覃海英

摘 要： 函數(shù)的微積分是高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，函數(shù)的微分是積分的基礎(chǔ)，所以只有學(xué)好用好函數(shù)的微分，才能輕松地學(xué)好高等數(shù)學(xué).

關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù) 微分

本文通過剖析一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其微分的概念，幫助讀者深入理解這兩個概念，不但學(xué)會求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分，還進(jìn)一步知道導(dǎo)數(shù)和微分在實際問題中具體應(yīng)用.

一、函數(shù)導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)相對于自變量變化快慢的程度（變化率）

現(xiàn)實生活中一個量相對于另一個量的變化率問題是普遍存在的，當(dāng)研究運動的各種形式時，都要從數(shù)學(xué)上研究函數(shù)相對于自變量的變化快慢程度，如電流、化學(xué)反應(yīng)速度、生物繁殖率等，而當(dāng)物體沿曲線運動時，還要考慮速度的方向，即曲線的切線問題.所有這些在數(shù)量關(guān)系上都?xì)w結(jié)為函數(shù)的變化率，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

導(dǎo)數(shù)概念的原型是引例1.變速直線運動的速度和引例2.切線問題（略）.

上面兩個實例的具體含義是不同的，但解決問題的思想和方法都是先用公式求近似值，再借助于極限的方法求其精確值，最終都?xì)w結(jié)為計對于時間t的變化率（電流）.

為什么通過講解引例1和引例2的講解，最后要抽象出一個新的概念——導(dǎo)數(shù)？

原因就是想尋找一種簡便方法（導(dǎo)數(shù)）處理這類（變化率）問題，所以我們要知道反過來導(dǎo)數(shù)就可以用于解決此類問題.既然用導(dǎo)數(shù)求解變化率簡便，那就要會求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).所以本章計算的重點就是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

因為高數(shù)研究的主要對象是初等函數(shù)，而初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)）和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的.所以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求出常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它們的結(jié)果（16個）就是導(dǎo)數(shù)公式.再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和極限的運算法則推出導(dǎo)數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（要掌握此法則必須要掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程）.熟記以上16個公式和兩個法則，求導(dǎo)數(shù)就沒問題了.

二、函數(shù)的微分描述的是當(dāng)自變量有微小變化時，函數(shù)大體上變化多少（近似值）

在許多實際問題中，需要計算當(dāng)自變量有微小變化時函數(shù)的改變量.如果函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=f（x）較復(fù)雜，△y的精確計算就會相當(dāng)麻煩，這就需要尋求一種簡便的方法（微分）求函數(shù)改變量的近似值，為此給出函數(shù)微分的概念.

微分概念（略）.

一元函數(shù)可微與可導(dǎo)是等價的.設(shè)函數(shù)y=f（x）可導(dǎo)，則函數(shù)y=f（x）的微分dy=f′（x）=dx，即

根據(jù)誤差理論及微分的概念可知，現(xiàn)實中參數(shù)的誤差可以用其微分代替.已知函數(shù)φf（x），如果自變量x的誤差為dx，則由此導(dǎo)致函數(shù)φ所產(chǎn)生的誤差為

dφ=|f′（x）dx|

如例5可解析為：做一個邊長為2cm的正方形零件，由于各種原因最后加工成的正方形的邊長為1.9cm（縮短了0.1cm），則實際零件的面積通過上述分析，在學(xué)習(xí)微分學(xué)中一定要做到理解概念，知道概念的原型即概念產(chǎn)生的背景，這樣才能學(xué)好用好它.以上是筆者對學(xué)習(xí)函數(shù)微分的一些體會，希望能為讀者的學(xué)習(xí)提供幫助.