王麗梅 劉 瑞

沈陽工業(yè)大學(xué)，沈陽，110870

0 引言

現(xiàn)代數(shù)控機床正在向高速高精密方向發(fā)展，數(shù)控插補技術(shù)是數(shù)控系統(tǒng)實現(xiàn)軌跡運動控制的基礎(chǔ)，其算法是CNC系統(tǒng)軟件實現(xiàn)運動控制的核心內(nèi)容，插補算法的優(yōu)劣直接影響到CNC系統(tǒng)的性能，因此實現(xiàn)一種高精度和高速度的插補方法是插補的關(guān)鍵所在。與傳統(tǒng)的直線圓弧插補方法相比，NURBS曲線插補提供了一種通用的數(shù)學(xué)表示形式，它既可以表示標(biāo)準(zhǔn)的解析曲線，也可以表示自由曲線。NURBS插補方法以其快速性及穩(wěn)定的計算能力而被普遍采用［1－2］。先進制造業(yè)的發(fā)展對數(shù)控加工的精度和速度要求越來越高。提高加工精度的途徑很多，從數(shù)控系統(tǒng)的控制角度看，要實現(xiàn)高速加工，必須采用加減速控制［3］。文獻［4］根據(jù)柔性加減速算法函數(shù)的構(gòu)造原理，提出了三角函數(shù)加減速算法和多項式加減速算法，但是由于其情況多樣，所以導(dǎo)致加工不夠平滑。文獻［5］研究了易實現(xiàn)控制的S曲線加減速算法，但其需要預(yù)測各段的邊界點，然后再逐一進行比較，需要對加減速過程進行修正。文獻［6］研究了基于NURBS曲線的插補前拋物線－直線－拋物線的S形加減速自適應(yīng)控制方法，將高速加工中容易超限的弓高誤差、機床所承受的加速度等參數(shù)均考慮在內(nèi)，合理地解決了插補前加減速控制中的減速點預(yù)測困難的問題，但仍避免不了減速點的預(yù)測問題。

另外，CNC中的速度前瞻處理可以在不影響插補軌跡精度的前提下極大地提高插補效率［7－8］。因此，很多學(xué)者致力于前瞻算法的研究，文獻［9］設(shè)計了一種基于動態(tài)前瞻的預(yù)測S曲線減速點的方法，解決了傳統(tǒng)計算減速點存在的誤差問題。文獻［10］針對參數(shù)曲線插補的特點，使用S形加減速和三角函數(shù)加減速相結(jié)合的柔性加減速方法對參數(shù)曲線的插補路徑進行前瞻控制。文獻［11］提出了基于前瞻控制技術(shù)的誤差補償新方法。文獻［12］針對基于小線段高速、高精度數(shù)控加工路徑，提出并實現(xiàn)了一種具有速度前瞻功能的非對稱S曲線加減速規(guī)劃策略。以上提出的前瞻方法歸結(jié)起來，無非是兩種方法：一為傳統(tǒng)的規(guī)劃方法，它可以縮短加工時間，但是在轉(zhuǎn)角或曲率較大的地方會造成機臺的急速轉(zhuǎn)彎，在實現(xiàn)上不可行；二為直接數(shù)字卷積法，它可以降低轉(zhuǎn)角誤差現(xiàn)象，但此方法的加工時間過于冗長，會造成加工效率的降低。

由此，本文避免了傳統(tǒng)前瞻方法和直接數(shù)字卷積法的缺點，充分結(jié)合了兩者之優(yōu)點，并配以前加減速規(guī)劃的優(yōu)勢而采用混合式數(shù)字卷積法來解決這些問題，凸輪NURBS曲線的仿真實驗驗證了該策略的有效性。

1 NURBS曲線插補

1.1 NURBS曲線的參數(shù)表示

二維參數(shù)曲線的總體形式可以表示為

1.2 NC碼與插補值命令之間的轉(zhuǎn)換

下面是一段NURBS G code格式的代碼：

其中，P為NURBS曲線的級數(shù)，X、Y、Z為控制點坐標(biāo)，R為權(quán)重，K為節(jié)點向量，F(xiàn)為進給率。該代碼以G05P10000為開始高精度輪廓控制模式，G05P0則為結(jié)束命令，而 G06.2為開始NURBS插值模式指令。由于直接由直譯器讀入NURBS曲線的NC碼提供了插補的完整資料—控制點、權(quán)重及節(jié)點向量，因此可以直接作為進入插補器的參數(shù)，不需要轉(zhuǎn)換。

2 多節(jié)前瞻前加減速規(guī)劃

2.1 加減速規(guī)劃

加減速規(guī)劃分為前加減速與后加減速控制，前者對于插補器來說，因為在插補之前就已經(jīng)將速度命令進行規(guī)劃的動作，因此在插補器執(zhí)行插補時，不會有路徑誤差產(chǎn)生，所以前加減速的誤差只會在命令進入到伺服回路后產(chǎn)生，即伺服落后的問題。后者在讀入直譯器的進給率后，直接進入插補器進行插補，之后再將插補器所產(chǎn)生的運動命令進行速度曲線的規(guī)劃動作，會造成插補命令延遲，因此造成路徑誤差的產(chǎn)生，在進行圓軌跡跟蹤時此現(xiàn)象最為明顯，會產(chǎn)生圓半徑內(nèi)縮的現(xiàn)象。因此本文采用前加減速規(guī)劃。

式（3）只需用到加法與除法的反復(fù)運算，因此在硬件實現(xiàn)上可大大減少計算機的實時計算量。

圖1 數(shù)字卷積

圖2為一固定進給率及一次和二次數(shù)字卷積的圖形，其輸入速度命令可由直譯器讀入其起點與終點位置，算出總長后再與所設(shè)定的進給率相除來得到總時間nts。為了要使速度曲線能夠有更平滑的效果（即產(chǎn)生S速度曲線），可進行兩次數(shù)字卷積動作，但要如何才能達到最大速度且減少整個行程的時間，取決于第二次數(shù)字卷積的H2函數(shù)的選擇，為了保有其第二次數(shù)字卷積后的圖形能達到最大速度，因此H2函數(shù)的時間n2ts必須比n1ts的時間短，若比n2ts時間長，則會出現(xiàn)速度明顯達不到直譯器直譯出來的進給率，導(dǎo)致加工效率降低，因此命令數(shù)字卷積函數(shù)最后選擇n1＞n2的個數(shù)才能規(guī)劃出有效的命令。

圖2 二次數(shù)字卷積

2.2 多節(jié)前瞻前加減速

多節(jié)前瞻前加減速分為兩種：一為傳統(tǒng)的規(guī)劃方法，在命令送至插補器之前，以預(yù)讀多個單節(jié)的方式求出總長，重新規(guī)劃命令，但維持總長不變，依最大速度進行規(guī)劃，由于有事先預(yù)讀的動作，所以可以縮短加工時間，再配合前加減速的架構(gòu)，也不會使其有輪廓誤差產(chǎn)生，再將經(jīng)過規(guī)劃的各段速度曲線送至插補器進行插值動作，以完成前瞻的加減速；二為直接數(shù)字卷積法，當(dāng)讀入多個節(jié)點時，將各個單節(jié)做一次數(shù)字卷積，再將命令重新組合后，各個單節(jié)將會有不連續(xù)的速度曲線產(chǎn)生，因此只需將此速度曲線再進行一次數(shù)字卷積動作即可得到一平滑的速度曲線。

本文提出的混合式數(shù)字卷積法不僅改善了傳統(tǒng)前瞻方法在轉(zhuǎn)角或曲率較大的地方仍然以最大速度進行加工而造成刀具或機臺在急速情況下的轉(zhuǎn)彎，而需在各單節(jié)與轉(zhuǎn)角處的進給率進行適當(dāng)調(diào)節(jié)的狀況，而且解決了直接數(shù)字卷積方法中加工時間過于冗長而導(dǎo)致加工效率降低的問題。如圖3所示，此方法將預(yù)讀多節(jié)的命令重新以最大速度進行規(guī)劃，再分別對各段進行一次數(shù)字卷積動作，重新組合命令，如此每段均以最大的進給率進行加工，然后通過對此規(guī)劃好的命令對整段再進行一次數(shù)字卷積動作，即可得到圖3所示最終速度曲線。由圖3可知，不但可借由此法來縮短加工時間，也可使機臺在每一個單節(jié)不需停止即可進行下一單節(jié)的加工，這是此方法的優(yōu)點所在。

圖3 混合式數(shù)字卷積前瞻命令重新規(guī)劃

3 仿真結(jié)果及分析

本文將通過一條四分段的NURBS曲線插補規(guī)劃來進行仿真驗證。

首先進行NURBS前加減速與后加減速的速度規(guī)劃與輪廓曲線比較。圖4與圖5分別為凸輪曲線后加減速及前加減速的速度曲線圖?？梢钥闯?，在每段直線部分兩者的速度曲線均相同，然而每當(dāng)有圓弧曲線出現(xiàn)時，后加減速的速度便會降低，這也是圓內(nèi)縮現(xiàn)象發(fā)生的主要原因所在。由這兩圖比較可知，在相同的進給率下，后加減速存在著圓內(nèi)縮與曲線內(nèi)縮的問題，因此采用的前加減速在CNC運動控制器上較為可行。

圖4 后加減速插補速度規(guī)劃圖

圖5 前加減速插補的速度規(guī)劃圖

然后對前瞻規(guī)劃與未前瞻規(guī)劃進行比較。上述前后加減速計算均是針對每一個單節(jié)所進行的速度命令規(guī)劃，再對提出的前瞻方法進行驗證來證明此法的優(yōu)勢所在。本文待加工的凸輪曲線由四段NURBS曲線組成，因此必須先得知總長后再將命令重新進行規(guī)劃。采用辛普森法來求得路徑總長，傳統(tǒng)規(guī)劃方法的結(jié)果如圖6、圖7所示，該曲線為原先進給率命令以及經(jīng)過前瞻預(yù)覽處理后的速度曲線，可以看出，經(jīng)過前瞻后，縮短了速度命令時間，但可看出在起點及終點附近的速度較慢。

圖6 后加減速的NURBS凸輪曲線

圖7 前加減速的NURBS凸輪曲線

最后對多節(jié)NURBS曲線的三種前瞻方法的速度規(guī)劃與輪廓曲線結(jié)果進行比較。

圖8為將NURBS凸輪曲線進行傳統(tǒng)的前瞻規(guī)劃后與指令曲線的比較圖，由此可知，只要事先知道總長即可重新規(guī)劃速度命令。圖9為其凸輪曲線圖，可看出在起點及終點處點比較密集，說明有加減速的效果出現(xiàn)。

圖8 傳統(tǒng)前瞻前加減速NURBS凸輪速度曲線

圖9 傳統(tǒng)前瞻前加減速NURBS凸輪輪廓

圖10、圖11分別為NURBS圖形的速度分配及路徑圖，經(jīng)過前瞻后的速度曲線圖，其時間比原來落后很多，但是在其轉(zhuǎn)角或急彎處有降低速度的效果產(chǎn)生，所以降低了轉(zhuǎn)角誤差，在各單節(jié)連接時也有速度減慢的效果。且可從圖10看出，直接數(shù)字卷積法雖然可以降低連接處的進給率，但是卻大幅度地增加整個加工時間。在路徑圖中，在每個轉(zhuǎn)折點處，可發(fā)現(xiàn)點比較密集，這表明了速度的降低。

圖10 直接數(shù)字卷積法的前瞻前加減速NURBS凸輪速度曲線

圖11 直接數(shù)字卷積法的前瞻前加減速NURBS凸輪軌跡

本文提出的以混合式數(shù)字卷積法結(jié)果如圖12和圖13所示，兩圖分別為NURBS圖形的速度分配及路徑圖，可以看出經(jīng)過前瞻后的速度曲線圖的時間比直接數(shù)字卷積法規(guī)劃后縮短許多，且其在轉(zhuǎn)角或急彎處有降低速度的效果產(chǎn)生，故可降低其轉(zhuǎn)角誤差，圖13所示的路徑中，每在轉(zhuǎn)折點時均可發(fā)現(xiàn)有加減速的效果。

圖12 混合式數(shù)字卷積法前瞻前加減速NURBS凸輪速度曲線

圖13 混合式數(shù)字卷積法的前瞻前加減速NURBS凸輪輪廓

對比上述兩種方法的速度曲線圖和凸輪輪廓圖可以看出，混合式方法在整體路徑圖上的4個轉(zhuǎn)折點亦可看出其加減速效果，故混合式的數(shù)字卷積法兼具傳統(tǒng)及直接數(shù)字卷積法的優(yōu)點，為可行的前瞻方法，進而可以兼顧時間與單節(jié)連接處的加工表面品質(zhì)。

4 結(jié)語

在速度命令規(guī)劃方面，本文分別針對前加減速和后加減速來進行探討，并推導(dǎo)出進行二次數(shù)字卷積的限制條件。在前加減速的規(guī)劃方面，加入了多節(jié)前瞻的功能，以三種不同速度命令規(guī)劃方式進行了比較。傳統(tǒng)前瞻方法加工時間短，但在轉(zhuǎn)折點時速度過快；直接數(shù)字卷積法雖然能在轉(zhuǎn)角處降低速度，但是加工時間過長；本文采用的混合前瞻前加減速方法有效結(jié)合了傳統(tǒng)前瞻方法和直接卷積方法的優(yōu)點，使得插補的柔性和連續(xù)性得以提高。仿真結(jié)果驗證了本文所提出的混合型加減速前瞻規(guī)劃策略不僅可以降低加工時間，也能在轉(zhuǎn)角處有降低速度的效果。

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