黃 華，何 峰，劉 林

(1.61876部隊(duì)，三亞572022;2.北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心，北京100094;3.南京大學(xué)天文與空間科學(xué)學(xué)院，南京210093)

0 引言

廣播星歷參數(shù)的擬合精度與穩(wěn)定性直接影響衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的服務(wù)性能，目前廣播星參數(shù)模型主要有兩種，一種是GPS采用的基于開普勒根數(shù)及其攝動(dòng)變化量的星歷模型，另一種是GLONASS采用的基于衛(wèi)星位置速度和簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)的星歷模型。GPS采用的16參數(shù)模型具有擬合精度高，用戶算法簡(jiǎn)單等特點(diǎn)，此后發(fā)展的衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)基本都采用類似參數(shù)模型。導(dǎo)航衛(wèi)星軌道幾何特征和動(dòng)力學(xué)特征是廣播星歷參數(shù)設(shè)計(jì)的重要依據(jù)。GPS星座由周期大約12小時(shí)、軌道傾角約55度的MEO衛(wèi)星組成，其廣播星歷參數(shù)的設(shè)計(jì)主要針對(duì)該類衛(wèi)星。GEO衛(wèi)星的軌道幾何和動(dòng)力學(xué)特征與MEO存在較大差異，如果采用傳統(tǒng)方法進(jìn)行擬合，各參數(shù)之間相關(guān)性較強(qiáng)，而且存在部分參數(shù)變化幅度偏大等問題。國內(nèi)的很多專家和學(xué)者對(duì)GPS廣播星歷參數(shù)模型在GEO衛(wèi)星中的運(yùn)用進(jìn)行了研究和探討。文獻(xiàn)［2］研究了GEO衛(wèi)星廣播星歷擬合中出現(xiàn)的Δn變化幅度過大和出現(xiàn)半月振蕩周期等問題，提出了基于參數(shù)嶺估計(jì)的解決方案，文獻(xiàn)［3］、［6］對(duì)比分析了18參數(shù)和16參數(shù)兩種廣播星歷模型之間的差別。本文主要通過研究GPS廣播星歷參數(shù)的物理意義，進(jìn)一步分析不同類型衛(wèi)星擬合中參數(shù)間的相關(guān)性，最后探討GPS廣播星歷參數(shù)對(duì)GEO衛(wèi)星擬合不穩(wěn)定的內(nèi)在原因，為混合星座(由GEO，IGSO，MEO衛(wèi)星組成)的廣播星歷參數(shù)設(shè)計(jì)以及擬合算法研究提供參考，進(jìn)一步提高衛(wèi)星導(dǎo)航服務(wù)精度和穩(wěn)定性。

1 導(dǎo)航衛(wèi)星軌道變化規(guī)律

導(dǎo)航衛(wèi)星軌道高度較高，主要攝動(dòng)源包括地球非球形引力、日月引力和太陽輻射壓。從衛(wèi)星軌道運(yùn)動(dòng)分析解［1］中可以看出，在以上主要攝動(dòng)力作用下，導(dǎo)航衛(wèi)星軌道變化存在以下幾個(gè)特征:

(1)地球非球形引力和日月引力屬于保守力，太陽輻射壓在理想模型(球模型)和不考慮地影的情況下也屬于保守力，因此軌道沒有能量耗散，軌道半長徑A無長期變化項(xiàng);

(2)由于地球非球形引力田諧項(xiàng)共振的影響，MEO、GEO和IGSO衛(wèi)星軌道半長徑都存在一階(J2的量級(jí))長周期項(xiàng)，其中GEO和IGSO衛(wèi)星的一階長周期項(xiàng)量級(jí)比MEO大;

(3)偏心率e不存在長期變化，在非球形引力J3項(xiàng)和太陽輻射壓的影響下存在一階長周期項(xiàng);

(4)軌道傾角i沒有長期變化項(xiàng)，但在日月引力攝動(dòng)下存在一階長周期項(xiàng);

(5)升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω、近點(diǎn)角距ω和平近點(diǎn)角M存在一階長期變化項(xiàng)和一階長周期變化項(xiàng);

(6)所有軌道根數(shù)都存在短周期變化項(xiàng)。短周期項(xiàng)的頻譜分布為:最大項(xiàng)為半軌道周期項(xiàng)，其次是1倍軌道周期和3倍軌道周期項(xiàng)，大小與半軌道周期項(xiàng)相差一個(gè)偏心率因子。

由以上特征可以將軌道根數(shù)的變化用以下公式表達(dá):

其中短周期項(xiàng)可寫成如下形式

2 廣播星歷參數(shù)物理意義分析

導(dǎo)航系統(tǒng)衛(wèi)星精密軌道不采用普通的多項(xiàng)式或其它純數(shù)學(xué)意義的參數(shù)擬合，而是設(shè)計(jì)具有一定物理意義的廣播星歷參數(shù)，可以獲得更高的擬合精度和更強(qiáng)的預(yù)報(bào)能力。下面針對(duì)廣播星歷參數(shù)物理意義做一些分析。

GPS廣播星歷參數(shù)擬合弧長一般采用2到3個(gè)小時(shí)，短弧條件下長周期項(xiàng)的影響與長期項(xiàng)相近。

由第1節(jié)中對(duì)軌道攝動(dòng)變化特征的介紹，GPS的16 參數(shù)廣播星歷模型中，(，e，i0，Ω0，ω0，M0)表達(dá)參考時(shí)刻的平根數(shù)(Ω0的意義與慣性系下的值并不一致)。

(Crs，Crc，Cus，Cuc，Cis，Cic)為短周期項(xiàng)改正的振幅，對(duì)應(yīng)的改正項(xiàng)幅角為2u，廣播星歷中短周期項(xiàng)的改正項(xiàng)表達(dá)式為［4］:

解算正弦和余弦項(xiàng)振幅與解算余弦項(xiàng)振幅和相位等價(jià)，從式(4)可以看出，這6個(gè)參數(shù)只改正了短周期項(xiàng)的主項(xiàng)，即式(2)中的a cos(2u+φ1)項(xiàng)。廣播星歷參數(shù)并沒有針對(duì)每一個(gè)軌道根數(shù)做短周期項(xiàng)修正，而是對(duì)沿跡向幅角u、徑向距離r以及軌道傾角i進(jìn)行修正。如果對(duì)每一個(gè)軌道根數(shù)都做短周期項(xiàng)修正，總的短周期項(xiàng)修正參數(shù)將達(dá)到12個(gè)，參數(shù)太多對(duì)星歷的擬合也會(huì)帶來不利的影響。所有的短周期項(xiàng)都可以歸算到三軸分量上，即R、T、N方向，對(duì)徑向距離r的修正實(shí)際上相當(dāng)于對(duì)徑向R方向的修正，對(duì)沿跡向幅角u的修正相當(dāng)于對(duì)切向T方向的修正，對(duì)軌道傾角i的修正相當(dāng)于對(duì)軌道面法向N方向的修正，只需6個(gè)參數(shù)就可以表達(dá)對(duì)軌道的短周期項(xiàng)修正。廣播星歷的短周期改正項(xiàng)只吸收了短周期項(xiàng)的主項(xiàng)，其余的周期項(xiàng)殘留在了其他參數(shù)當(dāng)中，對(duì)不同參考時(shí)刻的星歷參數(shù)作圖［6］就可以看出這一點(diǎn)，主要是與u，3u相關(guān)周期項(xiàng)。

Δn為平均角速度的修正值，導(dǎo)航衛(wèi)星的偏心率較小，對(duì)于MEO和IGSO衛(wèi)星來說，主要吸收了M和ω的長期項(xiàng)和長周期項(xiàng)，Ω·吸收了Ω的長期項(xiàng)和長周期項(xiàng)，idot吸收了i的長周期項(xiàng)。GPS新的18參數(shù)廣播星歷模型新增的兩個(gè)參數(shù)為半長徑A的變化率A·和Δn變化率Δ˙n，A·主要吸收半長徑的長周期項(xiàng)，Δ˙n主要吸收由A·引起的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)角速度變化率。

與短周期項(xiàng)修正參數(shù)的考慮一樣，長期項(xiàng)和長周期項(xiàng)的修正實(shí)際上也相當(dāng)于加在三軸方向，Δn為沿跡向修正，idot和Ω·為軌道面整體擺動(dòng)的修正。在擬合弧段較短的情況下可以不考慮徑向的長周期變率，因此16參數(shù)模型中并沒有針對(duì)徑向的長期修正項(xiàng)，18參數(shù)模型引入了徑向相關(guān)的長期項(xiàng)修正參數(shù)即半長徑A的長期變化率，有利于進(jìn)一步提高擬合精度。

3 廣播星歷參數(shù)相關(guān)性

利用經(jīng)典擬合方法［5］對(duì)傾角為55度的MEO衛(wèi)星軌道數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，擬合弧段為3小時(shí)，軌道數(shù)據(jù)歷元間隔5分鐘。表1～表3給出了部分參數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)(由于篇幅限制，這里不再列出所有參數(shù)之間的相關(guān)系數(shù))，具有以下特點(diǎn):

(2)參數(shù) i0，Ω0，Cis，Cic，idot，Ω·之間相關(guān)性較強(qiáng);

(3)Δn與所有參數(shù)的相關(guān)性基本相同。廣播星歷參數(shù)計(jì)算衛(wèi)星位置的算法中最后一個(gè)公式［4］為:

表1 MEO衛(wèi)星■A與其他參數(shù)的相關(guān)系數(shù)表Table 1 The correlation of■A and other parameters for MEO satellites

表2 MEO衛(wèi)星i0與其他參數(shù)的相關(guān)系數(shù)表Table 2 The correlation of i0 and other parameters for MEO satellites

表3 MEO衛(wèi)星Δn與其他參數(shù)的相關(guān)系數(shù)表Table 3 The correlation ofΔn and other parameters for MEO satellites

其中 xk、yk由，e，ω0，M0，Crs，Crc，Cus，Cuc以及 Δn得出，ik、Ωk由 i0，Ω0，Cis，Cic，idot，Ω·確定。xk、yk決定了位置矢量的大小和在軌道面內(nèi)的指向，而ik、Ωk則決定了軌道面的空間指向，因此它們各自之間的相關(guān)性較強(qiáng)。Δn平均角速度的修正值，其中與日月引力相關(guān)的項(xiàng)為后面的式(8)，當(dāng)軌道傾角較大(55度)時(shí)，Δn由A，e，i，Ω決定，所以它與其他參數(shù)的相關(guān)性基本相同;當(dāng)i接近0時(shí)，Δn的大小主要由i決定，因此它與表達(dá)軌道面定向參數(shù)之間的相關(guān)性會(huì)增大，表4給出了GEO衛(wèi)星Δn與其它參數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)，Δn 與 i0，Ω0，Cis，Cic，idot，Ω·的相關(guān)性明顯增大。

表4 GEO衛(wèi)星Δn與其他參數(shù)的相關(guān)系數(shù)表Table 4 The correlation ofΔn and other parameters for GEO satellites

4 GEO衛(wèi)星的小傾角問題

GEO衛(wèi)星與IGSO/MEO衛(wèi)星軌道幾何特征的差別之一在于其軌道傾角較小，基于開普勒根數(shù)的廣播星歷參數(shù)本身具有一定奇異性，即存在小傾角奇點(diǎn)。

4. 1 Δn等參數(shù)振幅的分析

對(duì)GEO衛(wèi)星軌道擬合還發(fā)現(xiàn)，Δn的變化有半月周期［2］，如圖2 所示。

地球的非球型引力J2項(xiàng)和日月引力是GEO衛(wèi)星的主要攝動(dòng)力。J2項(xiàng)攝動(dòng)引起的Δn一階長期項(xiàng)如下式:

圖1 Δn、+ Δn 變化圖Fig.1 The evolution ofΔn， + Δn

其中 p=a(1 －e2)，J2=1.082 63 ×10－3，當(dāng)i=5°，a=42 165 725.844m，e=1.0 × 10－4時(shí)，J2引起的Δn=2.5×10－9(用 π 量化，即將標(biāo)準(zhǔn)單位(弧度 /秒)對(duì)應(yīng)的值再除以π)，由式(7)可以看出，J2引起的長期項(xiàng)中不包含奇點(diǎn)，不會(huì)引起Δn超限，日月引力攝動(dòng)的長期項(xiàng)也不含奇點(diǎn)，且量級(jí)比J2小，所以也不可能造成超限問題。J2引起的長周期項(xiàng)沒有奇點(diǎn)，也不可能造成超限現(xiàn)象。日月引力引起Δn的長周期項(xiàng)中含有奇點(diǎn)，包含奇點(diǎn)的項(xiàng)為:

其中β=m'/(r')3，m'為攝動(dòng)天體的質(zhì)量，r'為攝動(dòng)天體到地球的距離，i'為攝動(dòng)天體軌道傾角，u'=2中Δn變化幅度增大且出現(xiàn)半月周期的原因。量級(jí)估算為:

i=1°，a=42 165 725.844m，e=1.0 × 10－4時(shí)，Δn=7 × 10－9;

i=5°，a=42 165 725.844m，e=1.0 × 10－4時(shí)，Δn=1.5 × 10－9。

由此可見i=1°比i=5°引起的Δn要大許多。但在i=5°的情況下，Δn的變化范圍仍然較大。

4. 2 對(duì)擬合穩(wěn)定性的影響

造成GEO衛(wèi)星擬合效果不佳和部分參數(shù)振蕩范圍增大的主要原因是參數(shù)之間的相關(guān)性太強(qiáng)，特別是在小偏心率和小傾角兩個(gè)奇點(diǎn)的同時(shí)影響下，Δn和Ω·的相關(guān)性太強(qiáng)，甚至可能接近線性相關(guān)的條件，這種情況下會(huì)導(dǎo)致擬合的法方程病態(tài)，最終導(dǎo)致擬合發(fā)散。在e→0，i→0的情況下:ω'+M'為攝動(dòng)天體近地點(diǎn)角距與平近點(diǎn)角之和，θ=Ω－Ω'為升交點(diǎn)赤經(jīng)與攝動(dòng)天體升交點(diǎn)赤經(jīng)之差。式(8)表明，Δn的長周期變化項(xiàng)周期為攝動(dòng)天

tk=t－toe，為數(shù)據(jù)歷元與參考?xì)v元之差。這種情況下法方程將出現(xiàn)虧秩現(xiàn)象，導(dǎo)致擬合難以收斂。

4. 3 解決策略探討

小傾角引起的奇點(diǎn)并不是本質(zhì)奇點(diǎn)，而是由于坐標(biāo)系的選取不當(dāng)導(dǎo)致，有學(xué)者提出了坐標(biāo)系基本參考面旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度的方法來改善GEO衛(wèi)星的擬合效果［5］，相當(dāng)于重新選取坐標(biāo)系。只改變坐標(biāo)系基本參考面的情況下，新的坐標(biāo)仍然是慣性系，衛(wèi)星在新坐標(biāo)系下的攝動(dòng)變化規(guī)律基本不變，軌道形狀的變化規(guī)律無論在那個(gè)慣性系下都不會(huì)變，軌道面整體的南北擺動(dòng)、西退或東進(jìn)等規(guī)律也不會(huì)變，因此，在新坐標(biāo)下各參數(shù)的值有所變化，但其物理意義并沒有嚴(yán)重扭曲，新坐標(biāo)系下不存在小傾角引起的奇點(diǎn)，參數(shù)的振幅變小，法方程的病態(tài)性也得到了很大改善，不會(huì)出現(xiàn)擬合發(fā)散的現(xiàn)象。圖3給出了傾角為1度的GEO衛(wèi)星，坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)55度以后Δn與Ω·的變化圖，可以看出，Δn和Ω·的變化幅度都比圖1小。

圖3 GEO 衛(wèi)星 Δn、Ω· 以及Ω· + Δn變化圖Fig.3 The evolution ofΔn，Ω· and Ω· + Δn for GEO satellites

5 結(jié)論

通過對(duì)廣播星歷參數(shù)物理意義和參數(shù)之間相關(guān)性的分析得出以下幾點(diǎn)結(jié)論:

(1)廣播星歷參數(shù)的設(shè)計(jì)基本依據(jù)了衛(wèi)星軌道的幾何和動(dòng)力學(xué)特征，對(duì)于MEO衛(wèi)星，參數(shù)之間相關(guān)性的特點(diǎn)是:反映衛(wèi)星位置矢量大小及其在軌道面內(nèi)指向的參數(shù)之間相關(guān)性較強(qiáng)，表征軌道面定向的參數(shù)之間相關(guān)性較強(qiáng)，Δn與所有參數(shù)的相關(guān)性一樣。

(2)GEO衛(wèi)星廣播星歷擬合過程中Δn與表征軌道面定向的參數(shù)之間相關(guān)性增大，主要原因是小傾角條件下參數(shù)奇異性的影響，這也是導(dǎo)致擬合過程中Δn變化幅度偏大和部分情況下擬合發(fā)散的根本原因。

(3)GEO衛(wèi)星擬合中的小傾角奇點(diǎn)問題主要反應(yīng)在日月引力攝動(dòng)中，這是GEO衛(wèi)星廣播星歷參數(shù)Δn出現(xiàn)半月振蕩周期的原因。

(4)通過將坐標(biāo)系基本平面旋轉(zhuǎn)一定角度可以改善GEO衛(wèi)星的擬合效果，角度的選擇不宜太小，否則仍然可能出現(xiàn)參數(shù)超限現(xiàn)象。

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