張 虎，方成剛，郭二廓，黃筱調(diào)

（南京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 南京 210009）

0 引言

高精度硬齒面齒輪由于其承載能力大、使用壽命長(zhǎng)且傳動(dòng)噪音低，應(yīng)用越來(lái)越廣泛［1］。為進(jìn)一步降低齒輪噪音、提高傳動(dòng)精度和補(bǔ)償安裝誤差等，硬齒面齒輪一般都要進(jìn)行齒面修形，包括齒廓修形和齒向修形［2-4］。成形砂輪磨齒是高效高精加工硬齒面齒輪的主要方法之一，成形砂輪磨齒可以加工內(nèi)齒輪、外齒輪和特殊廓型齒輪，而且齒面修形靈活。

齒廓修形可以通過(guò)調(diào)整砂輪的軸向廓形實(shí)現(xiàn)，不會(huì)產(chǎn)生原理誤差。而齒向修形則需要改變砂輪和齒輪之間的相對(duì)螺旋運(yùn)動(dòng)［5］，接觸線是動(dòng)態(tài)變化的，從而使齒向修形過(guò)程較為復(fù)雜。成形磨齒有單齒面磨削和雙齒面磨削兩種加工方式。單齒面磨削時(shí)砂輪和齒輪只有單面接觸，加工完一側(cè)齒面再加工另一側(cè)齒面；雙齒面磨削時(shí)砂輪和齒輪為雙面接觸，兩側(cè)齒面同時(shí)加工。因此，雙齒面磨削的效率幾乎是單齒面磨削的兩倍。單齒面磨削可以通過(guò)調(diào)整砂輪安裝角的優(yōu)化單側(cè)接觸線，使單側(cè)接觸線盡可能與齒輪的端面平行，然后再通過(guò)附加的齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)或砂輪切向運(yùn)動(dòng)獲得較高精度的齒向修形［6］。而雙齒面磨削一般是通過(guò)附加徑向運(yùn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)近似的齒向修形，原理誤差較大，齒面易扭曲［5，7］。因此當(dāng)齒向修形要求較高時(shí)，只能選擇單齒面磨削，效率較低。梁錫昌等［8］研究了三種附加運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)齒向修形的方法及其對(duì)齒形的影響。鄧興奕等［9］研究了鼓形齒加工中徑向微量進(jìn)給對(duì)齒形精度的影響。李國(guó)龍等［10］在附加徑向運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，通過(guò)優(yōu)化砂輪形狀，在一定程度上提高了齒向鼓形修形的精度。郭二廓［11］等研究了砂輪安裝角對(duì)齒面加工效率和精度的影響，并通過(guò)安裝角優(yōu)化減小了齒向修形的不均勻量。雙齒面磨削中齒向修形精度差的問(wèn)題，目前還沒有文獻(xiàn)給出理想的具體解決方法。

齒面修形和齒面誤差修正都是對(duì)齒面的幾何形狀進(jìn)行微調(diào)，在算法和原理上相通。很多學(xué)者對(duì)螺旋傘齒輪的加工誤差修正和補(bǔ)償進(jìn)行了研究。周超等［12］研究了砂輪位置誤差和齒面誤差之間的關(guān)系，為齒面誤差溯源和修正提供了基礎(chǔ)。唐進(jìn)元等［13］建立了螺旋錐齒輪機(jī)床五軸聯(lián)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，用多項(xiàng)式函數(shù)擬合機(jī)床的各軸運(yùn)動(dòng)。李敬財(cái)、王志永和唐進(jìn)元等［14-16］使用不同的方法計(jì)算了機(jī)床調(diào)整參數(shù)修正量，實(shí)現(xiàn)了齒面誤差補(bǔ)償。Fan［17］將數(shù)控弧齒錐齒輪加工機(jī)床的各軸運(yùn)動(dòng)擬合為高階多項(xiàng)式，用各軸的多項(xiàng)式系數(shù)作為調(diào)整量來(lái)修正齒面誤差。Gabiccini等用非線性優(yōu)化的方法求解了與螺旋傘齒輪目標(biāo)齒面修形相對(duì)應(yīng)的機(jī)床參數(shù)［18］，并研究了幾種常用齒面拓?fù)湫拚惴ǖ目煽啃院汪敯粜裕?9］。

本文基于螺旋傘齒輪齒面修正技術(shù)，使用五軸運(yùn)動(dòng)優(yōu)化方法實(shí)現(xiàn)圓柱齒輪的精密齒向修形。首先，建立實(shí)際齒面數(shù)學(xué)模型，依據(jù)砂輪軸向廓形和機(jī)床運(yùn)動(dòng)求解實(shí)際加工齒面，并計(jì)算齒面拓?fù)湔`差。然后，以機(jī)床多軸運(yùn)動(dòng)的參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，以齒面實(shí)際拓?fù)湔`差與目標(biāo)拓?fù)淦畈钪底钚閮?yōu)化目標(biāo)，建立優(yōu)化模型。最后，求解得到優(yōu)化后的五軸運(yùn)動(dòng)。

1 成形磨齒實(shí)際齒面數(shù)學(xué)模型

成形磨齒加工主要涉及砂輪軸向廓形和齒面幾何拓?fù)湫螤顑煞矫娴挠?jì)算。在磨齒之前，需要依據(jù)齒輪的端面廓形、砂輪與齒輪的中心距以及砂輪的安裝角計(jì)算砂輪的軸向廓形，并用金剛滾輪進(jìn)行修整。砂輪的軸向廓形計(jì)算已有很多文獻(xiàn)進(jìn)行了研究［20-21］；計(jì)算齒面幾何拓?fù)湫螤钍悄M在一定的輸入條件下（包括齒輪參數(shù)、砂輪參數(shù)和機(jī)床運(yùn)動(dòng)參數(shù)等），加工得到的實(shí)際齒面形狀，它們之間的關(guān)系稱為實(shí)際齒面數(shù)學(xué)模型。實(shí)際齒面數(shù)學(xué)模型是研究齒面修形和齒面誤差修正的基礎(chǔ)。砂輪與齒輪之間為相對(duì)螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，它們之間的接觸線保持不變，此時(shí)實(shí)際齒面數(shù)學(xué)模型相對(duì)簡(jiǎn)單［20-21］；當(dāng)砂輪與齒輪之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)不是螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，接觸線是實(shí)時(shí)變化的，此時(shí)實(shí)際齒面數(shù)學(xué)模型相對(duì)復(fù)雜。下面詳細(xì)闡述基于成形磨齒加工的實(shí)際齒面數(shù)學(xué)模型。

1.1 機(jī)床結(jié)構(gòu)和坐標(biāo)系

本文的實(shí)際齒面數(shù)學(xué)模型基于一種立式結(jié)構(gòu)數(shù)控成形磨齒機(jī)。如圖1所示，該磨齒機(jī)有X，Y，Z，A，C共五個(gè)光柵全閉環(huán)數(shù)控軸和SP1，SP2，SP3共三個(gè)電主軸，主要由轉(zhuǎn)臺(tái)、床身、立柱、拖板和磨頭等部件組成。成形砂輪磨齒主要分兩步加工：①Y軸和W軸聯(lián)動(dòng)，用金剛滾輪修整砂輪；②用修整好的砂輪進(jìn)行單分度磨齒。

依據(jù)機(jī)床結(jié)構(gòu)和各數(shù)控軸的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，本文建立了圖2 所示的坐標(biāo)系。坐標(biāo)系Ofxfyfzf（記為Sf，其他坐標(biāo)系采用同樣方法表示）與轉(zhuǎn)臺(tái)的靜止部件固定連接，為空間固定坐標(biāo)系。Ofxf平行于機(jī)床的X軸運(yùn)動(dòng)，Ofzf為轉(zhuǎn)臺(tái)的回轉(zhuǎn)軸線。坐標(biāo)系Sg與轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)部件和待磨齒輪連接，初始時(shí)與坐標(biāo)系Sf重合。轉(zhuǎn)臺(tái)回轉(zhuǎn)時(shí)坐標(biāo)系Sg繞Ofzf旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)臺(tái)的回轉(zhuǎn)角度記為ψc。

坐標(biāo)系Se固定于拖板上，原點(diǎn)Oe為A軸回轉(zhuǎn)軸線與砂輪回轉(zhuǎn)軸線的交點(diǎn)，Oexe平行于Ofxf，Oeye平行于Ofzf。坐標(biāo)系Se與Sf之間的相對(duì)位置關(guān)系由參數(shù)Dx和Dz決定。Dx和Dz分別代表機(jī)床的X軸和Z軸的坐標(biāo)。坐標(biāo)系Sd固定于A軸上，隨著A軸一起轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)A軸為0時(shí)，坐標(biāo)系Sd與坐標(biāo)系Se重合。A軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)坐標(biāo)系Sd繞Oexe旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度記為ψa。坐標(biāo)系Sw固定于砂輪主軸的靜止部件上，原點(diǎn)Ow為砂輪的對(duì)稱中心面與砂輪回轉(zhuǎn)軸線的交點(diǎn)，Owzw與砂輪回轉(zhuǎn)軸線重合。當(dāng)機(jī)床的Y軸坐標(biāo)為0時(shí)，坐標(biāo)系Sw與坐標(biāo)系Sd重合。Y軸移動(dòng)時(shí)，坐標(biāo)系Sw沿著Odzd方向平移，Y軸坐標(biāo)記為Dy。

1.2 實(shí)際加工齒面

如圖3所示，砂輪的軸向廓形在截面坐標(biāo)系Sp中用參數(shù)u表示為：

當(dāng)坐標(biāo)系Sp繞Owzw軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，rp在空間掃掠形成砂輪回轉(zhuǎn)曲面，

式中Mwp為坐標(biāo)系Sp到坐標(biāo)系Sw的變換矩陣，

這樣就建立了雙參數(shù)砂輪曲面rw（u，φ），u為軸向廓形參數(shù)，φ為相位參數(shù)。再通過(guò)坐標(biāo)系Sw到Sg的變換矩陣Mgw，得到機(jī)床運(yùn)動(dòng)時(shí)砂輪曲面rw在齒輪坐標(biāo)系Sg中形成的曲面族：

式中t為機(jī)床各數(shù)控軸運(yùn)動(dòng)函數(shù)（Dx，Dy，Dz，ψc和ψa）的自變量，是曲面族的族參數(shù)，

實(shí)際齒面是單參數(shù)曲面族rg（u，φ；t）的包絡(luò)面。先依據(jù)齊次坐標(biāo)變化矩陣Mgw（t）分離出坐標(biāo)變換的旋轉(zhuǎn)矩陣R（t）和平移向量p（t），然后依據(jù)式（4）計(jì)算曲面族的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)速度ω（t）和平移運(yùn)動(dòng)速度v（t）［22］：

再根據(jù)式（5）計(jì)算曲面族和包絡(luò)面的接觸條件［21］。

式（5）表明φ為u和t的函數(shù)，則砂輪曲面族的包絡(luò)面，即實(shí)際齒面可以表示為

1.3 齒面偏差

為了直觀地描述實(shí)際齒面的形狀，如圖4a所示，將實(shí)際齒面與標(biāo)準(zhǔn)（本文中“標(biāo)準(zhǔn)”是指沒有任何齒面修形）漸開螺旋面在齒面網(wǎng)格拓?fù)潼c(diǎn)上進(jìn)行比較，得到齒面拓?fù)淦?。如果是斜齒輪，則需要將各個(gè)端面的齒形繞齒輪軸線旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，變換成直齒。圖4b所示為齒面拓?fù)淦顖D，虛線為標(biāo)準(zhǔn)漸開螺旋面的拓?fù)渚W(wǎng)格，實(shí)線為實(shí)際齒面的拓?fù)渚W(wǎng)格，對(duì)應(yīng)網(wǎng)格點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)度表示了該拓?fù)潼c(diǎn)處的齒面偏差的大小。圖中左右齒面各有7條齒向偏差線和9條齒廓偏差線。

如圖5所示，在齒輪端面內(nèi)計(jì)算實(shí)際加工齒面與標(biāo)準(zhǔn)漸開螺旋面在每一拓?fù)潼c(diǎn)處的偏差。A′為實(shí)際加工齒廓L′上的某一點(diǎn)，A′B與基圓相切并與標(biāo)準(zhǔn)漸開線L相交于A點(diǎn)，則實(shí)際加工齒面上A′點(diǎn)的偏差齒面上所有拓?fù)潼c(diǎn)的偏差組成齒面拓?fù)淦钕蛄?，記為e=［e1，e2，…，em］T。

2 基于五軸運(yùn)動(dòng)優(yōu)化的齒向修形

雙齒面磨削實(shí)現(xiàn)齒向修形的傳統(tǒng)方法是，依據(jù)齒向偏差與機(jī)床X軸、Y軸或者C軸運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，計(jì)算機(jī)床對(duì)應(yīng)的附加運(yùn)動(dòng)。這種方法精度不高，鼓形修形時(shí)容易產(chǎn)生齒面扭曲。實(shí)際齒面數(shù)學(xué)模型描述了砂輪形狀和機(jī)床各軸運(yùn)動(dòng)與實(shí)際齒面的映射關(guān)系。砂輪形狀一般只影響齒廓形狀，而機(jī)床運(yùn)動(dòng)主要影響齒向形狀。通過(guò)優(yōu)化實(shí)際齒面數(shù)學(xué)模型中的五軸運(yùn)動(dòng)函數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)齒向修形。

2.1 優(yōu)化模型

將機(jī)床的各數(shù)控軸運(yùn)動(dòng)表示為高次多項(xiàng)式：

式中：t為與Z軸運(yùn)動(dòng)成線性比例的無(wú)量綱量，B為齒寬，Dx0和Dx1等為多項(xiàng)式系數(shù)。優(yōu)化參數(shù)為各多項(xiàng)式系數(shù)組成的參數(shù)向量：

優(yōu)化目標(biāo)為實(shí)際齒面拓?fù)淦钆c理想齒面拓?fù)淦畹牟钪底钚。?/p>

式中：e（ξ）=［e1，e2，…，em］T為實(shí)際的齒面拓?fù)淦钕蛄?，et=［et1，et2，…，etm］T為理想齒面拓?fù)淦钕蛄俊?/p>

2.2 數(shù)學(xué)求解

由于實(shí)際齒面偏差與機(jī)床運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式系數(shù)之間的關(guān)系e（ξ）是非線性的，式（9）表示的優(yōu)化模型也是非線性的，需要采用數(shù)值方法進(jìn)行迭代求解。采用Gauss-Newton法進(jìn)行求解：

式中J（n）為Jacobi矩陣，表示ξ=ξ（n）時(shí)f（ξ）變化量與ξ變化量之間的關(guān)系。J（n）采用差分法進(jìn)行近似計(jì)算：

式中：Δξn為運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式系數(shù)的擾動(dòng)量，Δem為齒面上拓?fù)淦畹臄_動(dòng)量。首先僅在第j個(gè)多項(xiàng)式系數(shù)ξj上施加一個(gè)微小擾動(dòng)量Δξj，其他多項(xiàng)式系數(shù)保持不變；然后使用實(shí)際齒面數(shù)學(xué)模型計(jì)算實(shí)際齒面拓?fù)淦畹淖兓喀i（i=1，2，…，m）；最后用拓?fù)淦钭兓砍远囗?xiàng)式系數(shù)的擾動(dòng)量Δei／Δξj（i=1，2，…，m），即為Jacobi矩陣的第j列。

3 舉例與討論

本文以一具體齒輪為例詳細(xì)闡述所提出的齒向修形方法。齒輪和砂輪的基本參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪成形磨削的基本參數(shù)

續(xù)表1

五軸運(yùn)動(dòng)優(yōu)化實(shí)現(xiàn)齒向修形的具體步驟為：①計(jì)算砂輪軸向廓形和標(biāo)準(zhǔn)的各軸運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式系數(shù)；②建立實(shí)際齒面數(shù)學(xué)模型，描述機(jī)床運(yùn)動(dòng)與齒面偏差之間的關(guān)系，即e與ξ之間的關(guān)系；③建立五軸運(yùn)動(dòng)優(yōu)化模型，并以標(biāo)準(zhǔn)的各軸多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)系數(shù)為迭代初始值，求解優(yōu)化模型得到多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)系數(shù)ξ（n）。

依據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算得到砂輪軸向廓形。標(biāo)準(zhǔn)的各軸運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式系數(shù)如表2所示。為驗(yàn)證實(shí)際齒面數(shù)學(xué)模型，將表2中的數(shù)據(jù)代入式（7），并按式（4）～式（6）求得實(shí)際加工齒面rs（u，t）。然后按照1.3節(jié)的評(píng)價(jià)方法計(jì)算齒面的拓?fù)湔`差。結(jié)果顯示齒面上所有拓?fù)湔`差都小于10-10mm，近似為0，說(shuō)明實(shí)際加工齒面的數(shù)學(xué)模型是正確的。

表2 無(wú)齒向修形時(shí)各軸的運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式系數(shù)

當(dāng)有齒向修形要求時(shí)，按照式（8）和式（9）建立優(yōu)化模型，并按式（10）和式（11）求解得到齒向修形運(yùn)動(dòng)。式（9）中的理想齒面拓?fù)淦钕蛄縠t依據(jù)目標(biāo)齒向修形獲得。式（11）中計(jì)算Jacobi矩陣時(shí)，直線軸對(duì)應(yīng)的系數(shù)擾動(dòng)量為0.001 mm，回轉(zhuǎn)軸對(duì)應(yīng)的系數(shù)擾動(dòng)量為0.000 01rad。本文提出的方法適用于多種齒向修形形式，包括鼓形齒、K形齒、錐形齒等，下面以常見的鼓形齒為例進(jìn)行分析。

3.1 齒向鼓形修形

圖6所示為目標(biāo)修形量為40μm 的齒向鼓形修形。如果采用傳統(tǒng)的附加徑向運(yùn)動(dòng)的方法來(lái)加工，則利用實(shí)際加工齒面數(shù)學(xué)模型，經(jīng)過(guò)數(shù)值分析得到齒面的拓?fù)湔`差如圖7a所示，實(shí)際齒面拓?fù)淦钆c目標(biāo)拓?fù)淦钪g的誤差平方和為18 391.1 μm2。按照五軸運(yùn)動(dòng)優(yōu)化方法建立優(yōu)化模型，經(jīng)過(guò)6次迭代后誤差f（ξ）穩(wěn)定，迭代計(jì)算中止。優(yōu)化后實(shí)際齒面拓?fù)淦钊鐖D7b所示，與目標(biāo)拓?fù)淦钪g的誤差平方和僅為351.1μm2，誤差顯著降低。圖8所示為優(yōu)化前后各軸運(yùn)動(dòng)的差值，稱為各軸的附加運(yùn)動(dòng)。圖8中，運(yùn)動(dòng)函數(shù)的上標(biāo)（0）表示優(yōu)化前的機(jī)床運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)函數(shù)的上標(biāo)（s）表示優(yōu)化后的機(jī)床運(yùn)動(dòng)。由圖8可見，X軸的附加運(yùn)動(dòng)范圍約為-0.8 mm～0mm，沿齒寬左右對(duì)稱分布；Y軸的附加運(yùn)動(dòng)范圍約為-2mm～2mm，沿齒寬中心對(duì)稱分布；A軸的附加運(yùn)動(dòng)范圍約-800″～100″，沿齒寬左右對(duì)稱分布；C軸的附加運(yùn)動(dòng)范圍約-2 000″～2 000″，沿齒寬中心對(duì)稱分布。由于機(jī)床各軸的附加運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致砂輪與齒輪之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)已經(jīng)不是螺旋運(yùn)動(dòng)，加工過(guò)程中接觸線是不斷變化的。圖9為整個(gè)加工過(guò)程的實(shí)際接觸線在砂輪坐標(biāo)系中的變化。

3.2 試驗(yàn)

本文在自主研發(fā)的數(shù)控成形磨齒機(jī)上，進(jìn)行了齒向鼓形修形的加工試驗(yàn)。加工的基本參數(shù)如表1所示，齒向修形要求如圖6所示。分別使用傳統(tǒng)加工方法和五軸運(yùn)動(dòng)優(yōu)化方法進(jìn)行試驗(yàn)，然后在三坐標(biāo)測(cè)量?jī)xWENZEL（LH1512）上測(cè)量齒輪誤差。測(cè)量結(jié)果如圖10所示，分別在靠近齒根處、分度圓處和靠近齒頂處測(cè)量齒向偏差，結(jié)果發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)方法加工的齒向偏差曲線扭曲嚴(yán)重，而五軸運(yùn)動(dòng)優(yōu)化加工的齒向偏差曲線與圖6中的理想曲線接近。其中分度圓處兩種方法的齒向偏差曲線最大相差10μm，靠近齒根處最大相差約為20μm，靠近齒頂處最大相差約為45μm。試驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明采用五軸運(yùn)動(dòng)優(yōu)化可以避免齒向鼓形修形產(chǎn)生的齒面扭曲，顯著提高齒向修形的精度。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)數(shù)控成形磨齒加工中單面磨齒齒向修形效率低和雙面磨齒齒向修形精度不高的難題，采用一種五軸運(yùn)動(dòng)優(yōu)化方法來(lái)實(shí)現(xiàn)雙齒面磨削精密齒向修形。本文的主要貢獻(xiàn)如下：

（1）建立了數(shù)控成形磨齒加工的實(shí)際齒面數(shù)學(xué)模型。通過(guò)該模型，可以依據(jù)砂輪的軸向廓形、磨齒過(guò)程中機(jī)床的各軸運(yùn)動(dòng)，求得實(shí)際加工齒面。在齒輪的端面內(nèi)計(jì)算實(shí)際加工齒面上每一點(diǎn)的偏差，建立齒面拓?fù)淦顖D。

（2）建立了五軸運(yùn)動(dòng)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型。以實(shí)際機(jī)床的五軸運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式系數(shù)為優(yōu)化參數(shù)，以實(shí)際齒面拓?fù)淦钆c理想齒面拓?fù)淦畹牟钪底钚閮?yōu)化目標(biāo)。

（3）將五軸運(yùn)動(dòng)優(yōu)化方法應(yīng)用于齒向鼓形修形，數(shù)值分析和試驗(yàn)結(jié)果均表明：該方法可以顯著降低傳統(tǒng)方法導(dǎo)致的齒面扭曲，提高齒向修形的精度。

該方法在其他形式齒向修形中的應(yīng)用將在后續(xù)研究中驗(yàn)證。

［1］KARPUSCHEWSKI B，KNOCHE H J，HIPKE M.Gear finishing by abrasive processes［J］.CIRP Annals-Manufacturing Technology，2008，57（2）：621-640.

［2］ZHANG Zhan.Profile modification and axial modification［J］.Construction Machinery，1987（10）：35-39（in Chinese）.［張展.齒廓修形和齒向修形［J］.建筑機(jī)械，1987（10）：35-39.］

［3］LI S.Effects of machining errors，assembly errors and tooth modifications on loading capacity，load-sharing ratio and trans-mission error of a pair of spur gears［J］.Mechanism and Machine Theory，2007，42（6）：698-726.

［4］ZHU Caichao，CHEN Shuang，MA Fei，et al.Effect of gear teeth modification on dynamic characteristics of a megawatt level wind turbine gearbox［J］.Journal of Vibration and Shock，2013，32（7）：123-128（in Chinese）.［朱才朝，陳 爽，馬飛，等.輪齒修形對(duì)兆瓦級(jí)風(fēng)電齒輪箱動(dòng)態(tài)特性影響［J］.振動(dòng)與沖擊，2013，32（7）：123-128.］

［5］BENN S，ZHANG Huajian.Form grinding of precision gears and topographical modification［J］.Aeronautical Manufacturing Technology，2006（1）：102-103（in Chinese）.［Benn S，張華堅(jiān).精密齒輪的成形磨削與拓?fù)湫扌危跩］.航空制造技術(shù)，2006（1）：102-103.］

［6］KOBAYASHI Y，NISHIDA N，OUGIYA Y，et al.Tooth trace modification processing of helical gear by form grinding method［J］.Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers Part C，1995，61（590）：4088-4093.

［7］TüRICH D A.Producing profile and lead modifications in threaded wheel and profile grinding［J］.Gear Technology，2010，27（1）：54-62.

［8］LIANG Xichang，SHAO Ming，YOSHINO Hidenhiro，et al.Study on the gear and cutter manufacture［M］.Chongqing：Chongqing University Press，2001（in Chinese）.［梁錫昌，邵明，吉野英弘，等.齒輪及其刀具制造的研究［M］.重慶：重慶大學(xué)出版社，2001.］

［9］DENG Xingyi，KANG Heng.Analysis on the profile grinding process of drum-tooth gear［J］.Journal of Chongqing University，1989，12（4）：38-45（in Chinese）.［鄧興奕，亢 恒.鼓形齒的成形磨削方法及其分析［J］.重慶大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1989，12（4）：38-45.］

［10］LI Guolong，LI Xianguang，LIU Fei，et al.Method of profile optimization of a form grinding wheel for grinding with additional radial motion of topologically modified gear［J］.Journal of Mechanical Engineering，2011，47（11）：155-162（in Chinese）.［李國(guó)龍，李先廣，劉 飛，等.拓?fù)湫扌锡X輪附加徑向運(yùn)動(dòng)成形磨削中的砂輪廓形優(yōu)化方法［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2011，47（11）：155-162.］

［11］GUO Erkuo，HUANG Xiaodiao，YUAN Hong，et al.Contact line optimization for improving efficiency and precision of form grinding［J］.Computer Integrated Manufacturing Systems，2013，19（1）：67-74（in Chinese）.［郭二廓，黃筱調(diào)，袁鴻，等.基于提高成形磨削效率和精度的接觸線優(yōu)化［J］.計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)，2013，19（1）：67-74.］

［12］ZHOU Chao，TANG Jinyuan，ZENG Tao，et al.Relationship between grinding wheel and tooth surface error［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2008，44（2）：94-101（in Chinese）.［周 超，唐進(jìn)元，曾 韜，等.螺旋錐齒輪磨齒機(jī)砂輪位置誤差與齒輪齒面誤差的關(guān)系［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2008，44（2）：94-101.］

［13］TANG Jinyuan，NIE Jin'an，WANG Zhiquan.Mathematical model of kinematics transformation for five-axis linkage CNC hypoid generator［J］.Journal of Central South University：Science and Technology，2011，42（10）：3033-3039（in Chinese）.［唐進(jìn)元，聶金安，王智泉.螺旋錐齒輪機(jī)床五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)學(xué)模型創(chuàng)成算法［J］.中南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，42（10）：3033-3039.］

［14］LI Jingcai，WANG Taiyong，F(xiàn)AN Shengbo，et al.Error corrections of spiral bevel gear tooth surface based on digitized manufacturing［J］.Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2008，39（5）：174-177（in Chinese）.［李敬財(cái)，王太勇，范勝波，等.基于數(shù)字化制造的螺旋錐齒輪齒面誤差修正［J］.農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2008，39（5）：174-177.］

［15］WANG Zhiyong，ZENG Tao.Correction of tooth flank errors of spiral bevel gear based on proportional change parameters［J］.Journal of Mechanical Engineering，2010，46（1）：43-47（in Chinese）.［王志永，曾 韜.弧齒錐齒輪基于比例修正參數(shù)的齒形誤差修正［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2010，46（1）：43-47.］

［16］TANG Jinyuan，NIE Jin'an，WANG Zhiquan.Reverse correction of spiral bevel gear HFT method［J］.Journal of Central South University：Science and Technology，2012，43（6）：2142-2149（in Chinese）.［唐進(jìn)元，聶金安，王智泉.螺旋錐齒輪HFT 法加工的反調(diào)修正方法［J］.中南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，43（6）：2142-2149.］

［17］FAN Q.Tooth surface error correction for face-hobbed hypoid gears［J］.ASME Journal of Mechanical Design，2010，132（1）：011004.

［18］ARTONI A，GABICCINI M，GUIGGIANI M.Nonlinear identification of machine settings for flank form modifications in hypoid gears［J］.ASME Journal of Mechanical Design，2008，130（11）：112602.

［19］GABICCINI M，ARTONI A，GUIGGIANI M.On the identification of machine settings for gear surface topography corrections（DETC2011-47727）［J］.ASME Journal of Mechanical Design，2012，134（4）：041004.

［20］WU Xutang.Theory of gear meshing［M］.2nd ed.Xi'an：Xi'an Jiaotong University Press，2009（in Chinese）.［吳序堂.齒輪嚙合理［M］.2版.西安：西安交通大學(xué)出版社，2009.］

［21］LITVIN F L，F(xiàn)UENTES A.Gear geometry and applied theroy［M］.New York，N.Y.，USA：Cambridge University Press，2004.

［22］ZHU L M，ZHENG G，DING H.Formulating the swept envelope of rotary cutter undergoing general spatial motion for multi-axis NC machining［J］.International Journal of Machine Tools &Manufacture，2009，49（2）：199-202.