王國勛 舒啟林 王 軍 王宛山

1.沈陽理工大學(xué)，沈陽，110159 2.東北大學(xué)，沈陽，110819

0 引言

復(fù)雜曲面已被廣泛地應(yīng)用于汽車、航空、船舶和模具等領(lǐng)域。五軸數(shù)控加工給曲面加工帶來了更多的靈活性、高效率和良好的表面加工質(zhì)量［1］。但五軸加工中增加的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度使刀具運(yùn)動(dòng)更加復(fù)雜，增大了刀具與工件之間碰撞干涉發(fā)生的可能性，使得五坐標(biāo)加工在實(shí)際應(yīng)用中難以完全發(fā)揮其優(yōu)勢［2］。因此，干涉處理能力是衡量一個(gè)數(shù)控加工編程系統(tǒng)技術(shù)水平高低的重要標(biāo)志［3］。

刀具干涉分為局部干涉和全局干涉，局部干涉是指由于刀具尺寸或位置不合適而導(dǎo)致刀具切入被加工表面從而切除不該被切除的部分；全局干涉則是指刀具或夾具同工件或固定件之間的碰撞［4］。研究干涉的最常用方法是距離法，即通過計(jì)算加工表面與刀具表面的距離來判斷是否有干涉發(fā)生［5－7］。嚴(yán)思杰 等［8］利用刀具刃口回轉(zhuǎn)面在兩刀位點(diǎn)間運(yùn)動(dòng)形成的包絡(luò)面方程與CAD模型面求交來實(shí)現(xiàn)五軸NC加工中干涉的判斷與檢驗(yàn)。楊長祺等［9］通過研究NURBS曲面離散來檢測刀具干涉點(diǎn)。楊勇生［10］利用特征投影原理對刀具干涉進(jìn)行處理，將待檢測的曲面點(diǎn)投影到刀具體上，按其投影點(diǎn)與刀具體之間的關(guān)系確定是否干涉。蔡永林等［1］提出了一種求解曲面到刀具極值距離的方法，該方法將曲面上的點(diǎn)投影到刀軸上，求出曲面到刀軸的最小距離，從而判斷刀具的全局干涉問題。Can等［7］提出了基于參數(shù)區(qū)域的檢測區(qū)域和檢測點(diǎn)的確定方法，并通過計(jì)算切觸點(diǎn)與檢測點(diǎn)連線的最大傾角來判斷是否有干涉發(fā)生。以上算法的共同不足是需要進(jìn)行求交運(yùn)算或距離計(jì)算，計(jì)算量大，效率較低。

本文利用空間三維坐標(biāo)系變換原理，將加工曲面坐標(biāo)系與刀具局部坐標(biāo)系進(jìn)行變換，通過判斷曲面上檢測點(diǎn)在刀具局部坐標(biāo)系中刀具投影區(qū)域內(nèi)的位置來判斷是否發(fā)生干涉。與前述算法相比，本文算法不需要進(jìn)行復(fù)雜的曲面離散計(jì)算或求交、求距離運(yùn)算，大大減少了運(yùn)算量，提高了數(shù)控加工的效率，并能同時(shí)進(jìn)行局部干涉和全局干涉檢測。

1 曲面的劃分

根據(jù)曲面的第一、第二微分基本形式，可求得參數(shù)曲面上任意一點(diǎn)的最大主曲率kmax和最小主曲率kmin，主曲率的乘積稱為全曲率，用K表示，主曲率的和的平均值稱為平均曲率，用H表示，計(jì)算公式見文獻(xiàn)［11］。根據(jù)曲面在任意點(diǎn)處的全曲率和平均曲率可以判斷曲面在某點(diǎn)鄰近區(qū)域的局部形狀，如表1所示［12］。

表1 曲面在某點(diǎn)鄰近的局部形狀

完全由凸橢圓點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)橥箙^(qū)域，其他為非凸區(qū)域。完全由凸區(qū)域構(gòu)成的曲面稱為凸曲面。在進(jìn)行曲面加工時(shí)，依據(jù)曲面上的幾何形狀而采用不同的軌跡規(guī)劃方法和刀具姿態(tài)，在不發(fā)生局部過切干涉的情況下盡量增大切削區(qū)域?qū)挾?，可以減小刀具軌跡規(guī)劃的計(jì)算工作量，提高切削效率。對于凸曲面而言，曲面與任意切平面只有一個(gè)切點(diǎn)，使用平底刀加工時(shí)，如果以切點(diǎn)為切削點(diǎn)，并且使刀具位于切平面之上，此時(shí)平底刀不會與曲面發(fā)生干涉。因此，這種情況下不必進(jìn)行干涉檢測，軌跡規(guī)劃時(shí)只對非凸曲面進(jìn)行干涉檢查，大大提高了刀具軌跡規(guī)劃的效率。

2 五軸加工刀具干涉檢查

自由曲面五軸加工常用刀具有球頭刀、平底刀、環(huán)形刀，如圖1所示。由于球頭刀具有法矢自適應(yīng)性，刀軸姿態(tài)的改變不影響刀具同被加工曲面之間的幾何嚙合性質(zhì)，其編程以及避免局部干涉較為簡單，因此在傳統(tǒng)的多坐標(biāo)加工中有著廣泛的應(yīng)用。但是球頭刀切削速度不均勻，加工效率低，精度不高。平底刀由于可以和加工曲面充分接觸，加工質(zhì)量和切削效率較高。環(huán)形刀加工效率介于球頭刀和平底刀之間。因此本文選取平底刀作為研究對象。

圖1 五軸加工刀具

2.1 坐標(biāo)變換原理

設(shè)刀具坐標(biāo)系T的原點(diǎn)為平底刀底部中心，其在工件坐標(biāo)系W 中的坐標(biāo)為（x0，y0，z0）（可由刀位點(diǎn)數(shù)據(jù)求得），單位坐標(biāo)矢量為u′x＝ （u′x1，u′x2，u′x3），u′y＝ （u′y1，u′y2，u′y3），u′z＝ （u′z1，u′z2，u′z3），如圖2a所示。假設(shè)曲面上點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y，z），其轉(zhuǎn)換到刀具坐標(biāo)系時(shí)的坐標(biāo)為 P′（x′，y′，z′），P到P′的轉(zhuǎn)換過程分為兩步：首先將坐標(biāo)系W平移，使原點(diǎn)與刀具坐標(biāo)系T 的原點(diǎn)（x0，y0，z0）重合，平移矩陣為

平移后的坐標(biāo)系如圖2b所示。然后利用單位坐標(biāo)向量構(gòu)造坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣R，將單位向量u′y、u′x、u′z分別變換到Xw、Yw、Zw軸。其旋轉(zhuǎn)矩陣為

圖2 坐標(biāo)變換原理

故從工件坐標(biāo)系W 到刀具坐標(biāo)系T的坐標(biāo)變換矩陣為

因此曲面上的P點(diǎn)到P′點(diǎn)的變換公式為

2.2 刀具干涉類型分析

刀具干涉有三種表現(xiàn)形式，分別為曲率干涉、刀底干涉和全局干涉。曲率干涉是指刀具接觸點(diǎn)處曲面曲率半徑小于刀具有效切削半徑時(shí)所產(chǎn)生的干涉，如圖3所示。刀底干涉是指刀具切削刃切入曲面上切削點(diǎn)以外的區(qū)域，如圖4所示。全局干涉是指刀桿與加工曲面發(fā)生碰撞干涉，如圖5所示。

圖3 曲率干涉

2.3 刀具干涉檢查算法

圖5 全局干涉

局部坐標(biāo)系為刀具坐標(biāo)系T，刀具軸線方向?yàn)閆T軸，刀具走刀方向?yàn)閅T軸，根據(jù)右手定則確定XT軸，坐標(biāo)系原點(diǎn)位于平底刀底部中心點(diǎn)OT，如圖6a所示。依據(jù)坐標(biāo)系變換原理，將工件坐標(biāo)系W 中的待檢測點(diǎn)變換到刀具坐標(biāo)系中，判斷是否發(fā)生干涉。如圖6b所示的陰影區(qū)為刀具在XTYT平面內(nèi)的投影區(qū)域，為干涉可能發(fā)生的區(qū)域，判斷干涉時(shí)只判斷曲面在該區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與刀具的關(guān)系即可。

圖6 干涉檢查原理

不同干涉類型的表達(dá)式為

當(dāng)滿足式（1）、式（2）時(shí)，有干涉發(fā)生（圖3、圖4、圖5）；當(dāng)滿足式（1）時(shí)，刀刃和刀桿中部與曲面發(fā)生干涉（圖3、圖4、圖5b）；當(dāng)滿足式（2）時(shí)，刀具尾部大端與加工曲面發(fā)生干涉（圖5a）。

由式（1）、式（2）還可知，干涉檢查時(shí)，只需計(jì)算刀具投影區(qū)域內(nèi)的曲面Z坐標(biāo)的值即可，不需進(jìn)行求交和求距離等復(fù)雜運(yùn)算，大大提高了刀具軌跡規(guī)劃效率。

3 避免干涉的方法

對于五軸平底刀加工而言，避免刀具干涉的一般方法是通過抬刀和旋轉(zhuǎn)刀軸來實(shí)現(xiàn)，刀軸旋轉(zhuǎn)是指在擺刀平面內(nèi)以刀觸點(diǎn)為支點(diǎn)，將刀具旋轉(zhuǎn)一定的角度，使刀具切入零件面的部分不再啃切曲面。避免刀具干涉的原則是在避免干涉的過程中不再產(chǎn)生新的干涉，因此避免干涉的過程是一個(gè)迭代的過程，避免干涉檢查完成后需再進(jìn)行干涉檢查，確保不會產(chǎn)生新的干涉。當(dāng)?shù)遁S旋轉(zhuǎn)后刀具有可能與曲面的其他部分發(fā)生干涉，產(chǎn)生新的局部干涉或全局干涉，因此需進(jìn)一步調(diào)整刀具的側(cè)偏角，以使刀具在垂直于擺刀平面的平面內(nèi)擺動(dòng)。如果迭代多次后仍然找不到合適的刀具姿態(tài)，則表明由于刀具尺寸不合適通過旋轉(zhuǎn)刀軸不能避免干涉的發(fā)生，此時(shí)需將刀具進(jìn)行抬刀處理，即將刀具沿刀軸方向抬起，同時(shí)記錄此切觸點(diǎn)，在將來的補(bǔ)加工中用小直徑刀具加工未加工的曲面部分。抬刀量和刀軸旋轉(zhuǎn)角度根據(jù)刀具切入零件面的最大深度進(jìn)行計(jì)算。

3.1 旋轉(zhuǎn)刀軸方式

3.1.1避免曲率干涉的方法

如圖3所示，曲率干涉發(fā)生時(shí)，刀具有效切削半徑大于刀具切削點(diǎn)處曲面曲率半徑，即Re＞ρ，要避免干涉必須使Re＜ρ。由幾何關(guān)系可知：

式中，ρ為曲面在切削點(diǎn)沿垂直于刀具進(jìn)給方向的法曲率半徑；Re為刀具掃描面在切削點(diǎn)沿垂直于進(jìn)給方向的法曲率半徑；α為刀具在切削方向上的傾角；r為刀具半徑。

解式（3）即可得刀軸所需旋轉(zhuǎn)角度α。

3.1.2避免刀底干涉的方法

假設(shè)刀具底部干涉最大的點(diǎn)為Pm，在局部坐標(biāo)系中Z軸坐標(biāo)為Zm，如圖4所示，Pm到刀具接觸點(diǎn)Pc的距離為d，若要避免干涉，則刀具需沿進(jìn)給方向旋轉(zhuǎn)的角度為

式中，d為最大干涉點(diǎn)至切削點(diǎn)的距離。

3.1.3避免全局干涉的方法

避免全局干涉一般采用旋轉(zhuǎn)刀軸的方式，因全局干涉可發(fā)生在任意方向上，因此在旋轉(zhuǎn)刀軸之前要判斷旋轉(zhuǎn)的方向。首先將曲面的干涉部分投影到局部坐標(biāo)系的OXTYT平面上，找到離原點(diǎn)最近的點(diǎn)Pm，則向量χ（點(diǎn)Pm指向原點(diǎn)O）即為刀具旋轉(zhuǎn)的方向，如圖7所示。過切削點(diǎn)Pc做一直線l垂直于χ，則直線l即為刀具旋轉(zhuǎn)軸。旋轉(zhuǎn)角度計(jì)算式為

式中，L為最大干涉點(diǎn)至刀具邊緣的距離。

圖7 全局干涉避免

3.2 抬刀方式

采用抬刀方式避免干涉時(shí)，應(yīng)計(jì)算沿刀軸方向的最大抬刀量。假設(shè)干涉發(fā)生時(shí)有n個(gè)干涉點(diǎn)，通過計(jì)算每個(gè)干涉點(diǎn)的對應(yīng)抬刀量，其中的最大抬刀量即為避免干涉的抬刀量。假設(shè)干涉情況如圖8所示，曲面方程已變換到刀具坐標(biāo)系中，干涉點(diǎn)干涉量的計(jì)算即為求曲面上每個(gè)干涉點(diǎn)到刀具底面的距離，其中的最大距離即為所求的最大干涉量。

圖8 抬刀量計(jì)算

4 算法實(shí)例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證提出算法的正確性，對本文算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。用本文算法對曲面加工刀具軌跡進(jìn)行干涉檢查并調(diào)整刀具姿態(tài)避免干涉。零件三維模型及規(guī)劃的刀具軌跡如圖9所示。未進(jìn)行干涉檢查時(shí)刀具與零件已加工表面發(fā)生干涉，如圖10所示。用本文算法進(jìn)行干涉檢查，并調(diào)整刀具姿態(tài)后的加工情況如圖11所示。可以看出，通過干涉檢查和刀具姿態(tài)調(diào)整，避免了刀具干涉現(xiàn)象的發(fā)生。

圖9 零件三維模型及刀具軌跡

圖10 未進(jìn)行干涉檢查時(shí)的加工情況

5 結(jié)論

本文利用空間三維坐標(biāo)系變換原理，將復(fù)雜曲面變換到刀具局部坐標(biāo)系中，進(jìn)行五軸數(shù)控加工復(fù)雜曲面干涉檢查，避免了復(fù)雜的求交和求距離計(jì)算，提高了刀具軌跡規(guī)劃的效率。為了避免干涉的發(fā)生，針對不同的干涉形式，給出了刀具姿態(tài)調(diào)整的旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角。可以看出，本文的干涉檢測和避免干涉的調(diào)整方法簡單、有效，有利于提高數(shù)控加工的效率。

圖11 本文算法調(diào)整后的加工情況

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