摘要：不同的消費群體對購房還貸的影響因素敏感性不同，因此，將層次分析法應用于還貸方案進行評估，通過銀行抵押貸款月還款額模型，分別計算方案中未知的貸款額、月還款額和月利率；按照數值的大小確定各準則對于目標及各方案對于每一準則的權重，利用層次分析法中的權值矩陣法進行計算并確定最優(yōu)方案，然后進行一致性檢驗；最后，對模型解進行分析評價。應用層次分析法對不同的貸款方案進行評估，減少了因主觀判斷引起的各種判斷差異，可以為購房者和投資者提供有效的依據。

關鍵詞：層次分析法；抵押貸款；還款模型

中圖分類號：F224.0 文獻標志碼：A文章編號：1673-291X（2014）11-0157-03

引言

“花明天的錢圓今天的夢”，當今社會提前消費已不是新鮮事。越來越多的人選擇貸款購房，更多人成了“負債一族”、“按揭一族”。按揭貸款無疑是時下一種受購房者普遍歡迎的貸款方式，它可以降低買房的門檻。然而，消費者在購房時如何選擇適合自己的按揭貸款方式呢？面對銀行提供的多種貸款還款方式，究竟哪種最劃算呢?

影響借款人還款方案的因素包括月還款額、年利率或月利率、還款期限、貸款額、還款總額。月還款額高，還款期限就短，對于中高層收入人群比較適合，由于其收入處于高峰期并有一定的積蓄，可以短時間內還完貸款。月還款額低，還款期限就相應就比較長，但是對于年輕購房者比較適合，由于其工作年限較短，收入一般不高且積蓄不多，較低的月還款額不會增加其生活的壓力。不同的計息期還會導致名義利率和實際利率不同。

基于以上考慮，本文提出應用多目標決策中一個簡單有效的決策方法——層次分析法來對不同的還貸方案進行評估的方法。還貸決策方案的選擇也是一個多目標、多層次、結構復雜、因素眾多的決策，因而運用層次分析法進行評價是合適的[1]。應用層次分析法對不同的貸款方案進行評估，充分考慮了影響還款的各種因素，減少了因為主觀判斷而引起的各種判斷差異，且指標更客觀、更確切地反映所研究的問題，最后給出的綜合評分也更客觀，可以為購房者和投資者提供了有效的依據。

一、層次分析法與還貸模型

層次分析法（簡稱AHP）是美國著名的運籌學家T L Saaty等人于20世紀70年代提出的一種定性與定量相結合的多準則決策方法，主要用于解決多因素復雜的，特別是難以定量描述的決策問題[2]。其基本思路為：分析影響決策的各因素之間的關系，建立多層次關系結構，對同一層次的影響因素進行兩兩比較，構造成對比矩陣，并進行層次排序和一致性檢驗，最后根據方案層對總目標層的的組合權重來選擇最優(yōu)方案[3]。

（一）方案提出

張先生購房需要80萬元，其自備款約20萬元，其余打算采用抵押貸款方式從銀行貸款。假設資金時間價值按復利計算；銀行利率不變且不考慮通貨膨脹因素；假設每月還款額均在月底支付即后付年金。銀行提供了三種方案可供選擇。

方案一：首付260 540元，貸款期限5年，月還款額12 000，月利率0.01。

方案二：首付200 000元，貸款期限25年，月利率0.01，貸款額600 000。

方案三：貸款期限22年，月還款額6 320（提前預付3個月），貸款額600 000，首付200 000元。方案一中總貸款額、方案二中的月還款額和方案三中的實際利率3個數據未知，可以利用銀行抵押貸款模型計算得出。銀行抵押貸款模型涉及到的變量有：月還款額、年利率或月利率、還款期限、貸款額、還款總額。抵押貸款還貸相當于在約定的年限清償所欠的債務，其每月還款額的計算是年金現值的逆運算[4]，其計算公式為：還款額=年金現值×資本回收系數，換算成月利率為：

每月還款額=

利用公式計算方案一的貸款額=12 000×[（1+0.01）60-1]/

0.01×（1+0.01） 60 =539 460元

方案二的月還款額=600 000×0.01×（1+0.01）25*12 / [（1+0.01）25*12 -1]=6 319.3元

方案三預付三個月后的貸款額為581 040元，此后每月還款6 320。當利率為0.01時，貸款額=581 040×0.01×（1+0.01）元/0.01/（1+0.01） 22×12-1 =6 260

當利率為0.009時，貸款額=581 040×0.009×（1+0.009）22×12 /

0.01/（1+0.009）22×12-1 =6 410

因此，方案三月利率=0.009+（6 410-6 320）/（6 410-6 260） ×（0.01-0.009）=0.0096

因此，可以得到方案一的貸款額為53 946元，方案二的月還款額為6 319.3元，方案三的月利率為0.0096。三種方案分別如表1。

（二）利用分層法選出最優(yōu)方案

將問題分解為三個層次，最上層為目標層——選擇抵押還款方案，最下層為方案層，有P1、P2、P3三個方案；中間層為準則層，有月還款額、還款總額、貸款額、月利率、貸款期限5個準則。模型需要用到的符號有：CI一致性度量指標；Ci中間層的第i個準則；λ正互反矩陣的最大特征值；A第二層對第一層中每個因素的權向量構成的矩陣；B第三層對第二層中的每個因素的權向量構成的矩陣；CR一致性比率；w歸一化權向量[5]。首先構造方案的層次結構（見圖1）。

其次構造成對比較矩陣并計算權重。

方法：將各要素配對比較，根據各要素的相對重要程度進行判斷，再根據計算成對比較矩陣的特征值獲得權重向量AW[6]。假設比較中間層5個因素C1，C2，C3，C4，C5對上一層因素的影響，假設此5個因素的重要性為10，月還款額的重要性為2、還款總額和貸款額比重較輕為1、月利率因素最重為4、還款期限次之為2，則成對比較矩陣中C1∶C2為2，C1∶C3為2，C1∶C4為1/2，C1∶C5為1，C2∶C3為2，C2∶C4為1/4，C2∶C5為2，C3∶C4為1/4，C3∶C5為1，C4∶C5為2。則組成的成對比較矩陣如下所示：

A=1 221/2 1

1/2121/4 2

1/2 1/211/4 1

2 4412

11/2 1 1/2 1

計算歸一化權向量w=[0.19140.16460.09790.40.1461]T

AW=[1.06250.84830.5222.1250.7177]T

λ=（1.0625/0.1914+0.8483/0.1646+0.522/0.0979+2.125/0.4+

0.7177/0.1461）/5 =5.2524

然后進行一致性檢驗。

一致性度量指標為CI∶CI=λ-n/n-1，其中λ表示矩陣的最大特征值，CI越小，說明權重的可靠性越高。當CR<0.1時（CR 是一致性比率，RI是隨機一致性指標，查表可得），可認為A的不一致程度在容許范圍內，可用其特征向量作為權向量。否則應重新修正該正互反矩陣。將上述數據代如計算得：CI=λ-n/n-1=0.2524/4=0.0631，CR =0.0631/1.12 = 0.0563<0.1。

endprint

因此該成對比較矩陣通過一致性檢驗，它的特征向量可作為權向量。

接下來計算組合權向量。

用同樣的方法構造第三層對第二層的每一個準則的成對比較矩陣，對于方案中還款額應該是越少越好，由于還款額分別為12 000，6 319.3，6 320，還款額越少權重越大；還款總額和貸款額應該是越少越好；還款總額和貸款額越少權重越大；對于月利率應是越低權重越高；對于貸款期限（5年，25年，22年）越短，風險越小，收益越大因此權重越大。由此確定3個方案對5個準則的矩陣。

B1=1 3 4

1/31 1

1/41 1 B2=11/2 1/2

211

211 B3=11/2 1/2

211

211

B4=1 1 2

1 1 3

1/21/31B5=11/5 1/4

511

411

上述矩陣Bk中的元素是三個方案對于準則的反映靈敏性的比較尺度。計算以上各矩陣的權向量，最大特征值和一致性指標結果（見表2）：

計算方案目標中的組合權重等于他們相應項的兩兩乘積之和。方案1在目標中的組合權重為0.1914* 0.633+ 0.1646*0.2+ 0.0979*0.2+ 0.4*0.291+0.1461*0.1=0.3047 同理可算出方案二、方案三在目標中的組合權重為0.3867和0.3078。第二層對第一層的一致性比率為 CRp= CRp-1 + CIp/Rip；當最下層對最上層的組合一致性比率小于0.1時認為整個層次的比較判斷通過一致性檢驗。CR3= CR2 + CI3/Ri3 =0.0563+0.005/0.58=0.065<0.1。由此可以得到結論前面的組合權向量可以作為最終決策的依據。結果表明方案二在決策方案中占的權重大于其他方案，為最優(yōu)方案。由上述選擇最優(yōu)方案的整個過程可以得知：

1.評價方案優(yōu)劣的標準：按照數值大小確定準則對于目標及方案對于準則的權重，利用層次分析法中的權值矩陣的一致性檢驗法進行檢驗計算，計算組合權向量兩兩相乘算出各個方案在目標中的組合權重，占的權重最大的方案就是最優(yōu)方案。在上面的計算中得出方案二在決策方案中占的權重大于其他方案，因此是建立模型的最優(yōu)方案。

2.方案一貸款期限為5年，期限短、風險小，但由于評估者當前的還款能力有限，對月還款額敏感性較高，因此方案一不是最佳方案。方案三貸款期限為22年，還款期限比方案二少，但由于月還款額較低，且需要預付3個月，當前的還款能力有限，因此方案二更優(yōu)。

二、結論

影響借款人還款方案選擇的因素很多，不同的消費群體對不同的影響因素敏感性不同。本文將層次分析法應用于對不同的還貸方案進行評估中。由于還貸決策方案的選擇是一個多目標、多層次的決策，因而運用層次分析法進行評價是合適的。應用層次分析法對不同的貸款方案進行評估，充分考慮了影響還款的各種因素，減少了因為主觀判斷而引起的各種判斷差異，且指標更客觀、更確切地反映所研究的問題，可以為購房者和投資者提供有效的依據。

在銀行抵押貸款模型中假設銀行利率不變且不考慮通貨膨脹因素，但是對于購房抵押貸款還款期比較長、利率通常會發(fā)生波動、通貨膨脹實時存在，這都是以后銀行抵押貸款模型中需要考慮的因素。

參考文獻：

[1]趙淑紅.層次分析法在風險投資中的應用[J].現代企業(yè)教育，2013，（12）.

[2]沈良峰，樊相如.基于層次分析法的風險投資項目評價與決策[J].基建優(yōu)化，2002，（4）.

[3]王蓮芬，許樹柏.層次分析法引論[M].北京：中國人民大學出版社，1990.

[4]羅伯特 C 希金斯（Robert C.Higgins）.財務管理分析[M].沈藝峰，譯.北京：北京大學出版社，2009.

[5]姜啟源.數學建模[M].北京：高等教育出版社，1993.

[6]陳學中，李文喜，李光紅.投資項目選擇的AHP模型及其應用[J].系統工程與電子技術，2001，（2）.

[責任編輯 李可]

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因此該成對比較矩陣通過一致性檢驗，它的特征向量可作為權向量。

接下來計算組合權向量。

用同樣的方法構造第三層對第二層的每一個準則的成對比較矩陣，對于方案中還款額應該是越少越好，由于還款額分別為12 000，6 319.3，6 320，還款額越少權重越大；還款總額和貸款額應該是越少越好；還款總額和貸款額越少權重越大；對于月利率應是越低權重越高；對于貸款期限（5年，25年，22年）越短，風險越小，收益越大因此權重越大。由此確定3個方案對5個準則的矩陣。

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1/41 1 B2=11/2 1/2

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211 B3=11/2 1/2

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B4=1 1 2

1 1 3

1/21/31B5=11/5 1/4

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上述矩陣Bk中的元素是三個方案對于準則的反映靈敏性的比較尺度。計算以上各矩陣的權向量，最大特征值和一致性指標結果（見表2）：

計算方案目標中的組合權重等于他們相應項的兩兩乘積之和。方案1在目標中的組合權重為0.1914* 0.633+ 0.1646*0.2+ 0.0979*0.2+ 0.4*0.291+0.1461*0.1=0.3047 同理可算出方案二、方案三在目標中的組合權重為0.3867和0.3078。第二層對第一層的一致性比率為 CRp= CRp-1 + CIp/Rip；當最下層對最上層的組合一致性比率小于0.1時認為整個層次的比較判斷通過一致性檢驗。CR3= CR2 + CI3/Ri3 =0.0563+0.005/0.58=0.065<0.1。由此可以得到結論前面的組合權向量可以作為最終決策的依據。結果表明方案二在決策方案中占的權重大于其他方案，為最優(yōu)方案。由上述選擇最優(yōu)方案的整個過程可以得知：

1.評價方案優(yōu)劣的標準：按照數值大小確定準則對于目標及方案對于準則的權重，利用層次分析法中的權值矩陣的一致性檢驗法進行檢驗計算，計算組合權向量兩兩相乘算出各個方案在目標中的組合權重，占的權重最大的方案就是最優(yōu)方案。在上面的計算中得出方案二在決策方案中占的權重大于其他方案，因此是建立模型的最優(yōu)方案。

2.方案一貸款期限為5年，期限短、風險小，但由于評估者當前的還款能力有限，對月還款額敏感性較高，因此方案一不是最佳方案。方案三貸款期限為22年，還款期限比方案二少，但由于月還款額較低，且需要預付3個月，當前的還款能力有限，因此方案二更優(yōu)。

二、結論

影響借款人還款方案選擇的因素很多，不同的消費群體對不同的影響因素敏感性不同。本文將層次分析法應用于對不同的還貸方案進行評估中。由于還貸決策方案的選擇是一個多目標、多層次的決策，因而運用層次分析法進行評價是合適的。應用層次分析法對不同的貸款方案進行評估，充分考慮了影響還款的各種因素，減少了因為主觀判斷而引起的各種判斷差異，且指標更客觀、更確切地反映所研究的問題，可以為購房者和投資者提供有效的依據。

在銀行抵押貸款模型中假設銀行利率不變且不考慮通貨膨脹因素，但是對于購房抵押貸款還款期比較長、利率通常會發(fā)生波動、通貨膨脹實時存在，這都是以后銀行抵押貸款模型中需要考慮的因素。

參考文獻：

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[4]羅伯特 C 希金斯（Robert C.Higgins）.財務管理分析[M].沈藝峰，譯.北京：北京大學出版社，2009.

[5]姜啟源.數學建模[M].北京：高等教育出版社，1993.

[6]陳學中，李文喜，李光紅.投資項目選擇的AHP模型及其應用[J].系統工程與電子技術，2001，（2）.

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因此該成對比較矩陣通過一致性檢驗，它的特征向量可作為權向量。

接下來計算組合權向量。

用同樣的方法構造第三層對第二層的每一個準則的成對比較矩陣，對于方案中還款額應該是越少越好，由于還款額分別為12 000，6 319.3，6 320，還款額越少權重越大；還款總額和貸款額應該是越少越好；還款總額和貸款額越少權重越大；對于月利率應是越低權重越高；對于貸款期限（5年，25年，22年）越短，風險越小，收益越大因此權重越大。由此確定3個方案對5個準則的矩陣。

B1=1 3 4

1/31 1

1/41 1 B2=11/2 1/2

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211 B3=11/2 1/2

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B4=1 1 2

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1/21/31B5=11/5 1/4

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上述矩陣Bk中的元素是三個方案對于準則的反映靈敏性的比較尺度。計算以上各矩陣的權向量，最大特征值和一致性指標結果（見表2）：

計算方案目標中的組合權重等于他們相應項的兩兩乘積之和。方案1在目標中的組合權重為0.1914* 0.633+ 0.1646*0.2+ 0.0979*0.2+ 0.4*0.291+0.1461*0.1=0.3047 同理可算出方案二、方案三在目標中的組合權重為0.3867和0.3078。第二層對第一層的一致性比率為 CRp= CRp-1 + CIp/Rip；當最下層對最上層的組合一致性比率小于0.1時認為整個層次的比較判斷通過一致性檢驗。CR3= CR2 + CI3/Ri3 =0.0563+0.005/0.58=0.065<0.1。由此可以得到結論前面的組合權向量可以作為最終決策的依據。結果表明方案二在決策方案中占的權重大于其他方案，為最優(yōu)方案。由上述選擇最優(yōu)方案的整個過程可以得知：

1.評價方案優(yōu)劣的標準：按照數值大小確定準則對于目標及方案對于準則的權重，利用層次分析法中的權值矩陣的一致性檢驗法進行檢驗計算，計算組合權向量兩兩相乘算出各個方案在目標中的組合權重，占的權重最大的方案就是最優(yōu)方案。在上面的計算中得出方案二在決策方案中占的權重大于其他方案，因此是建立模型的最優(yōu)方案。

2.方案一貸款期限為5年，期限短、風險小，但由于評估者當前的還款能力有限，對月還款額敏感性較高，因此方案一不是最佳方案。方案三貸款期限為22年，還款期限比方案二少，但由于月還款額較低，且需要預付3個月，當前的還款能力有限，因此方案二更優(yōu)。

二、結論

影響借款人還款方案選擇的因素很多，不同的消費群體對不同的影響因素敏感性不同。本文將層次分析法應用于對不同的還貸方案進行評估中。由于還貸決策方案的選擇是一個多目標、多層次的決策，因而運用層次分析法進行評價是合適的。應用層次分析法對不同的貸款方案進行評估，充分考慮了影響還款的各種因素，減少了因為主觀判斷而引起的各種判斷差異，且指標更客觀、更確切地反映所研究的問題，可以為購房者和投資者提供有效的依據。

在銀行抵押貸款模型中假設銀行利率不變且不考慮通貨膨脹因素，但是對于購房抵押貸款還款期比較長、利率通常會發(fā)生波動、通貨膨脹實時存在，這都是以后銀行抵押貸款模型中需要考慮的因素。

參考文獻：

[1]趙淑紅.層次分析法在風險投資中的應用[J].現代企業(yè)教育，2013，（12）.

[2]沈良峰，樊相如.基于層次分析法的風險投資項目評價與決策[J].基建優(yōu)化，2002，（4）.

[3]王蓮芬，許樹柏.層次分析法引論[M].北京：中國人民大學出版社，1990.

[4]羅伯特 C 希金斯（Robert C.Higgins）.財務管理分析[M].沈藝峰，譯.北京：北京大學出版社，2009.

[5]姜啟源.數學建模[M].北京：高等教育出版社，1993.

[6]陳學中，李文喜，李光紅.投資項目選擇的AHP模型及其應用[J].系統工程與電子技術，2001，（2）.

[責任編輯 李可]

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