樊 雯，程月華，姜 斌，劉文靜

(1.南京航空航天大學(xué)自動化學(xué)院，南京210016;2.南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院，南京210016;3.北京控制工程研究所，北京100190;4.空間智能控制技術(shù)國家級重點實驗室，北京100190)

0 引言

近年來，隨著空間技術(shù)的發(fā)展，對衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)安全性和可靠性的要求不斷提高，故障重構(gòu)方案的研究受到了廣泛的重視。這些方案包括硬件冗余和容錯控制器的設(shè)計［1－5］，但對衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)自身的可重構(gòu)性卻鮮有研究?？芍貥?gòu)性是指在資源配置一定的情況下，系統(tǒng)發(fā)生故障后恢復(fù)全部或部分性能的能力［6］，是系統(tǒng)的一個基本特性。如果能像可靠性一樣提出一套合理的可重構(gòu)性評價和設(shè)計體系，將對提高衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的可重構(gòu)性設(shè)計水平進而提高系統(tǒng)故障處理能力具有重要意義。因此，針對衛(wèi)星姿控系統(tǒng)提出合理的可重構(gòu)性評價指標(biāo)，能夠為系統(tǒng)可重構(gòu)性設(shè)計提供初步的思路和理論依據(jù)。

目前，可重構(gòu)性在航天領(lǐng)域的研究尚處于初步階段，在國內(nèi)外現(xiàn)有文獻(xiàn)中，針對衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的可重構(gòu)性研究鮮有報道。另一方面，針對控制系統(tǒng)，已有一些研究在理論上提出了控制可重構(gòu)性的概念，并通過仿真算例進行了分析，可以在一定程度上作為本文研究工作的理論借鑒。Frei等人［7］利用可控性和可觀性格蘭姆矩陣的行列式來描述線性定常系統(tǒng)的可重構(gòu)性;而 Wu，Zhou 和 Salomon［6］提出利用最小二階模態(tài)［8］，也就是可控性和可觀性格蘭姆矩陣乘積的最小奇異值，對線性定常系統(tǒng)的控制可重構(gòu)性進行分析;Hoblos等人［9］分析了可恢復(fù)故障集的大小和不可恢復(fù)故障發(fā)生前的平均時間，以此評價線性定常系統(tǒng)的可重構(gòu)性;基于系統(tǒng)性能，Staroswiecki［10］提出了在一定能量約束條件下，系統(tǒng)對執(zhí)行器故障的可重構(gòu)性，即故障后系統(tǒng)的控制問題有可容許的解。此外，文獻(xiàn)［11］對一類線性混合系統(tǒng)的控制可重構(gòu)性進行了研究，認(rèn)為故障后仍保留可控性的系統(tǒng)是控制可重構(gòu)的;Yang等人［12－13］則針對切換系統(tǒng)，定義了切換系統(tǒng)的可控性格蘭姆矩陣并以此作為故障可恢復(fù)性的評價指標(biāo)。然而，這些基礎(chǔ)性的工作僅僅是基于系統(tǒng)方程對系統(tǒng)特性進行分析，并未針對特定的控制對象結(jié)合其系統(tǒng)配置等特點展開研究。

本文將針對衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)，開展可重構(gòu)性分析研究，旨在對姿控系統(tǒng)的可重構(gòu)性分析進行探索，以期為衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的可重構(gòu)性設(shè)計提供一些可行的理論依據(jù)。因衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)模型是較為復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，而現(xiàn)有理論工具均是基于線性系統(tǒng)理論的，故將系統(tǒng)模型在工作點附近線性化處理，以此考察系統(tǒng)局部的可重構(gòu)性。首先針對衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的特定執(zhí)行機構(gòu)及傳感器配置，分別分析其故障情況，然后從系統(tǒng)級的角度分析可控性、可觀性與可重構(gòu)性之間的關(guān)系，進而提出可重構(gòu)性評價方案。最后在仿真中對所提出的評價方案進行驗證。

1 系統(tǒng)模型

配置反作用飛輪的三軸剛體衛(wèi)星姿態(tài)動力學(xué)方程可表示為:

式中:J為衛(wèi)星的慣量矩陣;ωi=［ωxωyωz］T為星體相對與慣性空間的角速度在星體坐標(biāo)系中的投影矢量;hω為飛輪角動量;Mc為飛輪控制力矩;Md為各種干擾力矩總和;ωi*定義為

3－1－2轉(zhuǎn)序下由歐拉角描述的運動學(xué)方程為

式中:ω =［ω1ω2ω3］T為衛(wèi)星姿態(tài)相對軌道坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動角速度在星體坐標(biāo)系下的投影;ω與ωi的關(guān)系為ω =ωi－Cobωo，Cob為軌道坐標(biāo)系到星體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，ωo=［0 ωo0］T為軌道角速度;φ、θ、ψ 為歐拉角。

定義狀態(tài)變量x=［ωxωyωzφ θ ψ］T，y為傳感器測量輸出，u(t)是控制力矩，把系統(tǒng)(1)和(2)改寫為狀態(tài)空間的形式:

式中:f(x，t)=［f1f2］T，f1= － J－1［ωi*］J，f2的定義如下

B= ［J－1Bw03×3］T與反作用飛輪安裝方式有關(guān)，Bw為反作用飛輪的安裝矩陣;C由傳感器的配置方式?jīng)Q定。

將系統(tǒng)模型(4)在工作點附近進行線性化處理，得到姿控系統(tǒng)的線性化系統(tǒng)模型為:

其中A是通過令f(x，t)在工作點線性化得到。

注1.下文對衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的可重構(gòu)性分析將基于線性模型(6)，因其是在工作點附近線性化獲得，該模型只能代表局部的姿控系統(tǒng)動力學(xué)，故本文的分析結(jié)果并不是全局適用的，而是對系統(tǒng)局部的可重構(gòu)性的一個分析。

2 可重構(gòu)性分析

2. 1 執(zhí)行機構(gòu)可重構(gòu)性特性分析

衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)由衛(wèi)星本體、控制器、執(zhí)行機構(gòu)和傳感器等部分組成。反作用飛輪是常見的執(zhí)行機構(gòu)，它通過調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)速，進行飛輪和衛(wèi)星星體之間的角動量轉(zhuǎn)換，實現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)控制。其常見配置有三軸正交安裝、三正交加一斜裝和四斜裝等［14］。

考慮執(zhí)行結(jié)構(gòu)發(fā)生恒增益失效故障，令a=［a1，a2，…，ai］T為執(zhí)行機構(gòu)失效因子向量，i為反作用飛輪的個數(shù)。a中各元素均為0到1之間的常數(shù)，1表示飛輪正常工作，0表示飛輪完全失效。執(zhí)行機構(gòu)失效因子 a通過 Bf(a)=［b1a1，b2a2，…，biai］作用于衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)，其中b1，b2，…，bi是B的列向量。于是由式(6)改寫的衛(wèi)星姿控系統(tǒng)執(zhí)行機構(gòu)故障狀態(tài)方程為:

對于衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)，在故障后系統(tǒng)是否仍然可控關(guān)系到系統(tǒng)能否通過控制重構(gòu)恢復(fù)系統(tǒng)性能。執(zhí)行機構(gòu)作為執(zhí)行系統(tǒng)控制指令的部件，其故障將直接影響系統(tǒng)的可控性。若控制系統(tǒng)喪失可控性，則需要通過硬件備份替換等方式恢復(fù)系統(tǒng)的可控能力從而維持系統(tǒng)運行。若利用硬件重構(gòu)仍無法恢復(fù)系統(tǒng)的可控性，則可認(rèn)為系統(tǒng)不再具備可重構(gòu)性。故針對執(zhí)行機構(gòu)故障，從故障后系統(tǒng)的可控性入手，對系統(tǒng)的可重構(gòu)性特性進行分析很有必要。

命題1.對于線性系統(tǒng)˙x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)，x(t0)=x0，t≥t0，其中x為n維狀態(tài)向量，u 為 p 維控制輸入，A ∈ Rn×n，B ∈ Rn×p，并定義Φ(t0，t)為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。如果存在t1＞t0，τ)B(τ)BT(τ)ΦT(t0，τ)dτ 非奇異，則系統(tǒng)完全可控;反之亦然。

下面只對此命題的充分性進行分析:

若系統(tǒng)的可控性格蘭姆矩陣Wc(t0，t1)非奇異，則t0，t1)存在。對任意非零初始狀態(tài) x0，可選取控制u(t)為

則在控制律(8)作用下，系統(tǒng)狀態(tài)x(t)在t1時刻的值為

這表明，對任意取定初始狀態(tài)x0≠0，都存在有限時刻t1＞t0和容許控制(8)能使系統(tǒng)由狀態(tài)x(t0)=x0轉(zhuǎn)移到t1時刻的x(t1)=0。于是根據(jù)可控性定義，系統(tǒng)完全可控。

顯然，有J*≤J1，于是使得控制能耗J*小于一個給定上界ξ＞0的一個充分條件是J1≤ξ。故若控制律(8)的能耗滿足能量約束條件，即是可容許的，則系統(tǒng)的最優(yōu)控制律也一定是可容許的。

計算J1的大小，得

進一步將能量約束條件放寬為

鑒于x0為系統(tǒng)給定初始值，故可用λmax(W－1c)作為系統(tǒng)控制能耗的一個度量指標(biāo)。只要λmax()足夠小，使得不等式(12)成立，則在［t0，t1)期間系統(tǒng)需要控制狀態(tài)的能量將滿足控制能耗要求。

下面對故障后的衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)(7)進行分析:系統(tǒng)的可控性格蘭姆矩陣Wc由{A，Bf(a)}對決定，而執(zhí)行機構(gòu)失效因子a直接影響B(tài)f(a)，于是執(zhí)行機構(gòu)故障將影響系統(tǒng)的可控性且Wc的特征值是a的函數(shù)。也就是說，反作用飛輪的失效將導(dǎo)致系統(tǒng)的可控性降低，同時控制系統(tǒng)所需的控制能耗也將增大。考慮到星上能源有限和反作用飛輪的最大輸出力矩限制，若要實現(xiàn)系統(tǒng)重構(gòu)，控制能耗必須低于一個閾值。因此，對于執(zhí)行機構(gòu)故障，系統(tǒng)的可重構(gòu)性包含如下兩層含義:系統(tǒng)在故障發(fā)生之后仍然可控;系統(tǒng)的控制能耗滿足能量約束條件。

2. 2 傳感器可重構(gòu)性特性分析

為提高精度和可靠性，星上一般不單獨采用某一敏感器進行姿態(tài)測量和確定，而采用幾種敏感器的組合。參考國內(nèi)外現(xiàn)有的幾種典型姿態(tài)確定系統(tǒng)組合方案，本文選取“陀螺+星敏感器”的方案進行可重構(gòu)性特性分析。在這種方案中，我們認(rèn)為陀螺用來測量姿態(tài)角速度，星敏感器用來測量姿態(tài)角。因姿態(tài)確定系統(tǒng)本身涉及到信息融合濾波算法等，較為復(fù)雜，故在此不考慮傳感器的定姿算法和測量精度變化，只考慮陀螺和星敏感器不同的故障情況下，傳感器的測量輸出對系統(tǒng)輸出方程的影響。

系統(tǒng)輸出方程為

其中 y為系統(tǒng)輸出，x = ［ωxmωymωzmφmθmψm］T，C則與傳感器的配置方式有關(guān)。

考察輸出方程(13)，傳感器故障對系統(tǒng)級的影響實際反映在矩陣C上，而{A，C}決定了系統(tǒng)的可觀性?？捎^性是系統(tǒng)可重構(gòu)性所需要考慮的一個重要特性，失去可觀測性的系統(tǒng)將無法通過系統(tǒng)的輸入和輸出(如建立觀測器)獲取狀態(tài)信息，因而無法采取有效的重構(gòu)策略維持系統(tǒng)性能，失去可重構(gòu)性。因此，我們針對各傳感器不同的故障情況，將其影響反映到系統(tǒng)級，分析對應(yīng)的系統(tǒng)可觀性，從而判斷系統(tǒng)的可重構(gòu)性。

對于陀螺，為了測得較準(zhǔn)確的三軸姿態(tài)角速度信息，星上一般都會安裝三個以上陀螺來提供備份，常見的配置方案有三軸正交冷備份、3+1S、正十二面體安裝等等。下面以3+1S陀螺組件為例進行分析。

3+1S陀螺組件包括4個陀螺單體，4個陀螺的安裝方向如圖1所示。編號1、2、3的三個陀螺沿著星體的3個坐標(biāo)軸安裝，第4個陀螺作為備份，沿斜軸S安裝，斜軸S的方向與X軸、Y軸、Z軸的夾角為a，b，c，當(dāng) a=b=c=54.75°時是最優(yōu)的配置結(jié)構(gòu)。

圖1 3+1S陀螺安裝示意圖Fig.1 Four gyros in the3+1S configuration

根據(jù)圖1，測量方程為:

其中，m=［m1m2m3m4］T為測量值，H為測量矩陣。

對于陀螺組件，在檢測定位故障后，在測量方程的輸出測量值m及測量矩陣H中刪去與故障陀螺輸出測量值相對應(yīng)的那一行，重新進行組合，就可以對故障陀螺進行隔離，實現(xiàn)陀螺冗余系統(tǒng)重構(gòu)。因此，對于陀螺故障的情況，我們首先將測量矩陣中對應(yīng)故障陀螺的那一行處理為“0”，然后分析測量矩陣是否滿秩，是否能夠獲取姿態(tài)角速度的信息。

對于星敏感器，其測量方程為

將受傳感器故障影響的系統(tǒng)輸出方程記為

對于上述傳感器故障，若{A，Cf}仍然可觀，則系統(tǒng)具備可重構(gòu)性，否則不可重構(gòu)。

2. 3 姿態(tài)控制系統(tǒng)可重構(gòu)性評價

綜合上述分析，衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的可重構(gòu)性從如下兩個層次來評價:

(1)系統(tǒng)在故障發(fā)生之后仍然可控可觀;

(2)系統(tǒng)的控制能耗必須滿足能量約束條件，否則即使系統(tǒng)可控可觀，實際上也無法實現(xiàn)重構(gòu)。

定理1.對于故障后的衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)(7)和(16)，定義ρ=λmin(Wc)，λmin(Wc)表示系統(tǒng)可控性格蘭姆矩陣Wc的最小特征值。若系統(tǒng)可控可觀且滿足ρ(a)≥η，其中η是在系統(tǒng)設(shè)計時給定的最小可重構(gòu)性閾值，則系統(tǒng)具有可重構(gòu)性。

定理1給出了故障后系統(tǒng)是否具備可重構(gòu)性的判別方法，ρ表征了系統(tǒng)的可重構(gòu)性大小:λmin(Wc)越大，則 λmax(W－1c)越小，系統(tǒng)控制能耗越小，可重構(gòu)性越大。

由此，我們給出了系統(tǒng)可重構(gòu)能力大小的定量標(biāo)準(zhǔn)，同時也可以為系統(tǒng)冗余配置的設(shè)計提供理論指導(dǎo)。

3 仿真分析

本節(jié)以配置四軸斜裝反作用飛輪和3+1S陀螺組件及星敏感器正交安裝的衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)為例，利用上述方法對其可重構(gòu)性進行分析。具體仿真參數(shù)如下:

四軸反作用飛輪安裝示意圖如圖2［15］，分別編號1、2、3、4，安裝角 α =45°，相對俯仰軸 β =54.74°。

圖2 四飛輪斜裝示意圖Fig.2 Four reaction wheels in a tetrahedral configuration

表1 部分執(zhí)行機構(gòu)故障下的系統(tǒng)可重構(gòu)性Table 1 Reconfigurability of ACSin partial actuator fault cases

針對執(zhí)行機構(gòu)，部分分析結(jié)果見表1。假設(shè)系統(tǒng)設(shè)計要求的最小可重構(gòu)性指標(biāo)η=0.03，從表中可以看出，在兩軸飛輪完全失效的情況下，雖然系統(tǒng)仍具有可控性，但和前2種故障情況相比ρ＜η，控制能耗過大，故認(rèn)為此時的系統(tǒng)不具備可重構(gòu)性。三軸飛輪完全失效的情況也是如此。而當(dāng)全部飛輪完全失效時，系統(tǒng)不再可控，也不具備可重構(gòu)性。

圖3 故障情況1對應(yīng)的系統(tǒng)可重構(gòu)性Fig.3 Reconfigurability of ACSfor Case 1

考慮兩種故障情況:(1)飛輪3、4正常，飛輪1、2發(fā)生失效故障(Case1);(2)飛輪1完全失效，飛輪4正常，飛輪2、3失效故障(Case2)。圖3、圖4分別是Case1和Case2對應(yīng)的ρ的變化情況，并與設(shè)定的閾值平面進行比較。從圖中可以看出，系統(tǒng)可重構(gòu)性隨執(zhí)行機構(gòu)故障程度的變化規(guī)律，隨著飛輪失效程度的增加和冗余程度的減少，系統(tǒng)的可重構(gòu)性也逐漸減小。當(dāng)設(shè)定閾值η=0.03時，對圖3的故障來說，只要飛輪1或者2的有效率高于50%，系統(tǒng)還是可重構(gòu)的;對圖4的故障來說，因飛輪1已完全失效，系統(tǒng)要保持可重構(gòu)性，則飛輪2和飛輪3的有效率要保持較高的水平，如當(dāng)飛輪3只有50%的有效率時，飛輪2必須100% 有效才能保證ρ不低于0.03。

圖4 故障情況2對應(yīng)的系統(tǒng)可重構(gòu)性Fig.4 Reconfigurability of ACSfor Case 2

針對傳感器，部分可重構(gòu)性分析結(jié)果見表2?？梢钥闯?，在出現(xiàn)兩個以上陀螺故障而星敏感器測姿正常時，雖然陀螺組件自身無法進行重構(gòu)，但系統(tǒng)仍具備可觀性，可建立觀測器重構(gòu)角速度信息。而當(dāng)星敏感器出現(xiàn)故障時，系統(tǒng)不再可觀，無法重構(gòu)角度信息。

基于上述仿真分析，在系統(tǒng)可重構(gòu)性設(shè)計過程中，在多種故障情況下保證系統(tǒng)的可控性和可觀性是一個基本的要求。在此基礎(chǔ)上，可以規(guī)定一定的設(shè)計約束指標(biāo)η，對于不同配置和不同故障程度的系統(tǒng)，若有ρ≥η，則系統(tǒng)具有可重構(gòu)性并能以此對系統(tǒng)的可重構(gòu)性做出預(yù)計，否則應(yīng)重新考慮如硬件冗余等方面的設(shè)計問題。

4 結(jié)論

本文針對衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)，從系統(tǒng)的可控性、可觀性與可重構(gòu)性之間的關(guān)系出發(fā)，利用可控性格蘭姆矩陣給出了系統(tǒng)可重構(gòu)性的評價方法并考慮故障對一定配置下的衛(wèi)星姿控系統(tǒng)進行了可重構(gòu)性分析，從根本上分析系統(tǒng)在故障后能否進行重構(gòu)。

本文從系統(tǒng)自身特性的角度，對衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)在故障后是否能夠通過故障重構(gòu)手段恢復(fù)全部或部分性能的能力進行了分析評價，可為系統(tǒng)在設(shè)計階段提高可重構(gòu)性水平提供理論依據(jù)，也對提高系統(tǒng)的故障處理能力具有重要參考價值。

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