劉傳振，段焰輝，蔡晉生

(西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院，西安710072)

0 引言

飛行器幾何外形的參數(shù)化方法在氣動(dòng)外形優(yōu)化設(shè)計(jì)中有非常重要的作用，參數(shù)化方法的性質(zhì)對(duì)計(jì)算時(shí)間和設(shè)計(jì)空間的本質(zhì)特性與范圍有十分深刻的影響，進(jìn)而大大影響了氣動(dòng)外形優(yōu)化的效率。適用于飛行器外形優(yōu)化的參數(shù)化方法應(yīng)該具有以下性質(zhì)［1］:(1)生成光滑可行的幾何形狀;(2)具有高效性和魯棒性;(3)計(jì)算快速、精確、穩(wěn)定;(4)使用少量參數(shù)表達(dá)較大的設(shè)計(jì)空間;(5)允許某些影響性較大的參數(shù)存在;(6)容易控制曲線曲面;(7)表達(dá)幾何形狀直觀。

常用的參數(shù)化方法［2］在表達(dá)復(fù)雜曲面時(shí)，為保證表達(dá)精度，參數(shù)的個(gè)數(shù)會(huì)大量增加［3］，優(yōu)化過(guò)程中參數(shù)變量的隨意變化還會(huì)導(dǎo)致不規(guī)則或不可控外形的產(chǎn)生，影響優(yōu)化設(shè)計(jì)的正常實(shí)現(xiàn)。Kulfan等提出了一種使用類別函數(shù)(class function)和形狀函數(shù)(shape function)表示幾何外形的類別形狀函數(shù)法(Class and Shape Transformation，CST)［4］，CST 方法設(shè)計(jì)變量少，具有良好的可控性和表達(dá)精度，是一種簡(jiǎn)潔高效的參數(shù)化方法。近年來(lái)，CST方法在很多方面得到了應(yīng)用，包括超臨界翼型設(shè)計(jì)［5］、機(jī)翼減阻優(yōu)化［6］、增升裝置的表達(dá)［7］等，相關(guān)學(xué)者還實(shí)現(xiàn)了飛翼布局［8］和乘波體機(jī)身［9］的CST參數(shù)化表示，并對(duì)其進(jìn)行了B樣條修正［10］。這些工作主要是對(duì)翼型、機(jī)翼或簡(jiǎn)單飛行器的外形表達(dá)，很少涉及復(fù)雜飛行器外形的表達(dá)，難以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜氣動(dòng)外形的統(tǒng)一參數(shù)化建模。

為了擴(kuò)展CST方法對(duì)飛行器外形曲面的表達(dá)能力，本文提出分塊CST方法，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜曲面分塊的光滑連接，完成飛行器的全機(jī)參數(shù)化建模。并結(jié)合遺傳算法［11］和氣動(dòng)力快速計(jì)算方法［12－13］，以某類乘波翼身組合體飛行器為例驗(yàn)證它在高超聲速［14］氣動(dòng)外形優(yōu)化設(shè)計(jì)中的作用。

1 分塊類別形狀函數(shù)變換法

1. 1 CST方法的基本原理

本文以翼型為例，說(shuō)明CST方法的基本原理。對(duì)于一般的翼型，其幾何外形可由CST方法表示為:

其中ζ=z/c為翼型無(wú)量綱z坐標(biāo)，ψ=x/c為翼型的無(wú)量綱x坐標(biāo)，ζR為無(wú)量綱后緣厚度，c為翼型弦長(zhǎng)。類別函數(shù)(ψ)定義為:

其中，N1和N2定義了幾何外形的類別［4］。

形狀函數(shù)S(ψ)有多種方法定義，本文采用n階Bernstein多項(xiàng)式的加權(quán)組合作為S(ψ)的表達(dá)形式，如式(3):

對(duì)于任意平面形狀的曲面進(jìn)行CST參數(shù)化建模，可以通過(guò)坐標(biāo)變換將曲面塊在x－y平面的兩個(gè)方向進(jìn)行單位化處理，采用Bernstein多項(xiàng)式對(duì)曲面塊進(jìn)行描述，同時(shí)在曲面塊的特征方向上增加類別函數(shù)，得到曲面塊的CST方法表示形式為:

其中ψ為無(wú)量綱的x坐標(biāo)，η為無(wú)量綱的y坐標(biāo)，ζ為無(wú)量綱的曲面z坐標(biāo)。為類型函數(shù)，當(dāng)特征方向選取x或y時(shí)，類型函數(shù)分別為(ψ)或(η)。和(η)為兩方向的Bernstein多項(xiàng)式函數(shù)，bi，j是曲面控制參數(shù)。坐標(biāo)變換的表達(dá)式為:

其中xR，xL為曲面塊在x－y平面上x(chóng)方向的邊界，yU，yD為曲面塊在x－y平面上y方向的邊界。坐標(biāo)變換(5)將曲面塊在x－y平面的自變量區(qū)域變?yōu)棣爪瞧矫嫔系膯挝徽叫螀^(qū)域。當(dāng)特征方向沿y方向時(shí)，在式(4)中的ζ與曲面塊z坐標(biāo)的變換關(guān)系為:

其中zU與zD分別是曲面塊位于yU與yD邊界處輪廓線的z坐標(biāo)。輪廓線是一條三維曲線，可以采用二維CST方法分別表示輪廓線在x－y和x－z平面的投影為:

其中?L與?R以及ζL與ζR分別為輪廓線起點(diǎn)與終點(diǎn)偏離原點(diǎn)的位置。

1. 2 分塊處理及曲面接合方法

飛行器的外形復(fù)雜，機(jī)翼機(jī)身很難用一整塊曲面表示，即使同一曲面的性質(zhì)和復(fù)雜程度在不同區(qū)域也不同，因此采用分塊處理是十分重要和必要的。本文根據(jù)氣動(dòng)力和幾何形狀的不同性質(zhì)將飛行器曲面劃分為不同的區(qū)域，每個(gè)曲面塊區(qū)域分別采用CST方法進(jìn)行參數(shù)化描述，組合所有曲面塊形成一個(gè)完整的飛行器曲面。

在分塊單獨(dú)采用CST方法進(jìn)行描述時(shí)，很難在相鄰塊邊界保證相接曲面塊的連續(xù)和光滑，因此需要增加相應(yīng)的約束來(lái)保證曲面塊在交接處的連續(xù)光滑性。本文分析CST曲面在邊界處取值和導(dǎo)數(shù)的特性，推導(dǎo)CST曲面在邊界處取值和導(dǎo)數(shù)值與特定參數(shù)的關(guān)系，給出了保證相鄰曲面塊連續(xù)光滑的參數(shù)約束條件。

由n階Bernstein多項(xiàng)式(3)推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)公式為:

以特征方向?yàn)棣追较驗(yàn)槔紤]η方向的邊界連續(xù)條件。邊界處η=0和η=1，此時(shí)方程(4)簡(jiǎn)化為:

只要控制bi，j的首行參數(shù)即可保證η=0處的邊界條件，控制末行參數(shù)可保證η=1處的邊界條件。

下面討論CST曲面在邊界處的導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件。CST曲面在η方向的導(dǎo)數(shù)是

當(dāng)η=0時(shí)，

曲面導(dǎo)數(shù)公式簡(jiǎn)化為

當(dāng)η=1時(shí)，

曲面導(dǎo)數(shù)公式簡(jiǎn)化為

由此可以看到bi，j兩端的兩行系數(shù)決定了邊界處的導(dǎo)數(shù)值。連續(xù)性條件已確定首行或末行的系數(shù)，因此僅需要調(diào)整第二行或倒數(shù)第二行的參數(shù)即可滿足導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件。

2 分塊CST方法特性分析

本文以兩類曲面外形為例研究了分塊CST方法的性質(zhì):一類曲面特性相同，但復(fù)雜度不同，研究表明采用分塊處理可以有效保證精度并減少參數(shù);另一類曲面特性不同，難以進(jìn)行統(tǒng)一單塊處理，分塊CST方法則可以較好地表達(dá)，說(shuō)明其適用性。

2. 1 復(fù)雜度不同曲面的分塊建模

對(duì)于如圖1所示的外形，在曲面的不同區(qū)域其復(fù)雜程度不同，前段曲面曲率變化大，而后段較平緩。對(duì)于此類型的曲面，分塊處理可以有效保證精度并減少參數(shù)數(shù)目。下面比較采用分塊CST表達(dá)和統(tǒng)一表達(dá)的精度。

圖1 某類乘波體下表面機(jī)身Fig.1 Lower surface of quasi-waverider

橫截面方向?yàn)镃ST方法的特征方向，稱為弦向，另一方向?yàn)檎瓜颉１疚牟捎米钏傧陆捣ㄟ@一優(yōu)化算法計(jì)算控制參數(shù)，擬合幾何體與原幾何體的殘差作為目標(biāo)函數(shù):

經(jīng)測(cè)試，分塊時(shí)前后段曲面在弦向和展向分別選擇6×5和4×3階多項(xiàng)式可較好的表達(dá)，考慮曲面對(duì)稱性，參數(shù)數(shù)目為33，殘差σ為0.898 7;統(tǒng)一處理時(shí)，殘差σ隨階數(shù)的變化如表1。

從表1看到如果要達(dá)到相同精度的誤差，階數(shù)應(yīng)至少選擇為6×8階，參數(shù)有36個(gè)，比分塊處理所用參數(shù)多。這是因?yàn)楹蠖吻孑^簡(jiǎn)單，使用低階多項(xiàng)式即可較好的表達(dá)。分塊CST方法處理此類型曲面時(shí)具有一定優(yōu)勢(shì)。

表1 統(tǒng)一CST表達(dá)時(shí)殘差σ隨階數(shù)的變化Table 1 Residuals of uniform CST method via orders

2. 2 形狀特性不同曲面的分塊建模

對(duì)于類別形狀差異較大的曲面比如機(jī)翼機(jī)身或不同形狀性質(zhì)的機(jī)翼曲面，CST方法難以統(tǒng)一處理，而分塊CST方法則可較好表達(dá)。下面以高速運(yùn)輸飛行器(High Speed Civil Transport，HSCT)的機(jī)翼［1］為例說(shuō)明分塊CST方法的適用性。

圖2 HSCT飛行器的機(jī)翼Fig.2 Wing of HSCT

對(duì)于圖2所示的機(jī)翼，內(nèi)翼為亞聲速鈍前緣翼型，外翼為超聲速尖前緣翼型，在使用CST方法表達(dá)時(shí)，內(nèi)外翼應(yīng)使用不同的類型函數(shù)。針對(duì)不同翼面的物理和氣動(dòng)特性，將機(jī)翼分為內(nèi)外上下四個(gè)曲面塊，分別使用CST方法進(jìn)行建模，并在交接處應(yīng)用1.2部分的接合方法對(duì)內(nèi)翼曲面控制參數(shù)施加約束保證連續(xù)光滑。建模結(jié)果如圖2，機(jī)翼截面在交接處過(guò)渡連續(xù)光滑，實(shí)現(xiàn)了此機(jī)翼的整體參數(shù)化建模。

3 類乘波翼身組合體優(yōu)化設(shè)計(jì)

3. 1 類乘波翼身組合體參數(shù)化建模

為了說(shuō)明分塊CST方法在優(yōu)化設(shè)計(jì)中的作用，本文以某類乘波翼身組合飛行器為例進(jìn)行了分塊CST方法建模，并對(duì)其進(jìn)行了以升阻特性為目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。初始外形如圖3，模型來(lái)自于美國(guó)空軍“Falcon”計(jì)劃［15］，該飛行器的機(jī)身投影面積明顯較機(jī)翼面積大很多，機(jī)身為主要升力面。對(duì)于大多數(shù)的高超聲速飛行器，都是利用前機(jī)身的壓縮產(chǎn)生主要升力，因此前機(jī)身下表面需要細(xì)致設(shè)計(jì);機(jī)翼作為次要升力部件，具有很大的改善空間，也需重點(diǎn)設(shè)計(jì)。由初始外形的幾何和氣動(dòng)特性確定此飛行器的分塊如下:機(jī)身前部，機(jī)身后部，翼身融合部與機(jī)翼，對(duì)各部分曲面進(jìn)行上下分割，整個(gè)飛行器外形曲面分為8個(gè)曲面塊。

圖3 類乘波翼身組合體飛行器三視圖(無(wú)垂尾)Fig.3 Views of the quasi-waverider vehicle

機(jī)身前部和后部曲面的建模結(jié)果如圖4，曲面按照1.2節(jié)的接合方法對(duì)前后部機(jī)身曲面的控制參數(shù)施加約束，保證機(jī)身表面連續(xù)光滑，在圖4中可以看到截面形狀在機(jī)身曲面塊的交接處光滑連續(xù)。

圖4 機(jī)身曲面融合部分Fig.4 Adjacent area between body blocks

提取相鄰機(jī)身和機(jī)翼曲面的邊界，按照前文介紹的接合方法，約束曲面控制參數(shù)即可生成翼身融合面。圖5中翼身融合面截面形狀的變化與相鄰曲面一致，保證了交接區(qū)域的連續(xù)光滑。機(jī)翼采用梯形翼，翼型選擇為對(duì)稱雙弧翼型，考慮機(jī)身后體減阻與發(fā)動(dòng)機(jī)尾噴口放置，參照HTV-3x高超聲速飛行器［15］采用樣條插值生成了尾錐部分。

圖5 翼身融合部分Fig.5 Blended wing-body area

翼型選擇雙弧形，N1=1.0，N2=1.0;機(jī)身為雙錐形曲面，截面形狀在邊界處的斜率較小，因此也選取 N1=1.0，N2=1.0。飛行器的平面形狀控制參數(shù)包括前后機(jī)身長(zhǎng)度、寬度，輪廓線參數(shù)，機(jī)翼位置，翼面積，展弦比，梢根比，后掠角等，總共21個(gè);前后機(jī)身分別選取6×5和4×4階Bernstein多項(xiàng)式，機(jī)翼使用3×2階多項(xiàng)式，考慮到相鄰曲面的參數(shù)約束關(guān)系、機(jī)身曲面的對(duì)稱性等，曲面控制參數(shù)為72個(gè)。

3. 2 優(yōu)化及氣動(dòng)力計(jì)算方法

優(yōu)化算法為遺傳算法，根據(jù)文獻(xiàn)［16］的研究結(jié)果，在基本遺傳算法的基礎(chǔ)上加入基于排序的適應(yīng)度分配方法和優(yōu)選技術(shù)，可以提高遺傳算法的效率。

氣動(dòng)力計(jì)算采用高超聲速快速計(jì)算方法。目前比較成熟的計(jì)算方法有牛頓法，切楔切錐法，激波膨脹波方法等，針對(duì)不同的飛行器部件使用不同的算法，可以有效地增加計(jì)算精度。本文算例的飛行器外形類似吻切錐乘波翼身組合體，機(jī)身側(cè)邊有明顯的三維流動(dòng)特性，因此機(jī)身的迎風(fēng)面和背風(fēng)面使用帶攻角的錐方法;機(jī)翼較薄，近似為二維流動(dòng)，采用激波膨脹波方法;粘性力的計(jì)算選取基于平面面元的Spading-Chi方法。

3. 3 優(yōu)化設(shè)計(jì)及結(jié)果

初始外形如圖3，優(yōu)化的設(shè)計(jì)點(diǎn)狀態(tài)為馬赫數(shù)Ma=6.0，高度 H=30km，攻角 α =3°。

目標(biāo)函數(shù)為設(shè)計(jì)點(diǎn)狀態(tài)的升阻比f(wàn)=CL/CD。高超聲速飛行器的容積非常重要，本文在優(yōu)化時(shí)限定容積不小于原始容積的70%。實(shí)際優(yōu)化時(shí)發(fā)現(xiàn)，隨著飛行器性能的提高，前體的體積會(huì)大幅度減小，為了滿足體積約束，后體的體積開(kāi)始增大，由于使用工程方法很難對(duì)底阻進(jìn)行精確估算，所以會(huì)進(jìn)一步導(dǎo)致后體的厚度增大，很容易產(chǎn)生類似于“圓錐”一樣的外形，這是不合理的，因此本文施加厚度約束，要求前后體對(duì)接處的厚度d1不能小于后體尾緣處的厚度d2。從氣動(dòng)力角度考慮，設(shè)計(jì)目標(biāo)為升阻比，有可能出現(xiàn)升力過(guò)小的情況，因此需約束升力系數(shù)，指定升力系數(shù)的最小值為CLmin。此優(yōu)化問(wèn)題可以表示為:

類函數(shù)中N1，N2為定值，不參與優(yōu)化;21個(gè)平面形狀控制參數(shù)和曲面控制參數(shù)均作為設(shè)計(jì)變量，總設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)為 93個(gè)，較文獻(xiàn)［3］中的ATLLAS飛行器模型有較大減少。對(duì)特定的設(shè)計(jì)變量比如機(jī)身長(zhǎng)度，機(jī)身寬度，翼面積等設(shè)定范圍保證外形規(guī)則可控。類乘波體飛行器前下表面的形狀對(duì)氣動(dòng)性能影響最大，其曲面控制設(shè)計(jì)變量選定為初始值上下浮動(dòng)80%，其他曲面選定為初始值上下浮動(dòng)50%。

遺傳算法中種群規(guī)模1 000個(gè)，交叉概率0.6，變異概率0.05，最大進(jìn)化代數(shù)400。在Ubuntu Linux系統(tǒng)下，采用Intel Core i7處理器(主頻2.93GHz)，內(nèi)存8GB，優(yōu)化程序每一步耗時(shí)約135s，其中幾何體生成程序耗時(shí)約30s，氣動(dòng)力計(jì)算程序約100s，總耗時(shí)為約15h。

表2 優(yōu)化前后外形的氣動(dòng)力結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparison of aerodynamic results

圖6是目標(biāo)函數(shù)隨進(jìn)化代數(shù)的變化圖，表2為優(yōu)化前后飛行器升力系數(shù)CL，阻力系數(shù)CD，升阻比L/D和飛行器容積V的對(duì)比，其中CD大幅度減小，升阻比從原外形的2.59提高到優(yōu)化外形的5.23。飛行器容積從180 750下降到134 580，滿足限制要求。

圖7和圖8分別是優(yōu)化前后的飛行器外形對(duì)比圖和優(yōu)化外形的三視圖，優(yōu)化后外形表面光滑，機(jī)身前緣輪廓線較尖銳，機(jī)身變薄，長(zhǎng)細(xì)比增加，機(jī)翼面積、展弦比增大，梢根比減小。

圖6 目標(biāo)函數(shù)隨進(jìn)化代數(shù)的變化Fig.6 Optimal function via generation

圖7 初始(左)與最優(yōu)(右)外形的對(duì)比Fig.7 Initial and optimized configurations

圖8 優(yōu)化后飛行器外形三視圖Fig.8 Views of optimized configuration

3. 4 CFD 校驗(yàn)計(jì)算

為了校驗(yàn)優(yōu)化結(jié)果和氣動(dòng)力快速計(jì)算方法的精度，本文對(duì)優(yōu)化前后的外形進(jìn)行了CFD校驗(yàn)計(jì)算。

計(jì)算狀態(tài)為設(shè)計(jì)點(diǎn)狀態(tài)，網(wǎng)格采用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，湍流模型為S-A模型。圖9給出優(yōu)化后外形Y向位置η=21%(機(jī)身)處截面的壓力系數(shù)對(duì)比，可以看到機(jī)身截面處的壓力分布與CFD結(jié)果在大體上是一致的，主要在前緣部分計(jì)算不夠精確，這是因?yàn)榍熬壊糠执嬖诳倝厚v點(diǎn)，工程方法難以捕捉此處的吸力峰值，屬于方法本身的局限。

圖9 優(yōu)化外形η=21%處截面的Cp分布Fig.9 Cp distribution atη =21%of optimized configuration

表3為CFD數(shù)值計(jì)算的氣動(dòng)力結(jié)果，與表2相比較可以看到工程算法與精確CFD計(jì)算升阻力特性吻合的較好，說(shuō)明工程算法也具有較高的精度。同時(shí)，精確CFD數(shù)值計(jì)算對(duì)于優(yōu)化前后升阻比氣動(dòng)特性提升的校驗(yàn)，說(shuō)明了優(yōu)化設(shè)計(jì)平臺(tái)的精度與效率。

表3 CFD計(jì)算氣動(dòng)力結(jié)果對(duì)比Table 3 Comparison of CFD aerodynamic results

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)CST方法特性的分析，本文提出分塊CST方法，實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜飛行器曲面的參數(shù)化建模，并以類乘波翼身組合飛行器為例校驗(yàn)了其在優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。

參數(shù)化建模結(jié)果表明，對(duì)于形狀變化較大的曲面，分塊CST方法可以使用較少的參數(shù)表達(dá)，并具有較高的精度;對(duì)于類別形狀性質(zhì)不同的曲面，分塊CST方法能保證不同分區(qū)曲面之間的光滑連接，實(shí)現(xiàn)曲面的整體參數(shù)化建模。

氣動(dòng)外形優(yōu)化算例表明，基于分塊CST方法、遺傳優(yōu)化算法和氣動(dòng)力快速計(jì)算方法建立的優(yōu)化平臺(tái)設(shè)計(jì)變量少，具有較高的計(jì)算效率、優(yōu)化效果與精度，是高超聲速飛行器氣動(dòng)外形優(yōu)化設(shè)計(jì)的有力工具。

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