩大概念，它們好比數(shù)學中的“左右腿”。數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學中的一個重要思想；數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應關(guān)系。數(shù)形結(jié)合思想方法就是把抽象嚴謹?shù)臄?shù)學語言、數(shù)量關(guān)系與直觀表意的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以數(shù)助形”，對直觀問題加以數(shù)理推證和精確刻化；反過來，“以形助數(shù)”，給抽象的問題賦予形象化的原型，從而給人們以形象思維的啟示，從而達到把握數(shù)學本質(zhì)的目的。全面理解數(shù)形結(jié)合思想，就需要從“以數(shù)助形”、“以形助數(shù)”和“數(shù)形互變”三個方面體會。

一、以數(shù)助形

從“以數(shù)助形”的角度看“數(shù)形結(jié)合”思想主要有以下兩個結(jié)合點。

1.利用數(shù)軸。

例：有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a與b的大小關(guān)系是（？搖？搖？搖？搖）

分析：從有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置看，a<0，b>0，所以a

數(shù)軸的引入為有理數(shù)內(nèi)容體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想提供了橋梁。對于每一個有理數(shù)，數(shù)軸上都有唯一確定的點與它對應，因此，兩個有理數(shù)大小的比較，可以通過這兩個有理數(shù)在數(shù)軸上的對應點的位置關(guān)系來判斷。盡管我們學習的是有理數(shù)，但要記住它的形（數(shù)軸上的點），在課堂教學中滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，幫助初一學生正確理解有理數(shù)的概念及其運算法則。

2.平面直角坐標系將一些代數(shù)表達式賦予幾何意義。

（1）x取什么值時，函數(shù)值y等于0？

（2）x取什么值時，函數(shù)值y始終大于0？

分析：函數(shù)值y=0，說明函數(shù)圖像與x軸相交，而y>0，說明函數(shù)圖像要在x軸上方。

解：（1）當x=-2時，y=0；（2）當x>-2時，y>0。

由于在直角坐標系中，有序?qū)崝?shù)對（x，y）與點P的一一對應，使函數(shù)關(guān)系式與其圖像的數(shù)形結(jié)合成為必然。一個函數(shù)可以用圖像表示，而借助這個圖像又可以直觀分析出函數(shù)的一些性質(zhì)和特點，這為數(shù)學的研究與應用提供了很大的幫助。因此，函數(shù)關(guān)系式及其圖像內(nèi)容凸顯了數(shù)形結(jié)合的思想方法，課堂教學時老師若注重數(shù)形結(jié)合，將會收到事半功倍的教學效果。

我們教學時會發(fā)現(xiàn)圖形的特征常常體現(xiàn)著數(shù)的關(guān)系，運用“數(shù)”的規(guī)律，數(shù)值的計算，就可以尋找出處理“形”的方法，達到以“數(shù)”助“形”的目的。

二、以形助數(shù)

幾何圖形在數(shù)學中所具有的最大優(yōu)勢就是直觀易懂，所以在談到“數(shù)形結(jié)合”思想時，就更偏好于“以形助數(shù)”的方法，利用幾何圖形解決相關(guān)不易求解的代數(shù)問題。幾何圖形直觀的運用于代數(shù)中主要體現(xiàn)在：

利用相關(guān)的幾何圖形幫助記憶代數(shù)公式，如：平方差公式。

利用圖形面積的相等關(guān)系，進一步從幾何角度驗證了平方差公式的正確性，滲透了數(shù)形結(jié)合的思想方法，讓學生體會到代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系，引導學生學會多角度、多方面地思考問題。

三、“數(shù)形”互變

“形數(shù)”互變是指在有些數(shù)學問題中不僅僅是簡單的以“數(shù)”助“形”或以“形”助“數(shù)”，而是需要“形”“數(shù)”互相變換，不但要想到由“形”的直觀變?yōu)椤皵?shù)”的嚴密，還要由“數(shù)”的嚴密聯(lián)系到“形”的直觀。

例：某市氣象臺測得一熱帶風暴中心從A城正西方向300km處，以每小時26km的速度向北偏東60°方向移動，距風暴中心200km的范圍內(nèi)為受影響區(qū)域。試問A城是否受這次風暴的影響？如果受影響，請求出遭受風暴影響的時間；如果沒有受影響，請說明理由。

分析：本題情景與人們的日常生活密切相關(guān)，其思維深度具有一定挑戰(zhàn)性。如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型（數(shù)形結(jié)合）是解決問題的關(guān)鍵。

平面幾何中隱含著很多的數(shù)量關(guān)系，從概念的引出到相關(guān)公式的推導及三角形的解法及其實際應用，無不體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法。在解三角形的問題時，若先畫出圖形，使已知的邊角關(guān)系和未知的邊角關(guān)系更直觀，有助于問題的順利解決。

總之，初中數(shù)學課堂教學中，可以知道其研究的對象不外是一些常見的數(shù)量關(guān)系與簡單的圖形，數(shù)與形不僅是兩個相互對立的概念，而且是數(shù)學中較其他對立較特殊的一種對立，然而，數(shù)與形和其他對立的雙方一樣，也可以在一定的條件下實現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化。華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！币虼?，化數(shù)為形；化形為數(shù)，數(shù)形相互為用是數(shù)學探索和解決數(shù)學問題的重要途徑。

數(shù)形結(jié)合滲透在中學數(shù)學的各個部分，在平時的數(shù)學教學中，老師要做好這種“數(shù)”與“形”關(guān)系的揭示與轉(zhuǎn)化，啟發(fā)學生深刻認識數(shù)學問題的實質(zhì)，數(shù)學知識的精髓，才能將知識轉(zhuǎn)化為能力，提高學生靈活運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力。這樣，數(shù)學課堂一定能綻放異彩。