張 丹

(西安電子科技大學(xué)理學(xué)院，陜西西安 710071)

隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論被廣泛應(yīng)用于物理、生物、經(jīng)濟(jì)、數(shù)學(xué)等多種學(xué)科［1－2］。人類對各種人工和自然的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)和功能有更清楚的認(rèn)識。多年來復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的一個主要課題就是關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步研究［3］。同步是一種復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中普遍的非線性現(xiàn)象，實(shí)際生活中的許多網(wǎng)絡(luò)也都表現(xiàn)出較強(qiáng)的同步傾向性。眾多研究工作均是針對微軟時變耦合網(wǎng)絡(luò)的同步問題來展開的［4－5］，在已有的研究文獻(xiàn)中，同步算法大致可分為以下兩種:基于Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)的同步算法法和基于連接圖判據(jù)的同步算法。本文降低了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)達(dá)到同步的條件，給出了一類離散時間系統(tǒng)復(fù)雜時變網(wǎng)絡(luò)的加性非脆弱同步控制策略，得出算法中反饋增益矩陣的LMI算法，同時利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了該算法之下的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是非脆弱漸進(jìn)同步的。

1 基本概念和引理

該部分列出了下文所用到的一些引理。

引理1［8］對于滿足FTF≤I的任意矩陣F，有對任意給定的向量x∈p，y∈q以及常數(shù)ε＞0均成立，其中D和E是適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣。

引理2［9］設(shè)E，H，F(xiàn)是適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣且滿足FTF≤I，則對于標(biāo)量ε＞0，有不等式成立

引理3［8－9］設(shè) A，D，E，F(xiàn) 是適當(dāng)維數(shù)的時矩陣且滿足FTF≤I，則有矩陣P＞0，對于標(biāo)量ε＞0且滿足εI－DTPD＞0，則有不等式成立

(A+DFE)TP(A+DFE)≤ATPA+ATPD(εIDTPD)－1DTPA+ εETE

引理4［9］對于給定的矩陣，其中S11是r×r維的，則以下3個條件是等價的

(1)S＜0;

引理5［8］對于給定的實(shí)矩陣G和E，以及適當(dāng)維數(shù)的對稱陣S，下面的矩陣不等式成立

其中，F(xiàn)(k)滿足F(k)TF(k)≤I，當(dāng)且僅當(dāng)對于某個ε ＞0，有

2 時變復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型

對于網(wǎng)絡(luò)中的每個個體用xi(t)表示其狀態(tài)，其可表示該結(jié)點(diǎn)的某些物理量，例如姿態(tài)、位置、溫度和電壓等。網(wǎng)絡(luò)中的每個個體的狀態(tài)和其周圍的個體狀態(tài)有關(guān)，即網(wǎng)絡(luò)中每個個體的狀態(tài)是由其自身的狀態(tài)以及周圍的個體狀態(tài)所決定的，故而可用單積分微分方程(1)來表示該網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)［11］

其中，ui(k)，i=1，2，…，n 可稱之為協(xié)議或算法，是一個待設(shè)計的狀態(tài)反饋。

文中，研究一個線性耦合系統(tǒng)，即滿足協(xié)議為以下方程的系統(tǒng)

即

其中，vi(k)是待設(shè)計的反饋控制。i=1，2，…，N，xi=［xi1，xi2，…，xin］T∈n為網(wǎng)絡(luò)中第 i個結(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變量。A(k)=［aij(k)］∈Rn×n為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在k時刻的內(nèi)部耦合矩陣。耦合配置矩陣C(k)=［cij(k)］∈Rn×n表示網(wǎng)絡(luò)在t時刻的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和耦合強(qiáng)度，其對角線元素可如下定義表示結(jié)點(diǎn)i的狀態(tài)xj(k)受其鄰居結(jié)點(diǎn)的狀態(tài)影響［11］。

為后續(xù)討論，首先給出幾個假設(shè)條件:

假設(shè)1 網(wǎng)絡(luò)模型式(3)的耦合矩陣C(k)的各元素均有界，即滿足cij(k)≤c，其中c為正常數(shù)。

假設(shè)2 網(wǎng)絡(luò)模型式(3)的耦合矩陣A(k)滿足如下條件

其中，A0，E，H為常數(shù)矩陣;F(k)是時變矩陣并滿足FT(k)F(k)≤I。

本文的目標(biāo)是對每個結(jié)點(diǎn)設(shè)計合適的反饋控制率vi(k)，使得對于任意初始狀態(tài)X0，網(wǎng)絡(luò)式(3)總可實(shí)現(xiàn)漸進(jìn)同步，即對初始狀態(tài)X0，有

則稱網(wǎng)絡(luò)式(3)在反饋控制率vi(k)的控制下關(guān)于xi(k)=s(k)實(shí)現(xiàn)了漸進(jìn)同步，其中xi(k，X0)表示以X0為初始狀態(tài)的網(wǎng)絡(luò)第i個結(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變量，s(k)為網(wǎng)絡(luò)的同步軌跡，并滿足如下條件

若記ei(k)=xi(k)－s(k)，考慮到如下等式

則帶有控制的余差狀態(tài)方程可描述為

其中?i=1，2，…，N，f^(k)=f(xi(k))－ f(s(k))，系統(tǒng)式(7)是穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)下式成立

3 復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)非脆弱同步控制

針對復(fù)雜時變動態(tài)網(wǎng)絡(luò)式(3)，耦合矩陣C(k)若有界且A(k)滿足上述假設(shè)中的條件時，文中可利用非脆弱控制算法對該系統(tǒng)進(jìn)行控制。

對于余差狀態(tài)方程式(7)，采用加性攝動非脆弱控制

其中，K是待設(shè)計的矩陣。ΔK(k)=E0F(k)H0，E0和H0為常數(shù)矩陣。F(k)是時變不確定矩陣且滿足FT(k)F(k)≤I。下面采用 Lyapunov方法來設(shè)計矩陣K。

根據(jù)引理1，同時f(·)滿足Lipschitz條件時，可得

其中，λ =λmax(P)，P －λI＜0。注意到A0+EF(k)H，根據(jù)Lyapunov判據(jù)，系統(tǒng)式(7)漸進(jìn)穩(wěn)定，若下式成立綜合利用上述引理，推導(dǎo)可得式(11)成立等價于下列不等式成立

綜上可得到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)式(7)達(dá)到同步的充分條件是不等式(12)成立，即以下定理成立:

定理1 在施加了加性攝動非脆弱同步控制式(9)的情況下，時變線性耦合的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)式(3)實(shí)現(xiàn)同步的充分條件是對于一個給定的正常數(shù) ε、ε1，式(12)有可行解W和P，進(jìn)而反饋增益矩陣K為K=P－1W。

4 結(jié)束語

研究了一類復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的非脆弱同步算法，在考慮了網(wǎng)絡(luò)的同步軌跡及拓?fù)湫畔⒑笪闹屑僭O(shè)網(wǎng)絡(luò)的耦合矩陣均有界的前提下，通過引入恰當(dāng)?shù)姆答伩刂撇呗?，設(shè)計了加性的非脆弱反饋控制方案，并利用Lyapunov方法給出了網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)漸進(jìn)同步控制所需滿足線性矩陣不等式(LMI)的條件，同時通過Matlab中的LMI工具箱求解出反饋增益矩陣K。經(jīng)驗(yàn)證文中提到的方法在實(shí)際情況中更易實(shí)現(xiàn)，且網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的耦合強(qiáng)度、網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等均具有較強(qiáng)的魯棒性。

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