呂 煒，賀昌政

(四川大學(xué)商學(xué)院，四川成都 610074)

招投標(biāo)最早起源于18世紀(jì)的英國，它通過制定一套明確、具體的交易制度，并通過招投標(biāo)參與人的報(bào)價來確定中標(biāo)人和成交價格，以合理配置資源。中國有史料記載的招投標(biāo)發(fā)生在1902年張之洞創(chuàng)辦的湖北皮革廠，但解放前封建、半封建和半殖民地社會制度束縛了招投標(biāo)事業(yè)的發(fā)展。新中國成立后，中國又實(shí)行計(jì)劃經(jīng)濟(jì)，招投標(biāo)一度停止。20世紀(jì)80年代以來，中國逐步推行招投標(biāo)制度，并首先在工程建設(shè)領(lǐng)域予以推行，取得了顯著成效。中國加入世界貿(mào)易組織后，為了與國際接軌，于2003年開始推行工程量清單計(jì)價招標(biāo)，并采取國外的最低價格中標(biāo)制度。但近年來，隨著中國經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，政府財(cái)力日益增強(qiáng)，政府投資大型基礎(chǔ)設(shè)施項(xiàng)目和公益項(xiàng)目日益增加，而這些大型項(xiàng)目建設(shè)規(guī)模較大、技術(shù)復(fù)雜、建設(shè)周期長、資金占用量大，不確定影響因素較多，所需設(shè)備品種多、價值量高，因此其質(zhì)量、工期和成本直接關(guān)系到整個項(xiàng)目的成?。?］。在這類政府工程招投標(biāo)中，招標(biāo)人不僅關(guān)注投標(biāo)報(bào)價，還關(guān)注投標(biāo)人的工程質(zhì)量、工期等信息(包括競標(biāo)人資金、信用、類似工程業(yè)績等)。傳統(tǒng)的招投標(biāo)(逆向拍賣)僅將競標(biāo)人的投標(biāo)報(bào)價作為定標(biāo)依據(jù)，而將工程投標(biāo)質(zhì)量和工期的信息作為資格審查條件，可能導(dǎo)致部分性價比較高的競標(biāo)人(指質(zhì)量高、工期短且報(bào)價相對較低的競標(biāo)人)失去中標(biāo)機(jī)會，既不利于節(jié)約政府工程采購費(fèi)用，也不利于質(zhì)優(yōu)價廉競標(biāo)人體現(xiàn)其競爭優(yōu)勢，難以滿足一些大型或技術(shù)復(fù)雜的政府工程招標(biāo)的需要，因此有必要采用多屬性招標(biāo)。

多屬性拍賣是傳統(tǒng)拍賣的拓展，Bichler認(rèn)為多屬性拍賣是招標(biāo)人與競標(biāo)人進(jìn)行交易時考慮拍賣品的多個品質(zhì)屬性(如質(zhì)量、交貨期等)的一種拍賣方式［2］。Thiel最早研究多屬性拍賣，研究如何將多屬性拍賣轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)拍賣問題，發(fā)現(xiàn)在已知賣方偏好函數(shù)的情況下，多拍拍賣問題可以簡化為一維采購拍賣問題［3］。根據(jù)拍賣行動規(guī)則不同，多屬性拍賣又分為菜單式拍賣、選美式拍賣和記分拍賣［4］。Asker＆Cantillon證明記分制拍賣占優(yōu)于菜單式和選美式拍賣［5］。Che考慮了包括價格和質(zhì)量的二維拍賣模型，針對贏標(biāo)人的確定和支付問題，研究了密封拍賣機(jī)制的變形協(xié)議，即第一記分拍賣、第二記分拍賣和第二首選要約記分拍賣［6］。Branco將Che的研究拓展到競標(biāo)人成本相互關(guān)聯(lián)的情形，發(fā)現(xiàn)成本的相關(guān)性對多維拍賣最優(yōu)機(jī)制有重要影響［7］。David研究了具有普遍意義的多屬性拍賣［8］。王宏通過引入廣義質(zhì)量生產(chǎn)函數(shù)，求解了多維信息招投標(biāo)的最優(yōu)招標(biāo)機(jī)制［1］。黃河假設(shè)競標(biāo)人對質(zhì)量和價格分別投標(biāo)，并利用樹形結(jié)構(gòu)求解競勝標(biāo)問題［9］。孫亞輝在David研究的基礎(chǔ)上研究多屬性拍賣方式下競標(biāo)人的最優(yōu)投標(biāo)策略［10］。李軍和劉樹林研究了基于CD效用函數(shù)的多屬性采購拍賣［11］。周學(xué)廣運(yùn)用博弈理論研究了供應(yīng)鏈在線多屬性逆向拍賣，但其僅考慮招標(biāo)人效用函數(shù)視為質(zhì)量、交貨期的線性函數(shù)的情形［12］。

本文將周學(xué)廣研究的供應(yīng)鏈多屬性逆向拍賣方法引入研究政府工程多屬性招投標(biāo)，在研究David提出的招標(biāo)人效用函數(shù)是價格p和品質(zhì)屬性的線性組合基礎(chǔ)上，借鑒孫亞輝將招標(biāo)人的效用函數(shù)視為質(zhì)量等品質(zhì)屬性的冪函數(shù)形式［10］，即招標(biāo)人效用函數(shù)是價格p和品質(zhì)屬性αqx的線性組合，建立了多屬性非合作博弈模型，并基于該模型分析了招、投標(biāo)雙方的競價策略。

一、模型

(一)問題描述

不妨考慮政府工程建設(shè)業(yè)主針對某單位工程采取多屬性招標(biāo)確定建筑承包商。招標(biāo)文件規(guī)定投標(biāo)人需要投標(biāo)的多屬性包括:報(bào)價、質(zhì)量等級和工期。政府工程招投標(biāo)流程有資格預(yù)審文件、招標(biāo)文件的編制與審查、發(fā)布招標(biāo)公告(或投標(biāo)邀請書)、資格預(yù)審、出售招標(biāo)文件、勘察現(xiàn)場、投標(biāo)預(yù)備會議、投標(biāo)文件的編制與遞交、工程標(biāo)底價格的報(bào)審、開標(biāo)、評標(biāo)、中標(biāo)和簽訂合同。從博弈視角可將政府工程建設(shè)業(yè)主和承包商的招投標(biāo)過程視為一個三階段的動態(tài)博弈，其博弈流程如圖1。第一階段，建設(shè)業(yè)主發(fā)布某建設(shè)單位(項(xiàng))工程招標(biāo)公告，以及該項(xiàng)目建設(shè)地址、規(guī)模、詳細(xì)的需求標(biāo)準(zhǔn)(招標(biāo)圖紙等)、工程開工日期，并提供招標(biāo)工程量清單細(xì)目明細(xì)，以利于投標(biāo)人評估測算是否參與該工程競標(biāo)。第二階段，建筑承包商根據(jù)業(yè)主提供的招標(biāo)文件、相關(guān)建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)、工程量清單計(jì)價定額和設(shè)備材料市場價格等數(shù)據(jù)信息，并結(jié)合自身的施工成本、質(zhì)量以及施工工期，決定其是否參與投標(biāo)以及投標(biāo)競爭策略。第三階段，定標(biāo)結(jié)束，建設(shè)業(yè)主或委托招標(biāo)人組織評標(biāo)委員會按照招標(biāo)文件要求，對投標(biāo)人的投標(biāo)文件進(jìn)行篩選和評估，以選擇最佳的投標(biāo)文件作為決標(biāo)和授予施工合同(為簡化分析，此處采取與國際招標(biāo)通行的低價中標(biāo)，即報(bào)價最低的投標(biāo)人能夠給建設(shè)業(yè)主帶來最大的利潤)，招標(biāo)結(jié)束。因此可以將政府工程招投標(biāo)視為一個多階段的擴(kuò)展式博弈，如果將所有投標(biāo)人視為一個參與人，則在政府工程招標(biāo)的每個階段只有一個參與人采取行動，且其具有非簡單選擇集——選擇集里的元素個數(shù)大于1，而其他參與人則僅有一個單元素，即“不采取任何行動”的選擇集，所以可以將政府工程招投標(biāo)視為具有完美信息的多階段博弈。

圖1 政府工程招投標(biāo)博弈

(二)模型基本假設(shè)

Che建立了投標(biāo)報(bào)價和質(zhì)量的二維多屬性拍賣(招標(biāo)是拍賣的逆向形式)，并提出了第一記分拍賣、第二記分拍賣和第二首選要約拍賣三種形式，并證明了二維收入等價原理［6］。王宏等通過引入廣義質(zhì)量生產(chǎn)函數(shù)，把投標(biāo)人的質(zhì)量信息轉(zhuǎn)化為綜合性質(zhì)量指標(biāo)，求解了基于社會福利最大化的多維信息招標(biāo)最優(yōu)機(jī)制［1］。本文模型在Che的模型基礎(chǔ)上參考王宏的研究內(nèi)容增加了施工工期招投標(biāo)屬性，采用第一記分拍賣理論構(gòu)建了一個更符合市場經(jīng)濟(jì)的基于招標(biāo)人剩余最大化的政府工程多屬性招標(biāo)博弈模型。

假設(shè)A1:某政府工程的招投標(biāo)參與人為n+1個，1個招標(biāo)人(業(yè)主)和n個投標(biāo)人(建筑承包商)，將其記為 N=，其中0表示招標(biāo)人(即業(yè)主)。

假設(shè)A4:投標(biāo)人i的施工成本是投標(biāo)承諾工程質(zhì)量與工期的函數(shù)，即

假設(shè)A5:政府工程招投標(biāo)屬于完全信息博弈，投標(biāo)人之間信息對稱但不存在合作，參與人的最優(yōu)戰(zhàn)略是實(shí)現(xiàn)效用極大化。

(三)模型

參與人i的支付等于其報(bào)價減去工程成本，結(jié)合假設(shè)A4可得競標(biāo)人i的利潤函數(shù):

(2)式中，k1、k2是投標(biāo)人完成擬投標(biāo)工程單位質(zhì)量成本和工期成本系數(shù)，對投標(biāo)人i來說k1、k2為已知常數(shù)。

從概率論角度看，政府工程投標(biāo)參與人贏得中標(biāo)具有一定概率，記為，即n個投標(biāo)人參與競標(biāo)，投標(biāo)人i按組合投標(biāo)且其提供給招標(biāo)人的效用U*最大時的概率。投標(biāo)人i期望支付為:

二、動態(tài)博弈求解及分析

(一)均衡招投標(biāo)策略

政府工程招投標(biāo)活動中，所有參與人對自己選擇前的博弈過程完全了解，而在每一階段，僅有一個參與人具有1個以上的行動空間，其他參與人不采取任何行動，因此屬于一個三階段完全且完美信息動態(tài)博弈，采用逆向遞歸法(Backwards Induction)可以求解其子博弈納什精煉均衡(subgame perfect Nash equilibrium)［13］。

首先，考慮博弈的最后一個階段(即第3階段)，子博弈完美納什均衡策略應(yīng)是招標(biāo)人選擇使他效用最大的競標(biāo)人。不妨設(shè)第i個投標(biāo)人能夠使招標(biāo)人獲得的效用最大，即第i個投標(biāo)人的投標(biāo)策略滿足:

其次，在第二階段，每個投標(biāo)參與人根據(jù)建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)、工程量清單計(jì)價定額和設(shè)備材料市場價格等信息，并結(jié)合其施工成本、質(zhì)量以及工期等，選擇一個使其利潤極大化的投標(biāo)價格。能夠贏得中標(biāo)的是能給招標(biāo)人帶來最大效用的投標(biāo)人。因此滿足上述兩個條件的投標(biāo)策略才是子博弈納什均衡解。

由假設(shè)A2知，投標(biāo)人i的類型函數(shù)可由施工質(zhì)量qi和工期ti表述，故競標(biāo)人i的類型函數(shù)為而招標(biāo)人的效用與競標(biāo)人i的投標(biāo)報(bào)價、施工質(zhì)量和工期正相關(guān)，且投標(biāo)人的報(bào)價是其施工質(zhì)量和工期的函數(shù)，因此可將投標(biāo)人帶給招標(biāo)人的效用視為競標(biāo)人的投標(biāo)報(bào)價得分，因此可用si和Θi分別代替投標(biāo)人的投標(biāo)報(bào)價得分和類型。

將(5)、(6)式代入(3)式，可得第i個投標(biāo)人的最優(yōu)均衡策略為:

(二)子博弈精煉納什均衡

不妨考慮類型函數(shù)為Θi的競標(biāo)人i的策略，投標(biāo)價格為其施工質(zhì)量和工期的函數(shù)并將其記為B，即類型函數(shù)為Θj的投標(biāo)人j，其報(bào)價表示為顯然B是單調(diào)遞增函數(shù)，即類型越好的投標(biāo)人帶給招標(biāo)人的效用就越大，競爭能力越強(qiáng)，其投標(biāo)得分越高。如果投標(biāo)人i贏得中標(biāo)，那么其報(bào)價得分應(yīng)該滿足si＞sj，j≠i，且j=1，2，…，n。競標(biāo)人i投標(biāo)得分為si，且贏得中標(biāo)的概率為其他所有競標(biāo)人投標(biāo)得分滿足si的概率。因此，其中B－1()·是B()·的反函數(shù)。投標(biāo)報(bào)價得分為si的競標(biāo)人i的期望支付為:

對投標(biāo)人i來說，子博弈精煉納什均衡就是選擇最優(yōu)投標(biāo)得分s*i，故將(9)式兩端對si求導(dǎo)并令其等于零，即

然后將(9)式兩端對Θi求導(dǎo)可得

將si=和(10)式代入(11)式整理可得:

根據(jù)假設(shè)A5，投標(biāo)人信息相互對稱，所有參與競標(biāo)人的投標(biāo)函數(shù)B均滿足(9)式期望利潤最大化條件，因此投標(biāo)報(bào)價得分相同的競標(biāo)人具有相同類型，即存在子博弈精煉納什均衡條件下si=BΘ()i，將其代入(12)式可得:

將(13)式兩端對 Θi進(jìn)行積分，可得

最后求出投標(biāo)人的投標(biāo)報(bào)價策略:

由(16)式知，最優(yōu)投標(biāo)策略由兩部分構(gòu)成:一是投標(biāo)人完成擬投標(biāo)工程的施工成本，即二是投標(biāo)人類型優(yōu)勢帶來的超額利潤，即。且其最優(yōu)報(bào)價策略是其成本的函數(shù)。

命題1:在政府工程招投標(biāo)非合作博弈模型中，競標(biāo)人存在子博弈精煉納什均衡策略，即為(16)式。

再將(17)式兩端對Θ'i求偏導(dǎo)數(shù)可得:

類型為Θi的投標(biāo)人i假裝類型Θ'i投標(biāo)人參與競標(biāo)，招標(biāo)人獲得的期望剩余:

將(19)式兩端對Θ'i求導(dǎo)可得:

把(20)式代入(18)式整理可得:

由命題1知，對理性的競標(biāo)人來說都不應(yīng)假裝其他競標(biāo)類型，而應(yīng)按其真實(shí)的產(chǎn)品質(zhì)量和提前工期投標(biāo)，其投標(biāo)價格策略為(16)式，即競標(biāo)人主動向招標(biāo)人透露其真實(shí)的質(zhì)量和提前工期。

(三)投標(biāo)人競標(biāo)策略性質(zhì)

命題2:公開招標(biāo)人偏好的政府工程多屬性招投標(biāo)博弈模型中，競標(biāo)人收益與投標(biāo)質(zhì)量和工期的圖形關(guān)系分別呈U形，即投標(biāo)質(zhì)量和提前工期分別超過某點(diǎn)后，投標(biāo)人的收益分別是其投標(biāo)質(zhì)量和提前工期的增函數(shù);而在到達(dá)該點(diǎn)之前，投標(biāo)質(zhì)量和提前工期邊際收益遞減。

證明:不妨考慮競標(biāo)人i在某政府工程招投標(biāo)活動中，其投標(biāo)承諾質(zhì)量為、提前工期為ti。子博弈精煉納什均衡時，競標(biāo)人i按(16)式進(jìn)行投標(biāo)報(bào)價，因此將(16)式代入(3)式可求得投標(biāo)人i的期望支付:

將(22)式兩端對qi求偏導(dǎo)可得:

k1=1，當(dāng)qi＞

k1≠ 1，當(dāng) qi＞

因此，招標(biāo)人收益與投標(biāo)質(zhì)量的關(guān)系為:(1)k1=1，當(dāng)投標(biāo)質(zhì)量時，競標(biāo)人收益是其質(zhì)量的增函數(shù);當(dāng)投標(biāo)質(zhì)量時，競標(biāo)人收益是其質(zhì)量的減函數(shù)。(2)k1≠1，當(dāng)時，競標(biāo)人收益是其質(zhì)量的增函數(shù);當(dāng)時，競標(biāo)人收益是其質(zhì)量的減函數(shù)。

再將(22)式兩端對ti求偏導(dǎo)可得:

但對理性的競標(biāo)人i來說:當(dāng)k2≥b2時，競標(biāo)人i將放棄競標(biāo)，因其參與工期成本大于招標(biāo)人的質(zhì)量效用，因此k2＜b2。

k2=1，當(dāng)ti＞T－

k2≠1，當(dāng) ti＜ T－0;當(dāng)ti＞T－

因此，招標(biāo)人收益與投標(biāo)工期的關(guān)系為:(1)k2=1，當(dāng)投標(biāo)提前工期時，競標(biāo)人收益是其競標(biāo)提前工期的增函數(shù);當(dāng)時，競標(biāo)人收益是其投標(biāo)工期的減函數(shù)。(2)k2≠1，當(dāng)競標(biāo)提前工期時，競標(biāo)人收益是其競標(biāo)提前工期的減函數(shù);當(dāng)時，競標(biāo)人收益是其競標(biāo)提前工期的增函數(shù)。

綜上，在投標(biāo)質(zhì)量和提前工期分別超過某點(diǎn)后，投標(biāo)人的收益分別是其投標(biāo)質(zhì)量和提前工期的增函數(shù)，即投標(biāo)類型越好的競標(biāo)人更能體現(xiàn)其競爭優(yōu)勢，獲得更多的收益;而在到達(dá)該點(diǎn)之前，投標(biāo)質(zhì)量和提前工期邊際收益遞減。這一點(diǎn)與周學(xué)廣等人的研究結(jié)論略有不同［12］，但本文的研究結(jié)論更符合實(shí)際，因?yàn)樵谡こ陶型稑?biāo)實(shí)踐中，當(dāng)招標(biāo)人要求的質(zhì)量和提前工期超過國家規(guī)定的合格標(biāo)準(zhǔn)之后，他必須額外支付投標(biāo)人為完成高質(zhì)量工程和趕工工期(提前工期)的費(fèi)用。

推論1:公開招標(biāo)人偏好的政府工程采用多屬性招投標(biāo)博弈，招標(biāo)人的投標(biāo)承諾質(zhì)量和提前工期偏好系數(shù)越大，競標(biāo)人的收益越高。

證明:將(22)式兩端對b1求導(dǎo)可得，因此，投標(biāo)人的收益是招標(biāo)人質(zhì)量偏好系數(shù)的增函數(shù)(顯然qi＞1，因政府工程采用多屬性招投標(biāo)時，理性競標(biāo)人的投標(biāo)承諾質(zhì)量高于國家最低質(zhì)量等級)。

將(22)式對b2求導(dǎo)可得，即投標(biāo)人的收益是招標(biāo)人提前工期偏好系數(shù)的增函數(shù)(顯然ti＜T－1，因在招投標(biāo)實(shí)踐中，競標(biāo)人承諾的提前工期通常大于1天)。

綜上，招標(biāo)人的承諾質(zhì)量和提前工期偏好系數(shù)越大，競標(biāo)人的收益越高。此結(jié)論與命題2表面上看似相矛盾，但實(shí)際上當(dāng)招標(biāo)人的投標(biāo)承諾質(zhì)量和提前工期偏好系數(shù)足夠大時，競標(biāo)人的承諾投標(biāo)質(zhì)量和提前工期肯定超過命題2中的極小值點(diǎn)，推論1與命題2并不矛盾，二者實(shí)際上是一致的。

由推論1知，競標(biāo)人的收益與招標(biāo)人承諾質(zhì)量和提前工期偏好系數(shù)成正相關(guān)，因此理性競標(biāo)人的類型越好越愿意參加招標(biāo)人非價格偏好系數(shù)越高的政府工程招投標(biāo)，以充分發(fā)揮其類型競爭優(yōu)勢，獲得更高的期望收益。

(四)招標(biāo)人剩余的性質(zhì)

命題3:在公開招標(biāo)人偏好系數(shù)的政府工程招投標(biāo)活動中，若競標(biāo)人均按(18)式進(jìn)行投標(biāo)，招標(biāo)人的剩余效用與投標(biāo)質(zhì)量和工期的圖形關(guān)系呈U形，即當(dāng)投標(biāo)質(zhì)量和提前工期超過某點(diǎn)后，招標(biāo)人剩余是投標(biāo)質(zhì)量和提前工期的增函數(shù)，而在到達(dá)該點(diǎn)之前，招標(biāo)人剩余是投標(biāo)質(zhì)量和提前工期的減函數(shù)。

證明:將(16)式代入(1)式即可求出招標(biāo)人的消費(fèi)者剩余:

將(25)式對qi求偏導(dǎo)可得，，其中，均衡時投標(biāo)人i中標(biāo)的概率為零，不予考慮)，因此:當(dāng)時，0; 當(dāng) qi=時 ，;當(dāng)

再將(25)式對 ti求導(dǎo)可得，，因此當(dāng)當(dāng)ti＞T－

綜上，當(dāng)競標(biāo)人承諾投標(biāo)質(zhì)量和提前工期超過某點(diǎn)后，招標(biāo)人剩余是投標(biāo)質(zhì)量和提前工期的增函數(shù)，而在到達(dá)該點(diǎn)之前，招標(biāo)人剩余是投標(biāo)質(zhì)量和提前工期的減函數(shù)。

由命題3知，對政府工程招標(biāo)人來說，制定合理的招標(biāo)規(guī)則(包括選擇合適的記分函數(shù))，以使競標(biāo)人的投標(biāo)質(zhì)量、提前工期和價格策略分別按和(16)式予以確定，將有利于提高其招標(biāo)剩余，因此合理制定多屬性招標(biāo)規(guī)則具有十分重要的意義，因其事關(guān)招標(biāo)人剩余大小。

推論2:競標(biāo)人施工質(zhì)量和工期成本系數(shù)值越大，招標(biāo)人剩余越小。

證明:將(25)式對k1求導(dǎo)得，再將(25)式對k2求導(dǎo)得，因此，招標(biāo)人的消費(fèi)者剩余是競標(biāo)人施工質(zhì)量和工期成本系數(shù)的減函數(shù)。

由推論2知，招標(biāo)人的剩余與競標(biāo)人投標(biāo)質(zhì)量和工期成本系數(shù)成反比，因此招標(biāo)人選擇合理的記分函數(shù)，可以降低施工質(zhì)量和工期成本系數(shù)較高的競標(biāo)人得分，有助于提高招標(biāo)剩余。

推論3:政府工程采用多屬性招投標(biāo)時，招標(biāo)人的投標(biāo)承諾質(zhì)量和提前工期偏好系數(shù)越大，其招標(biāo)剩余也越大。

證明:將(25)式兩端對b1求偏導(dǎo)可得，;再將(25)式兩端對 b2求偏導(dǎo)可得，因此，招標(biāo)人剩余是招標(biāo)人投標(biāo)承諾質(zhì)量和工期偏好系數(shù)的增函數(shù)，即招標(biāo)人的工程質(zhì)量和工期偏好系數(shù)越大，其獲得的消費(fèi)者剩余也越大。

由推論3知，競標(biāo)人認(rèn)為招標(biāo)人的質(zhì)量和提前工期偏好系數(shù)越大，就能使招標(biāo)人獲得更多的招標(biāo)剩余，因此理性的招標(biāo)人更愿意通過誘導(dǎo)競標(biāo)人相信其質(zhì)量和提前工期偏好系數(shù)較大而獲得更多的招標(biāo)剩余。

(五)參與人的最優(yōu)策略

命題4:參與政府工程多屬性招投標(biāo)博弈的參與人的最優(yōu)策略分別為:競標(biāo)人根據(jù)其真實(shí)施工質(zhì)量和工期水平進(jìn)行投標(biāo)，其投標(biāo)報(bào)價為(16)式;招標(biāo)人則是根據(jù)競標(biāo)人投標(biāo)的施工質(zhì)量和工期的最優(yōu)組合來確定獲勝者。

證明:由命題1知，競標(biāo)人的最優(yōu)投標(biāo)博弈策略是按其真實(shí)的施工質(zhì)量和工期進(jìn)行投標(biāo)，其投標(biāo)報(bào)價為(16)式。又由命題3知具有高施工質(zhì)量和較大提前工期周期的的競標(biāo)人能給招標(biāo)人帶來更多的招標(biāo)剩余，因此招標(biāo)人應(yīng)根據(jù)投標(biāo)質(zhì)量和工期的最優(yōu)組合來確定獲勝者。

因此，均衡時競標(biāo)人的最優(yōu)策略是按(16)進(jìn)行投標(biāo)報(bào)價，并按其施工質(zhì)量和工期進(jìn)行投標(biāo)，這種招投標(biāo)方式有利于招標(biāo)人根據(jù)競標(biāo)人投標(biāo)性價比擇優(yōu)確定贏標(biāo)人，提高政府工程招投標(biāo)效率。其原因是招標(biāo)人可以直接根據(jù)投標(biāo)質(zhì)量、工期和價格的最優(yōu)組合確定政府工程承包商，且質(zhì)量好、工期短的競標(biāo)人不僅能夠增加招標(biāo)人的消費(fèi)者剩余，而且還能增加其自身收益，故對一些技術(shù)復(fù)雜的工程采用多屬性招投標(biāo)能增大招、投標(biāo)雙方效用，從而實(shí)現(xiàn)雙贏。

三、算例驗(yàn)證

假設(shè)某政府工程采取多屬性招標(biāo)，建設(shè)業(yè)主通過招標(biāo)文件給出其質(zhì)量、工期的權(quán)重系數(shù)α=0.6，β=0.5，最低投標(biāo)質(zhì)量Q=0.3，最長工期T=1，并告知其質(zhì)量和工期的偏好系數(shù)分別為b1=2.2，b2=1.9;不妨考慮參與競標(biāo)的投標(biāo)人數(shù)n=5，競標(biāo)人i完成該工程的質(zhì)量和工期的成本系數(shù)k1=1.5，k2=1.2，且競標(biāo)人的質(zhì)量和工期ti獨(dú)立且在區(qū)間0，()1上服從均勻分布。

(一)投標(biāo)價格與工期、質(zhì)量關(guān)系

由(16)式可以得到競標(biāo)人i的投標(biāo)價格:

用Matlab可繪出(26)式的圖形，即競標(biāo)人投標(biāo)報(bào)價與質(zhì)量、工期關(guān)系圖，見圖2。

由圖2知，當(dāng)競標(biāo)質(zhì)量或提前工期即將接近極限點(diǎn)(即質(zhì)量即將達(dá)到最高質(zhì)量等級、提前工期接近最短工期時)，競標(biāo)人的投標(biāo)價格急劇上升，因競標(biāo)為達(dá)到質(zhì)量和工期的極限點(diǎn)，其成本急劇上升，需要提高投標(biāo)報(bào)價彌補(bǔ)工程成本，與現(xiàn)實(shí)實(shí)際相符。

圖2 投標(biāo)報(bào)價與質(zhì)量、工期關(guān)系

(二)招標(biāo)人剩余與投標(biāo)質(zhì)量與工期的關(guān)系

根據(jù)(25)式和算例中數(shù)據(jù)，用Matlab繪出招標(biāo)人剩余與質(zhì)量、工期關(guān)系(圖3)。

表面上看圖3的形狀與命題3的結(jié)論不一致，但將算例中給定的數(shù)據(jù)帶入(25)式，即招標(biāo)人剩余隨競標(biāo)質(zhì)量邊際遞減;同理將算例中給定的數(shù)據(jù)帶入(25)式，即招標(biāo)人剩余隨競標(biāo)提前工期邊際遞減。即圖3僅反映了招標(biāo)人剩余與投標(biāo)質(zhì)量、工期遞減部分的關(guān)系，因此二者之間并不存在矛盾。

圖3 招標(biāo)人剩余與投標(biāo)質(zhì)量、工期關(guān)系

(三)根據(jù)(22)式和算例提供的數(shù)據(jù)，運(yùn)用Matlab可得到競標(biāo)人收益與質(zhì)量、工期的關(guān)系(圖4)

圖4 競標(biāo)人收益與投標(biāo)質(zhì)量、工期關(guān)系

由圖4知，競標(biāo)人縮短工期增加的收益比提高質(zhì)量產(chǎn)生的收益顯著得多。

(四)招標(biāo)人剩余與競標(biāo)人質(zhì)量、工期成本的關(guān)系

根據(jù)(25)式和算例數(shù)據(jù)，運(yùn)用Matlab可得到招標(biāo)人剩余與競標(biāo)人質(zhì)量、工期成本的關(guān)系(圖5)，其反映的結(jié)果與推論2的結(jié)論完全一致。

圖5 招標(biāo)人剩余與競標(biāo)人質(zhì)量、工期成本關(guān)系

(五)招標(biāo)人剩余與競標(biāo)人質(zhì)量、工期偏好系數(shù)的關(guān)系

根據(jù)(25)式和算例數(shù)據(jù)，運(yùn)用Matlab可繪出招標(biāo)人剩余與質(zhì)量、工期成本的關(guān)系(圖6)，其反映的結(jié)果與推論3的結(jié)論完全一致。

圖6 競標(biāo)人質(zhì)量、工期成本關(guān)系

四、結(jié)論

本文將政府工程多屬性招投標(biāo)視為一個招標(biāo)要約、投標(biāo)承諾和定標(biāo)的三階段動態(tài)博弈問題，并構(gòu)建了非合作動態(tài)博弈模型。該模型考慮了投標(biāo)價格、工期和質(zhì)量三個屬性，將競標(biāo)人的類型函數(shù)通過質(zhì)量和工期予以表示，并將投標(biāo)價格視為質(zhì)量、工期的函數(shù)，利用逆推法求解了該模型子博弈納什均衡。在子博弈納什均衡時，競標(biāo)人會根據(jù)自身真實(shí)的施工質(zhì)量和工期進(jìn)行投標(biāo)，并進(jìn)一步得出招標(biāo)人剩余效用和競標(biāo)人收益分別與投標(biāo)質(zhì)量、工期的圖形呈U形，即投標(biāo)質(zhì)量和提前工期分別超過某點(diǎn)后，投標(biāo)人的收益分別是其投標(biāo)質(zhì)量和提前工期的增函數(shù);而在到達(dá)該點(diǎn)之前，投標(biāo)質(zhì)量和提前工期邊際收益遞減;招標(biāo)人的投標(biāo)承諾質(zhì)量和提前工期偏好系數(shù)越大，競標(biāo)人的收益越高，因此競標(biāo)人的投標(biāo)也越積極，招標(biāo)人的剩余也越大;競標(biāo)人施工質(zhì)量和工期成本系數(shù)值越大，招標(biāo)人剩余越小。

論文構(gòu)建的政府工程多屬性招投標(biāo)博弈模型是建立在公開招標(biāo)人偏好系數(shù)的基礎(chǔ)上，而現(xiàn)實(shí)政府工程招投標(biāo)信息通常難以滿足此條件，因此針對此問題可進(jìn)一步深入研究。

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