張丹

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）把“問題解決”作為課程目標之一，其內涵包括經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的全過程，獲得分析問題和解決問題的策略，學會合作交流，形成評價與反思的意識。美國加州大學教授舍費爾德（A.Schoenfeld）通過實驗觀察，提出了問題解決能力的四個構成要素——認知的資源、發(fā)現(xiàn)式解題策略、控制和信念系統(tǒng)。[1]這些都說明了問題解決多方面的教育價值。在數(shù)學教學中積極倡導問題解決，不僅可以提高學生解決問題的能力，還可以加深學生對知識和方法的深入理解，促進學生的數(shù)學交流，提高學生的自信心，發(fā)展學生的創(chuàng)新精神和實踐能力。

需要指出的是，問題解決中的“問題”不僅包括常規(guī)問題，還包括非常規(guī)問題。常規(guī)問題一般是封閉型的，有一個確定的答案，而且給出了所有必要的已知信息，學生解決問題的方式主要是從已有認知結構中提取熟悉的“模式”，更多地體現(xiàn)出常規(guī)性和重復性。非常規(guī)問題一般是開放的，沒有確定的答案，解決它沒有現(xiàn)成的方法和程序，學生解決問題的方式主要是尋找和提煉信息、探索解決問題的方法，更多地體現(xiàn)出探索性和創(chuàng)造性。

下面就《標準》關于問題解決的具體目標加以闡述。

一、初步學會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力

首先，《標準》提出要發(fā)展學生“從頭到尾”發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。學生要具有數(shù)學的意識和眼光，能在實際生活、其他學科、數(shù)學內部等方面產(chǎn)生疑問——發(fā)現(xiàn)問題；能進一步將疑問概括、表述為可以解決的問題——提出問題；能理解問題中的條件和目標，識別問題情境中蘊含的數(shù)學關系，確定解決問題的方向——分析問題；能選擇合適的方法和程序，綜合應用所學的知識和方法解決問題，并對結果進行解釋和評價——解決問題。

在發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程中，學生將不斷增強應用意識。特別地，學生將認識到現(xiàn)實生活中蘊含著大量的數(shù)學信息，相信數(shù)學的用途和價值，這也體現(xiàn)了“信念系統(tǒng)”在問題解決中的作用。為此，數(shù)學課程和教學應努力揭示數(shù)學與日常生活、自然界和其他學科的聯(lián)系，數(shù)學概念的引入應當揭示它的現(xiàn)實背景，數(shù)學知識形成以后應當介紹它的真實應用；應提供機會鼓勵學生運用所學的知識解決實際問題，并引導學生有意識地體會并掌握一些重要的解決問題的策略；應展現(xiàn)數(shù)學應用的具體實例，將學生引入豐富多彩的數(shù)學應用的王國中；甚至在物理、化學等其他學科的教學中，也應當盡可能地呈現(xiàn)它們與數(shù)學的聯(lián)系。

需要強調的是，《標準》將發(fā)現(xiàn)問題和提出問題也作為問題解決領域的重要組成部分，而這正是學生的薄弱點。在義務教育階段，首先要培養(yǎng)學生的是發(fā)現(xiàn)和提出問題的意識和習慣。所以，最好的途徑是給學生自主發(fā)現(xiàn)和提出問題的機會。具體包括：

第一，面臨情境或將要學習的內容，鼓勵學生自主發(fā)現(xiàn)和提出問題。

第二，解決完一個問題后，鼓勵學生提出新的問題。美國學者布朗（S.Brown）與沃爾特（M.Walter）通過研究，得到提出問題的一個很有用的方法——“否定假設法”（what-if-not，如果它不是這樣的，那又可能是什么呢？）?！斑@是從原問題出發(fā)，產(chǎn)生新問題的非常有效的方法。運用這種策略提出問題有兩個關鍵步驟：首先，列出情境信息的特征；而后是‘what-if-not，即學生選擇一些特征加以改變來提出問題。”[2]

比如，一位教師首先鼓勵學生解決如下的問題：亮亮家、芳芳家和學校的位置如下圖所示。星期天要到校參加實踐活動，他們7點從家里出發(fā)，7點5分同時到達學校。亮亮從家到學校每分鐘走50米，芳芳從家到學校每分鐘走40米，亮亮家到芳芳家的距離是多少米？

然后，通過獨立思考、合作交流，師生共同整理了題目中包含的信息：同時出發(fā)、相對而行、在一條直線上行走、行走的速度、行走的時間、關于相遇的情境等。接著教師提出問題：你能改變其中的一個信息，再提出一個問題嗎？于是學生改變信息，產(chǎn)生了一個又一個新問題：如果不是在一條直線上行駛，會怎么樣呢？如果不是相對而行會怎么樣呢？如果不是同時到達會怎么樣呢？

第三，學習完所學內容后，鼓勵學生進一步提出想要研究的問題。比如，學習了“質數(shù)與合數(shù)”的內容后，學生提出了如下“有趣”的問題：

（1）學習質數(shù)和合數(shù)有什么用？

（2）有沒有一個辦法，能快速地找到質數(shù)？

（3）質數(shù)有沒有公式？

（4）有沒有最大的質數(shù)？

（5）2與3差1，3與5差2，5與7差2，7與11差4……質數(shù)是否有一定的規(guī)律？

（6）哥德巴赫猜想研究的是什么？

第四，設計專門的活動，鼓勵學生發(fā)現(xiàn)和提出問題?！啊C合與實踐是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動”，[3]發(fā)現(xiàn)并選擇可以研究的問題并清晰地加以表述無疑是其中重要的一環(huán)。因此，教師可以鼓勵學生通過自主發(fā)現(xiàn)、小組甄選、討論分析、清晰表述等活動，從生活中、從學習中發(fā)現(xiàn)和提出具有挑戰(zhàn)性的問題。

教師還可以安排一些專門的活動，鼓勵學生思考并討論：自己提出的問題是什么意思？什么是合理的問題？什么是數(shù)學問題？問題的基本結構是什么？大家所提的問題有幾類？你是怎樣想到這個問題的？是什么啟發(fā)了你？鼓勵學生積累發(fā)現(xiàn)和提出問題的經(jīng)驗。

二、獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識

問題解決的價值不只是獲得具體問題的解，更重要的是學生在問題解決的過程中獲得發(fā)展。其中重要的一點是使學生學習一些解決問題的基本方法，體驗解決問題的方法的多樣性，并在此基礎上形成自己解決問題的某些策略。

事實上，從波利亞開始，大家對解決問題的策略已經(jīng)有了許多研究，提出了一些比較常用的策略，包括使用圖表或其他的表示方法、尋找模式、列舉所有的情況、從特例開始試驗、猜測與檢驗、嘗試錯誤、構造簡單問題等。數(shù)學課程和教學應該提供給學生一些解決問題的策略方面的實踐與指導，以使他們能根據(jù)不同的問題合理地使用這些策略。筆者選擇其中最基本的三個策略——畫圖策略、列表策略和模擬操作策略加以闡述。

畫圖策略是一種非常重要的分析問題和解決問題的策略，它是利用“圖”的直觀來對問題中的關系和結構進行表述，從而幫助人們分析問題和解決問題的。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于人們探索解決問題的思路，預測結果。同時，畫圖又是一個“去情境化”的過程，它能提煉情境中的數(shù)量關系，并且進行直觀的表達?？偟膩碚f，畫圖策略的作用主要體現(xiàn)在：可以幫助理解問題；可以幫助解決問題；可以促進反思和交流；可以導致發(fā)現(xiàn)。

列表策略的作用主要體現(xiàn)在：第一，學生通過列表枚舉出一些符合條件的結果，然后通過驗證從中選擇最終的答案。比如，對于“雞兔同籠”問題，教材大多選擇列表的策略，鼓勵學生進行枚舉，學生通過枚舉每一種情況并進行檢驗得到問題的最終答案。如果頭和腿的數(shù)目較多，學生也可以在枚舉過程中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律從而進行調整，如“發(fā)現(xiàn)腿數(shù)還差得很多，多增加些兔子”，又如可以從假設有一半雞或兔子開始枚舉。這不僅能使學生學習解決問題的重要策略，還可以培養(yǎng)學生的數(shù)感和估算能力，使學生經(jīng)歷建立假設、檢驗假設的過程，發(fā)展學生自己進行判斷的能力。隨著對這個問題的不斷討論，越來越多的教師認識到了枚舉方法的重要性。正如張景中先生提到的：“小學數(shù)學里有很多應用題，解題的思想方法常常因題而異。可不可以引導學生探索一下，用一個思想來解各種各樣的題目呢？試商的思想，其實有普遍意義，可以用來求解許多不同類型的問題，包括應用問題，只要問題中的條件數(shù)據(jù)和解答之間有確定性的關系。例如，修一條長32千米的公路，已經(jīng)修了24千米，已修的路程是剩下的幾倍？我們用類似試商的辦法來試解。如果是1倍，剩下的是24千米，總長48千米，比題設數(shù)據(jù)大了；如果是2倍呢，剩下的是12千米，總長36千米，仍比題設數(shù)據(jù)大；3倍呢，剩下8千米，總長32千米，正好符合要求。我想很多老師不會這樣引導學生思考，認為這是個笨辦法。其實，這個辦法具有一般性，把試解的倍數(shù)看成自變量，把根據(jù)試解算出的總長看成試解倍數(shù)的函數(shù)，找尋使函數(shù)值符合題目要求的自變量，這個思路能解決很多問題，是‘大智若愚。這樣思考試算，最終也會發(fā)現(xiàn)具體的規(guī)律，列出通常的算式?！盵4]不難看出，“試商”就是我們說的枚舉并驗證的方法，它是一個“大智若愚”的方法。第二，學生可以將問題中的信息用表格的形式加以整理，往往既能起到整理信息的作用，也有助于學生探索出解決問題的思路。

模擬操作策略是借助實際操作或模擬操作分析問題和解決問題的策略。一方面，可以通過模擬問題中的情境，幫助學生理解題意和分析問題。另一方面，學生可以通過操作解決問題。

需要指出的是，學生所采用的策略，在教師眼中也許有優(yōu)劣之分，但在學生的思考過程中并沒有好壞之別，都能反映出學生對問題的理解和他們所作出的努力。只要解題過程及答案具有合理性，就值得肯定，這為樹立學生的自信心和培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神提供了很有價值的機會。同時，有研究表明，“學生不僅能夠自己去發(fā)現(xiàn)問題解決的策略，而且可以利用學生自己發(fā)現(xiàn)的策略去促進他們的數(shù)學理解”[5]。因此，在教學中，應提供給學生更多的展示屬于他們自己的思維方式和解題策略的機會，提供給學生更多的解釋和評價他們自己的思維結果的權利。還應鼓勵學生共同分享他們各自的策略，由此體會解決問題的不同方法，學習和評價不同的策略，并豐富和擴充自己的策略。在這種環(huán)境中，學生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)才會成為可能。

三、學會與他人合作交流

許多國家都將培養(yǎng)學生數(shù)學交流的能力作為課程的重要目標。例如，英國著名的“科克羅夫特報告”（Cockcroft Report）指出：“所有這些對數(shù)學有用的理解都來源于這樣的事實，即數(shù)學提供了一種有力的、簡潔的和準確無誤的交流信息的手段……它提供了對所有兒童要教數(shù)學的主要的理由?！盵6]

在問題解決的過程中與他人合作交流，學生不僅能獲得更多的幫助和啟示，他們的數(shù)學思考能力也將得到發(fā)展。實際上，思考和交流是交叉在一起的。無論是口頭的還是書面的交流，學生首先面臨向他人清晰而有信心地表達自己的想法的挑戰(zhàn)，這就需要他們預先組織自己的數(shù)學思維，這實際上是他們獲得對自己問題解決過程深入理解的過程，同其他人討論是使自己的策略和思想得到詳細的檢查、提煉和完善的基本方法之一；在討論問題解決的各種各樣的方案時，學生將有機會看到別人的觀點和方法，評價這些觀點和方法的正確性和適用性，并在解決以后出現(xiàn)的問題時加以運用，通過仔細地聽取和思考他人的觀點，學生將學習成為有著批判眼光的思考者；學生還要將自己的語言與數(shù)學語言聯(lián)系起來，這就為他們學習數(shù)學語言積累了經(jīng)驗，奠定了基礎，有助于學生欣賞數(shù)學語言的精確性和力量?？傊攲W生在合作交流的基礎上最終提出能有效地解決問題的方案時，他們的思考能力也就同時得到了提高。當然，交流的過程也為教師提供了觀察、了解和幫助學生的機會。

因此，如果數(shù)學教育中充滿了豐富的交流，學生就可以獲得雙重的效益：為了學會數(shù)學進行交流和學會數(shù)學地交流。交流應該成為數(shù)學學習的一個很自然的組成部分，數(shù)學課程和教學應提供多種機會促進學生的合作與交流。例如：可以要求學生記錄他們在當天數(shù)學學習中的收獲和遇到的問題，這個活動可以促使學生自覺思考一天的工作，表達自己對所學內容的想法，這種活動也能提醒學生，他們和教師一樣對所學內容是負有責任的。

四、初步形成評價與反思的意識

有研究表明，學生在問題解決中的失敗常常不是由于他們缺乏數(shù)學知識，而是由于他們不能有效地應用所學的知識。好的問題解決者常常監(jiān)控并調整他們解決問題的過程。他們要通過仔細閱讀問題或提出自己的疑惑來確信他們是否真正理解了問題；他們常常做計劃，并定期檢查正在做的事，以了解他們是否正在正確的軌道上前進；如果遇到了重大挫折，他們就嘗試換一個解決問題的角度；而解決了一個問題之后，他們能回顧整個解題過程，反思結果和解決問題的策略是否合理、是否有不同的解決問題的途徑、與其他問題是否有聯(lián)系等?？傊?，學生的評價和反思意識與水平在問題解決的過程中起著很大的作用。實際上，這就是“元認知”的重要性。元認知是指“個體對自我認知過程的認知，以及在這種認知基礎上的自我監(jiān)督、計劃與調節(jié)（弗拉維爾，1979）”[7]。數(shù)學教育家萊斯特（Lester）強調元認知在數(shù)學解決問題中的作用，具體地說，“在導引階段，元認知可以引導解題者去尋找題目的關鍵字，確認解題方向；在組織階段，元認知有助于解題者模式識別和解題遷移；在執(zhí)行階段，元認知起調控解題者行為的作用；在驗證階段，元認知可以促使解題者對解題進行反思”[8]。

數(shù)學課程和教學可以通過設計以下一些問題，幫助學生逐步形成評價和反思的習慣：在開始解決問題前，你確實理解問題了嗎？到目前為止解過類似的問題嗎？能否將此問題轉化為以前解過的問題？可能有哪些解決問題的途徑供選擇？需要制訂一個計劃嗎？這個計劃可行嗎？或者，我們應該重新考慮計劃？這個問題的解合理嗎？解決這個問題時，你運用了什么策略？是否還有其他解決問題的方法？……。特別地，我們不能僅僅滿足于求解一個具體的問題，還應促使學生的數(shù)學思考得到進一步的發(fā)展。例如：引導學生對所求解的問題抽象化或一般化；思考解決問題過程中使用的策略能否作為解決一類問題的重要方法；比較解決問題的不同策略，以體會它們不同的特點與適用性；在解決問題的基礎上提出新的問題；等等。

【參考文獻】

[1]王延文，齊建華，游安軍.“問題解決”及其研究綜述[J].數(shù)學教育學報，1995（8）：35-39.

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[3]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[4]張景中.感受小學數(shù)學思想的力量——寫給小學數(shù)學教師們[J].人民教育，2007（18）：32-35.

[5]蔡金法.關于“通過問題解決進行數(shù)學教學”的研究綜述——一些已經(jīng)回答和尚未回答的問題[J].浙江教育學院學報.2009（1）：28-36.

[6]科克羅夫特.數(shù)學算數(shù)——英國學校數(shù)學教育調查委員會報告[M].范良火，譯.北京：人民教育出版社，1994.

[7]劉偉方，司繼偉，王玉璇.認知策略選擇的元認知因素[J].心理科學進展.2011（19）：1328-1338.

[8]喻平.數(shù)學問題解決的實證研究述評[J].數(shù)學教育學報，2002（2）：16-20.

（作者單位：北京教育科學研究院）