郭崇穎，劉檢華，唐承統(tǒng)，蔣 科，胡 偉

（北京理工大學(xué)機械與車輛學(xué)院，北京 100081）

0 引言

尺寸鏈生成是進行計算機輔助公差分析與綜合的重要基礎(chǔ)，裝配尺寸鏈的自動生成是指在計算機表達(dá)尺寸和公差信息的基礎(chǔ)上，利用計算機自動建立封閉環(huán)和組成環(huán)之間的功能函數(shù)方程［1］。目前，國內(nèi)外相關(guān)研究機構(gòu)在尺寸鏈自動生成方法方面已經(jīng)取得很多研究成果。FRANCISOA 和PATALANO［2］提出建立裝配圖的方法進行尺寸鏈生成。Lee和Gossard［3］采用一種樹狀結(jié)構(gòu)描述裝配圖的尺寸公差，將裝配圖分成若干個部件，每個部件再細(xì)分為子部件和零件，零件與零件、部件與部件、部件與零件之間通過Instance 建立連接關(guān)系；Wang Nanxin［4］在此基礎(chǔ)上采用圖論法進行自動生成尺寸鏈的研究。Rikard SDerberg和Hans Johannesson［5］提出在設(shè)計階段從裝配功能出發(fā)，根據(jù)可能存在的幾何變動建立尺寸鏈。Zhang［6］提出根據(jù)裝配工藝知識的數(shù)學(xué)表達(dá)以及基于矩陣運算實現(xiàn)裝配順序生成的方法，Lars Lindkvista［7］在此基礎(chǔ)上通過分析裝配順序以及對幾何模型自由度解析求解裝配尺寸鏈。Xue Jianbin等［8］從加工工藝能力指數(shù)出發(fā)構(gòu)建了工藝尺寸鏈。王恒等［9］提出通過構(gòu)建鄰接矩陣實現(xiàn)三維裝配尺寸鏈的自動生成。江思敏等［10］提出根據(jù)裝配體零件配合特征、配合信息及零件拓?fù)潢P(guān)系自動生成裝配體中定位零件鏈的方法。周江奇等［11］提出根據(jù)裝配體零件配合約束關(guān)系、幾何精度關(guān)系自動生成裝配體中尺寸鏈的方法。王洋等［12］提出對零件鄰接表和尺寸鄰接表的裝置體分級建模進行自動生成裝配尺寸鏈的算法。張旭堂等［13］提出用裝配基準(zhǔn)變動方程組來建立裝配尺寸鏈模型，并利用裝配基準(zhǔn)圖定量描述了裝配體零部件之間的配合和位置關(guān)系。王兆證等［14］通過構(gòu)建裝配機構(gòu)特征數(shù)據(jù)庫實現(xiàn)了尺寸鏈的自動生成。

上述成果有利地推動了尺寸鏈生成技術(shù)的發(fā)展，但尚存在以下問題：①對公差信息缺乏規(guī)范化處理，從而影響了尺寸鏈自動生成的成功率；②通常情況下，零件幾何公差因為公差類型的不同在公差的傳遞路徑上存在不同的約束方向，而目前研究成果未考慮不同的公差變動約束方向?qū)?gòu)建裝配尺寸鏈的影響；③對于裝配體零件之間的相互關(guān)系僅識別零件特征之間的配合關(guān)系，并沒有反映零件之間的定位關(guān)系以及零件配合特征之間的配合精度，無法保證裝配尺寸鏈自動生成的準(zhǔn)確性。

針對以上裝配尺寸鏈自動生成算法存在的問題，本文在前人研究的基礎(chǔ)上提出了基于特征有向圖表達(dá)實現(xiàn)裝配尺寸鏈自動生成的方法，該方法的總體思路如下：①通過對裝配約束信息的提取和轉(zhuǎn)化，公差信息的規(guī)范化處理以及公差約束方向的求解，根據(jù)零件幾何公差特征和裝配約束特征到裝配模型的一一映射關(guān)系建立了四層結(jié)構(gòu)的裝配精度信息模型；②基于層次模型中的特征信息，并考慮幾何公差傳遞方向、裝配約束方向、零件配合精度要求以及裝配定位關(guān)系，建立公差關(guān)聯(lián)特征矩陣和裝配關(guān)聯(lián)特征矩陣，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建裝配體有向圖；③根據(jù)裝配精度要求確定封閉環(huán)方向，剔除有向圖中所有在該方向上無投影的邊和對應(yīng)的頂點，然后在此基礎(chǔ)上根據(jù)有向圖的最小傳遞路徑實現(xiàn)裝配尺寸鏈的自動生成。

1 裝配精度信息模型建立

1.1 裝配精度信息模型內(nèi)容

裝配精度信息模型的目標(biāo)是為裝配尺寸鏈自動生成提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。從裝配尺寸鏈自動生成的需求出發(fā)，列出了裝配精度信息模型的建模需求，如表1所示。

表1 裝配精度信息模型的建模需求

1.2 裝配精度信息層次模型建立

裝配精度信息模型是裝配尺寸鏈搜索及其自動建立的基礎(chǔ)。裝配精度信息模型中不僅包含建立和搜索裝配尺寸鏈的尺寸及公差信息，還包含裝配零部件之間的裝配約束關(guān)系信息和裝配零部件之間的裝配定位關(guān)系信息。結(jié)合裝配精度信息模型的建模需求，建立了四層結(jié)構(gòu)的裝配精度信息模型，主要包括裝配體模型、零件模型、結(jié)構(gòu)模型和公差模型等四個層次。裝配精度信息層次模型如圖1所示。裝配精度信息層次模型主要包括四個層次：

（1）裝配體模型層 包括名稱、唯一標(biāo)識ID、裝配體類型等基本屬性信息；CAD 模型、裝配體坐標(biāo)系等CAD 模型信息；組成零件集合、連接結(jié)構(gòu)集合等裝配體組成和約束信息。

（2）零件模型層 包括名稱、唯一標(biāo)識ID、零件類型等基本屬性信息；CAD 模型等CAD 模型信息；定位零件集合、連接結(jié)構(gòu)集合等零件組成和約束信息；裝配定位信息；零件公差集合等精度信息。

（3）結(jié)構(gòu)模型層 包括名稱、唯一標(biāo)識ID、結(jié)構(gòu)類型等基本屬性信息；定位結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的基準(zhǔn)零件和定位零件等組成信息；連接過程中的幾何約束等配合信息；連接過程中的關(guān)聯(lián)公差集合和配合精度等精度信息。

（4）公差模型 包括名稱、唯一標(biāo)識ID、公差類型等基本屬性信息。

基于三維模型的裝配精度信息層次模型的建立過程主要包括以下三個步驟：

步驟1 從裝配體CAD 模型中進行層次化分解，得到零件模型。任何復(fù)雜的裝配體均由零件和子裝配體構(gòu)成，子裝配體可逐級向下分解直到零件級，復(fù)雜裝配體CAD 模型利用層次化分解，得到零件模型。

步驟2 通過零件模型中的定位零件集合和結(jié)構(gòu)幾何，確定零件裝配關(guān)系和裝配約束以及裝配定位信息［15］。在裝配約束庫中，查找與零件相關(guān)的裝配約束，并對零件的每一個裝配約束進行分析，進而建立每一個零件的定位結(jié)構(gòu)模型。

步驟3 對CAD 模型中的公差標(biāo)注信息進行解析，獲得公差信息關(guān)聯(lián)的幾何信息，通過關(guān)聯(lián)幾何信息，確定公差信息所屬的零件模型和定位結(jié)構(gòu)模型，將公差信息保存到相應(yīng)的零件模型和定位結(jié)構(gòu)模型，完成裝配精度層次模型的建立。

2 裝配尺寸鏈的自動生成

建立了四層結(jié)構(gòu)的裝配精度信息模型之后，要實現(xiàn)裝配尺寸鏈的自動生成，還需要解決以下關(guān)鍵難題：①裝配精度信息提取與處理，即在初步建立的四層結(jié)構(gòu)裝配精度信息模型的基礎(chǔ)上，通過對模型中裝配精度信息和約束信息的提取和轉(zhuǎn)化，獲得完備的精度信息模型；②裝配尺寸鏈有向圖生成，建立幾何公差特征關(guān)聯(lián)矩陣和裝配特征關(guān)聯(lián)矩陣，然后采用圖論建立裝配體有向圖模型；③裝配尺寸鏈的自動生成，根據(jù)裝配精度的方向剔除有向圖中該方向上無投影的邊和無任何邊的頂點，最終利用最小路徑實現(xiàn)裝配尺寸鏈的自動生成。

2.1 裝配精度信息提取與處理

裝配尺寸鏈的自動生成，即從裝配模型中建立封閉環(huán)和組成環(huán)及約束之間數(shù)學(xué)關(guān)系的過程。在此過程中，需要從三維模型中提取裝配精度信息，將配合約束信息轉(zhuǎn)化成尺寸公差信息進行處理，同時對公差信息進行規(guī)范化處理，轉(zhuǎn)化為基準(zhǔn)幾何和定位幾何類型一致的特征，獲得完備的裝配精度信息模型。

2.1.1 約束信息的處理

裝配精度信息模型中的約束類型主要包含面面貼合、面面對齊、軸線對齊、球面配合、錐面配合、面面平行和軸線平行等，根據(jù)對稱李子群理論［16］將名義（或?qū)嶋H）特征分為球面、圓柱面、平面、螺旋面、旋轉(zhuǎn)面、棱柱面和復(fù)雜面7 類。派生特征為點（point）、線（straight line）和平面（plane）三個基本類［11］。經(jīng)過對裝配約束信息的歸納總結(jié)，約束信息主要包含約束涉及的特征和特征之間的空間位置關(guān)系。通過對裝配模型中幾何約束信息的處理，采用對稱李子群理論［16］獲得基準(zhǔn)幾何和定位幾何的名義特征，在此基礎(chǔ)上將基準(zhǔn)幾何和定位幾何用基本派生特征代替，將約束信息用基本特征和基本特征之間的空間位置進行表達(dá)，獲得通用化的約束信息，如表2所示。

在表2中，配合符號由配合類型決定，根據(jù)配合類型所關(guān)聯(lián)的零件特征和約束關(guān)系決定配合符號，連接類型為約束信息涉及的配合性質(zhì)。對于配合類型為軸線對齊、軸線平行或者球面配合時，由于配合存在不確定性，配合類型需要根據(jù)實際裝配關(guān)系確定直徑、半徑公差的增減性，故定義連接類型為漂移。表2中的距離為兩個平面（直線）垂直距離或兩個點的距離。

表2 配合類型的解析

裝配體中約束信息的提取是一個遞歸構(gòu)造過程。通過遞歸分析得到裝配體約束信息，將配合信息轉(zhuǎn)化為尺寸信息，確定配合信息的公差傳遞方向，根據(jù)約束信息中包含的配合精度要求，將配合要求轉(zhuǎn)化為尺寸的上下公差，完成裝配約束信息向尺寸公差信息的轉(zhuǎn)化。

2.1.2 公差信息規(guī)范化處理

公差信息主要包括公差關(guān)聯(lián)特征和公差值，然而由于三維公差標(biāo)注過程可能存在不規(guī)范標(biāo)注以及在模型設(shè)計過程中存在某些隱含的裝配尺寸關(guān)系（例如在模型設(shè)計過程中存在對稱、鏡像等特征，其尺寸特征僅存在原始特征上，派生特征上并未存在尺寸標(biāo)注），需要對標(biāo)注公差信息進行處理。因此，在提取裝配體中的公差信息后，對公差信息關(guān)聯(lián)的基準(zhǔn)幾何和定位幾何進行處理，獲得公差信息關(guān)聯(lián)幾何特征類型一致的公差要素，公差信息的規(guī)范處理流程如圖2所示。

具體處理過程如下：

（1）對裝配體模型進行處理，將在模型設(shè)計過程中通過鏡像、對稱等方法確定或拷貝的特征進行公差標(biāo)注，獲得包含完整公差信息的模型。

（2）從裝配體模型中提取公差信息，獲得公差信息關(guān)聯(lián)基準(zhǔn)幾何和定位幾何特征。

（3）判斷關(guān)聯(lián)幾何特征是否為派生幾何特征，若均為派生幾何特征，則直接輸出公差信息。

（4）若關(guān)聯(lián)特征不為派生幾何特征，則判斷關(guān)聯(lián)特征是否為對稱粒子群理論涉及的基本特征，否則將特征轉(zhuǎn)化為基本特征。

（5）在基準(zhǔn)幾何和定位幾何均為基本特征的前提下，判斷基準(zhǔn)幾何類型和定位幾何類型是否相同，若不相同，則判斷能否轉(zhuǎn)化為相同基本特征，例如尺寸公差涉及的基準(zhǔn)幾何特征類型為點，而定位幾何特征類型為面，則基準(zhǔn)幾何特征類型能否用經(jīng)過原基準(zhǔn)幾何且與定位幾何特征平行的平面代替轉(zhuǎn)化為特征類型相同的幾何特征。

（6）對于基本特征和定位特征為同種類型的情況，嘗試能否將特征均采用平面特征進行表達(dá)，獲得配合特征類型一致的公差信息模型。

（7）完成整個模型的公差信息處理后，保存修改后的公差信息，結(jié)束公差信息處理。

2.2 裝配尺寸鏈有向圖生成

裝配尺寸鏈可以在裝配體有向圖模型的基礎(chǔ)上進行求解，采用最小傳遞路徑進行表示。裝配體有向圖模型［17］是綜合表達(dá)產(chǎn)品幾何精度、裝配關(guān)系及功能要求的加權(quán)圖，包括圖的頂點和邊的信息。假設(shè)V和E為頂點集和邊集，則裝配體有向圖模型記為：

式中：V和E為頂點集和邊集，V=（gij，pi）為零件的相關(guān)特征，E：via→vjb為特征與特征之間的尺寸或特征與特征之間的裝配約束關(guān)系；w為權(quán)值函數(shù)，且對于?e∈E，w（e）為有向圖邊e的權(quán)。

通過構(gòu)建公差特征關(guān)聯(lián)矩陣獲得零件內(nèi)的公差關(guān)聯(lián)特征和公差傳遞方向，構(gòu)建裝配特征關(guān)聯(lián)矩陣實現(xiàn)裝配體零件裝配關(guān)系和裝配定位關(guān)系的表達(dá)，然后以裝配體中涉及的特征為圖論頂點，根據(jù)公差特征關(guān)聯(lián)矩陣和裝配特征關(guān)聯(lián)矩陣建立圖論的邊，根據(jù)公差值和裝配約束的配合精度定義圖論邊的權(quán)值，完成裝配體有向圖的建立。

2.2.1 公差特征關(guān)聯(lián)矩陣

通過2.1節(jié)對零件公差信息的處理，裝配體零件尺寸可理解為特征之間的尺寸或特征本身的尺寸，裝配體公差類型主要包括兩類：①幾何定位公差和定向公差，包括尺寸公差、平行度、位置度和對稱度等；②幾何形狀公差，包括平面度、圓柱度和裝配變形等。通過解析裝配精度信息層次模型，建立零件幾何特征公差關(guān)聯(lián)矩陣［18］，并根據(jù)幾何公差類型，結(jié)合幾何公差關(guān)聯(lián)特征確定幾何公差的傳遞方向，作為附屬信息添加到公差關(guān)聯(lián)矩陣中，建立完備的公差特征關(guān)聯(lián)矩陣。

幾何定位公差和定向公差是兩個特征或多個特征的公差，根據(jù)是否有基準(zhǔn)幾何將其區(qū)分為尺寸公差和定位定向公差，尺寸公差的關(guān)聯(lián)特征依次定義為尺寸公差關(guān)聯(lián)的兩個特征，尺寸公差的傳遞方向定義為尺寸公差所關(guān)聯(lián)幾何特征法向量的平動以及繞與法向量垂直的平面內(nèi)任意兩條相互垂直的直線的轉(zhuǎn)動（若為角度公差，則用角度公差關(guān)聯(lián)的定位幾何特征的法向量近似表達(dá)以及繞法向量垂直的平面內(nèi)任意兩條相互垂直的直線的轉(zhuǎn)動）；若幾何公差類型為直徑、半徑公差，則需要根據(jù)2.1.1節(jié)對涉及直徑公差的裝配約束信息進行處理，手工調(diào)整公差所關(guān)聯(lián)的特征，直徑、半徑公差的公差傳遞方向為軸線垂直平面的任意平動以及繞任意平動方向的轉(zhuǎn)動。

定位定向公差存在基準(zhǔn)，根據(jù)基準(zhǔn)特征類型分為單基準(zhǔn)和多基準(zhǔn)兩種基準(zhǔn)特征，當(dāng)基準(zhǔn)為單基準(zhǔn)、定位特征為平面時，幾何公差傳遞的方向定義為定位特征法向量的平動以及繞與法向量垂直的平面內(nèi)任意兩條垂直的直線轉(zhuǎn)動方向的近似表達(dá)；定位特征為圓、圓柱或圓錐時，幾何公差的傳遞方向定義為定位特征的法向量（軸線方向）的垂直平面內(nèi)任意兩條相互垂直的直線的平動和繞該直線的轉(zhuǎn)動近似表達(dá)；當(dāng)基準(zhǔn)為多基準(zhǔn)的基準(zhǔn)體系時，在公差關(guān)聯(lián)矩陣中拆分成多個單基準(zhǔn)幾何公差進行表達(dá)（但多個幾何公差之間存在互斥性，即裝配尺寸鏈中只能出現(xiàn)一個多基準(zhǔn)拆分的幾何公差），幾何公差方向求解與單基準(zhǔn)的方法相同。

幾何形狀公差的基準(zhǔn)特征和定位特征為同一幾何特征，幾何形狀公差的方向根據(jù)特征分為平面和圓柱面兩種：若特征為平面，則方向是平面的法向量平動和繞與法向量垂直的平面內(nèi)任意兩條相互垂直的直線的轉(zhuǎn)動；若特征為圓柱面，則方向是與圓柱軸線垂直平面內(nèi)任意的平動和繞垂直平面內(nèi)任意直線的轉(zhuǎn)動。根據(jù)對公差信息的分類處理，建立幾何特征公差關(guān)聯(lián)矩陣，以反映零件幾何特征間的公差傳遞方式和傳遞方向，簡稱公差關(guān)聯(lián)矩陣。矩陣項

零件圖如圖3a所示，其建立的零件公差關(guān)聯(lián)矩陣如圖3b所示。

當(dāng)零件特征涉及的公差類型為復(fù)合公差時，應(yīng)對復(fù)合公差進行擴大化表達(dá)，例如當(dāng)同一定位特征涉及形狀公差和定向公差時，則采用定向公差進行解析，獲得公差方向。對于同一基準(zhǔn)或同一基準(zhǔn)體系，同一定位特征的定向公差和定位公差，采用定位公差進行其方向表達(dá)。

2.2.2 裝配特征關(guān)聯(lián)矩陣

裝配體配合關(guān)系由零件裝配約束、配合要求和零件裝配定位關(guān)系決定，因此建立零件裝配特征關(guān)聯(lián)矩陣來反映零件配合關(guān)系，在前人的基礎(chǔ)上對裝配關(guān)系模型［19］的有向關(guān)聯(lián)圖進行擴展，添加裝配定位關(guān)系要求、裝配約束信息的處理、轉(zhuǎn)化和配合精度的解析，完成裝配特征關(guān)聯(lián)矩陣的構(gòu)建。裝配過程中的裝配定位關(guān)系要求表示，在實際零件之間由于裝配工藝的要求，存在零件先后裝配順序要求。根據(jù)實際裝配關(guān)系建立裝配特征關(guān)聯(lián)矩陣。

同時針對實際的裝配過程存在的裝配間隙引入裝配公差的概念，表示在實際的裝配零件之間可能存在一定的配合精度，根據(jù)2.1.1節(jié)的方法對于不同裝配關(guān)系引入不同配合符號進行表示，將作為附屬信息與裝配特征關(guān)聯(lián)圖中的矩陣項進行關(guān)聯(lián)，如βffm表示兩特征存在裝配約束關(guān)系且配合關(guān)系為面面貼合；λcca表示兩特征同時存在裝配定位和裝配約束關(guān)系，且配合關(guān)系為軸線對齊。若兩者僅存在裝配定位關(guān)系、無裝配定位，則配合符號用兩特征類型首字母與n表示。如兩特征均為兩平面特征，兩者之間僅有裝配定位、無裝配約束，用λffn表示。在完成裝配關(guān)聯(lián)矩陣的建立后，根據(jù)零件的裝配約束關(guān)系以及零件的裝配精度要求將其轉(zhuǎn)化為尺寸特征，根據(jù)2.2.1節(jié)確定尺寸公差的方向性，完成裝配關(guān)聯(lián)矩陣的構(gòu)建。如圖4a所示的裝配簡圖，其建立的裝配特征關(guān)聯(lián)矩陣如圖4b所示。

2.2.3 裝配體有向圖

（1）根據(jù)2.1節(jié)裝配體的公差標(biāo)注信息確定所有公差關(guān)聯(lián)特征，提取所有相關(guān)特征構(gòu)成集合G（fi）。

（2）在集合F中任意選取特征f1，在提取生成公差關(guān)聯(lián)矩陣中采用深度優(yōu)先搜索算法，尋找所有與f1相連通的特征，特征幾何構(gòu)成相連通的子集T1，若T1≠G，則在集合｛G-T1｝中再選取一個f2，尋找所有與f2聯(lián)通特征構(gòu)成子集T2，若T1∪T2?G，則在集合｛G-T1∪T2｝中繼續(xù)選取，直至T1∪T2∪T3∪…∪Tn=G，得到n個彼此相互獨立的特征集合，每個集合以特征作為節(jié)點連線表示聯(lián)通關(guān)系，構(gòu)成零件聯(lián)通無向圖。

（3）根據(jù)裝配約束關(guān)系，提取裝配體的所有裝配特征，構(gòu)成集合P（fj）。

（4）從集合P中任意選取特征fj，在提取生成的關(guān)聯(lián)矩陣中采用相同的深度優(yōu)先搜索算法，建立裝配體約束聯(lián)通無向圖。

（5）根據(jù)2.2.2節(jié)裝配關(guān)聯(lián)矩陣中的系數(shù)定義對每一個關(guān)聯(lián)集合賦予方向，根據(jù)2.2.2節(jié)對于矩陣項系數(shù)的定義確定約束信息類型，并根據(jù)2.1.1節(jié)對于約束信息的處理對邊的權(quán)值w進行賦值，完成裝配約束有向圖的建立。

（6）將零件公差有向圖與裝配約束有向圖相結(jié)合，建立裝配體有向圖Dv=Dv（V，E，w）。

2.3 裝配尺寸鏈的自動生成算法

2.3.1 尺寸鏈生成算法

基于裝配體有向圖，剔除與最終裝配精度無關(guān)的邊和頂點，根據(jù)最小傳遞路徑實現(xiàn)裝配尺寸鏈的自動生成，裝配尺寸鏈自動生成流程圖如圖5所示。

具體實現(xiàn)算法描述如下：

（1）根據(jù)裝配體公差關(guān)聯(lián)矩陣和裝配特征關(guān)聯(lián)矩陣生成裝配體有向圖Dv=Dv（V，E，w）。

（2）由裝配體模型的裝配精度要求，提取與裝配精度相關(guān)的兩個特征V1和V2，并根據(jù)裝配要求定義基準(zhǔn)特征V1、定位特征V2和封閉環(huán)方向F。

（3）在裝配體有向圖Dv中，以基準(zhǔn)特征V1為起點，以定位特征V2為終點，將每個零件設(shè)為有向圖的頂點，采用2.3.2節(jié)的方法對零件的配合約束進行判別，剔除不符合的配合約束對應(yīng)的裝配體有向圖的邊以及無任何邊的頂點，得到裝配體有向圖

（6）將零件公差傳遞路徑和零件的配合傳遞路徑相結(jié)合，獲得裝配體傳遞路徑Pi。首先根據(jù)公差關(guān)聯(lián)矩陣完成形位公差的添加，從公差關(guān)聯(lián)矩陣中查找與傳遞路徑Pi中的關(guān)聯(lián)特征相應(yīng)的公差項進行添加，其次添加與裝配精度相關(guān)的幾何形狀公差（判別方法與配合約束的判別方法相同），獲得裝配尺寸鏈的公差項；然后根據(jù)傳遞路徑中的約束特征有向邊查找關(guān)聯(lián)的裝配約束特征，完成裝配尺寸鏈的自動生成。

2.3.2 零件配合約束判定

在完成了裝配尺寸鏈的建立后，獲得可能的多條裝配傳遞路徑，而由于配合約束方向的不一致，需要對裝配尺寸鏈關(guān)聯(lián)的零件配合約束的冗余性進行判定，實現(xiàn)干擾裝配路徑的排除。故根據(jù)零件的配合約束方向，進行零件配合約束方向的判定：

（1）將零件的配合類型轉(zhuǎn)化成尺寸公差，確定公差傳遞方向。

（2）將零件配合約束的公差傳遞方向轉(zhuǎn)化成裝配體統(tǒng)一坐標(biāo)系下沿坐標(biāo)軸的平動和繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動，將封閉環(huán)F的方向同樣轉(zhuǎn)化到該坐標(biāo)系下。

（3）判斷所有零件配合約束的公差方向是否在F上進行投影。判定準(zhǔn)則如下：F是若干個沿坐標(biāo)軸的平動和繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動，對于沿坐標(biāo)軸的平動，依次判斷所有配合約束是否存在相同的平動或繞其他坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動；對于繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動，依次判斷所有配合約束是否存在相同的繞該坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動，若某兩個零件的配合約束不存在F的平動方向和轉(zhuǎn)動方向的投影，則剔除該配合約束的關(guān)聯(lián)的有向圖的邊。

（4）在完成所有零件的配合約束關(guān)系的判定之后，剩余的零件配合約束關(guān)系對應(yīng)的有向圖的邊就是裝配尺寸鏈可能存在的傳遞路徑。

2.3.3 最小路徑

裝配體有向圖D借鑒Dijkstra求解算法［17-20］，統(tǒng)一考慮傳遞過程中存在的互斥邊（多基準(zhǔn)幾何公差）、有向邊和無向邊，進行最小路徑搜索。ν為D的頂點數(shù)，v0=v01，vi（i=1，…，ν-1），N（vi）為頂點vi的邊集，N-（vi）為頂點vi的入邊集（零件被定位確定的邊），N（vi-1，vi）為頂點vi-1→vi的邊，N1（vi）為頂點vi的互斥邊集（多基準(zhǔn)幾何公差中定位幾何特征的多條邊，在傳遞路徑中只能出現(xiàn)一條），w（vi）為頂點vi的權(quán)，wp（vi，v）為邊vi→v在p方向的權(quán)，Si為中間最小路點集，為中間最小路點集的補集，Pi為中間最小路點集。

算法步驟如下：

步驟1 令i=0，w（v0）=0，w（v）=∞（v≠v0）；S0=｛v0｝，P0=v0。

步驟2 每個頂點可能存在有向邊、無向邊或多基準(zhǔn)對應(yīng)的互斥邊（傳遞路徑中只能出現(xiàn)其中一條）需分類處理，當(dāng)N（vi-1，vi）∈N1（vi）時，v∈（N（vi）-N-（vi）-N1（vi））∩i）；當(dāng)N（vi-1，vi）?N1（vi）時，v∈（N（vi）-N-（vi）-N（vi-1，vi））∩i），用min｛w（vi），｛w（vi）＋wp（vi，v）｝｝替代w（vi）；當(dāng)N（vi，vi＋1）∈N1（vi＋1）時，v∈（N（vi＋1）-N-（vi＋1）-N1（vi＋1））∩）；當(dāng)N（vi，vi＋1）?N1（vi＋1）時，v∈（N（vi＋1）-N-（vi＋1）-N（vi，vi＋1））∩i＋1），vk＋1∈N（vk）∩和vj（j≤k）∈Sk，使（vj，vi＋1）∈E，且vi＋1）；令Si＋1=Si∪｛vi＋1｝，Pi＋1=Pj＋（vj，vi＋1）。

步驟3 若i=ν-1，則停止；若i＜ν-1，則用k＋1替代k，轉(zhuǎn)步驟2。

當(dāng)i=ν-1時，基于最小路邊集Pk，獲得裝配最小路徑

式中m為最小路徑頂點數(shù)。

3 實例分析

基于實驗室的虛擬裝配工藝規(guī)劃（Virtual Assembly Process Planning，VAPP）及其信息管理系統(tǒng)設(shè)計開發(fā)了虛擬環(huán)境下裝配尺寸鏈自動生成模塊，對相關(guān)算法進行了實例驗證。

裝配尺寸鏈自動生成軟件模塊首先通過數(shù)據(jù)接口導(dǎo)入商品化CAD 系統(tǒng)（如Pro／E）中構(gòu)建的三維零件模型，并在虛擬環(huán)境下對導(dǎo)入的三維模型數(shù)據(jù)的精確幾何拓?fù)湫畔⑦M行優(yōu)化與重構(gòu)［15］。通過幾何精度的三維標(biāo)注與交互以及對約束信息和公差信息的處理，構(gòu)建了完備的裝配精度信息層次模型。然后通過幾何公差信息和約束信息構(gòu)建關(guān)聯(lián)矩陣，建立裝配體有向圖，并最終實現(xiàn)了裝配尺寸鏈的自動生成。

下面以減速箱內(nèi)簡化的齒輪軸（如圖6）為例進行分析。

假設(shè)齒輪沿軸切向和法向的定位精度為裝配功能要求（裝配精度），其裝配尺寸鏈的自動生成過程如下：

（1）定義裝配性能特征 根據(jù)裝配精度要求，定義齒輪圓柱面軸線以及滾動軸承內(nèi)表面軸線之間的空間距離為裝配精度要求。

（2）模型的解析與預(yù)處理 通過對模型的解析獲得裝配精度信息模型，將裝配體涉及的公差信息和約束信息進行處理，建立完備的裝配體公差信息層次模型。

（3）公差關(guān)聯(lián)矩陣模型建立 通過對裝配體公差信息的解析，獲得裝配體中的零件公差關(guān)聯(lián)矩陣，以軸為例，對軸所涉及的公差特征依次用數(shù)字形式命名，公差關(guān)聯(lián)矩陣為

（4）裝配關(guān)聯(lián)矩陣建立 通過對零件的接觸關(guān)系以及零件裝配定位解析，建立裝配關(guān)聯(lián)矩陣

（5）裝配體有向圖模型的建立 在裝配體有向圖模型中：公差關(guān)聯(lián)矩陣中，用l表示尺寸公差，用d表示幾何形狀公差；用Δd表示定位定向公差；裝配關(guān)聯(lián)矩陣中，用γ表示僅存在裝配約束，用λ表示僅存在裝配定位，用β表示存在裝配定位和裝配約束，建立如圖7所示的有向圖。

（6）查找偏差傳遞路徑，建立裝配尺寸鏈 根據(jù)裝配精度要求提取裝配精度特征，進行偏差傳遞路徑的查找，得到偏差傳遞路徑如圖8所示；獲得影響裝配精度的公差項以及配合約束關(guān)系，建立裝配尺寸鏈，如圖9所示。

4 結(jié)束語

本文首先建立了裝配尺寸鏈自動生成所需的裝配精度層次化信息模型，最大限度地從CAD 模型中提取特征信息，然后以圖論理論為基礎(chǔ)，運用矩陣?yán)碚撨M行尺寸鏈的自動生成。通過實例證明了所提出的算法能夠反映公差和約束與裝配模型的完整映射關(guān)系，考慮了裝配過程中的公差傳遞方向性和配合約束要求，縮小了尺寸鏈自動搜索的范圍，有效提高了裝配尺寸鏈自動生成的成功率和準(zhǔn)確性。但本文對于幾何公差和配合間隙約束下三維偏差的傳遞路線搜索問題并未進行處理，這些問題將在今后加以重點研究。

［1］WU Zhaotong，YANG Jiangxin.Computer aided optimization design for standard tolerance［M］.Hangzhou：Zhejiang University Press，1999（in Chinese）.［吳昭同，楊將新.計算機輔助公差優(yōu)化設(shè)計［M］.杭州：浙江大學(xué)出版社，1999.］

［2］FRANCIOSA P，PATALANO S，RIVIERE A.3D tolerance specification：an approach for the analysis of the global consistency based on graphs［J］.International Journal on Interactive Design and Manufacturing，2010，4（1）：1-10.

［3］LEE K，GOSSARD D C.A hierarchical data structure for representing assemblies：part I.CAD［J］.Computer-Aided Design，1985，17（1）：15-19.

［4］WANG Nanxin，OZOSY R M.Representation of assemblies for automatic tolerance chain generation［J］.Engineering with Computers，1999，6（2）：121-126.

［5］SDERBERG R，JOHANNESSON H.Tolerance chain detection by geometrical constraint based coupling analysis［J］.Journal of Engineering Design Volume，1999，10（1）：5-24.

［6］ZHANG Y Z，NI J，LIN Z Q，et al.Automated sequencing and sub-assembly detection in automobile body assembly planning［J］.Journal of Material Processing Technology，2002，12（9）：490-494.

［7］LINDKVIST L.Computer-aided tolerance chain and stability analysis［J］.Journal of Engineering Design，2003，14（1）：17-39.

［8］XUE Jianbin，JI Ping.Identifying.Tolerance chains with a surface-chain model in tolerance charting［J］.Journal of Materials Processing Technology，2002，12（3）：93-99.

［9］WANG Heng，NING Ruxin，TANG Chengtong.Automatic geoenration of 3Dassembly dimension chain［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2005，41（6）：181-187（in Chinese）.［王 恒，寧汝新，唐承統(tǒng).三維裝配尺寸鏈的自動生成［J］.機械工程學(xué)報，2005，41（6）：181-187.］

［10］JIANG Simin，LIU Xiangfeng，GAO Zhi，et al.Automatic of matching parts chain based on features of copulation［J］.Journal of Machine Design，2000，17（11）：28-30（in Chinese）.［江思敏，劉向鋒，高 志，等.基于配合特征的配合零件鏈自動生成［J］.機械設(shè)計，2000，17（11）：28-30.］

［11］ZHOU Jiangqi，CHEN Guanlong，LAI Xinmin，et al.Automatic generation of dimension chains for auto body dimensional quality evaluation［J］.Journal of Computer-Aided Design&Computer Graphics，2005，17（5）：1034-1038（in Chinese）.［周江奇，陳關(guān)龍，來新民，等.車身設(shè)計尺寸質(zhì)量評價的裝配尺寸鏈自動生成［J］.計算機輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報，2005，17（5）：1034-1038.］

［12］WANG Yang，WANG Chunhe，GAO Feng，et al.Research on feature-based assembly tolerance chain generating and analyzing automatically［J］.Journal of Computer-Aided Design&Computer Graphics，1998，10（2）：138-144（in Chinese）.［王洋，王春河，高 峰，等.基于特征的裝配尺寸鏈自動生成及分析的研究［J］.計算機輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報，1998，10（2）：138-144.］

［13］ZHANG Xutang，LIU Wenjian，JIN Tianguo.Tri-dimensional assemably tolerance chain analysis for concurrent engineering［J］.Machine Design and Research，2004，20（4）：59-62（in Chinese）.［張旭堂，劉文劍，金天國.面向并行工程的三維裝配公差鏈分析［J］.機械設(shè)計與研究，2004，20（4）：59-62.］

［14］WANG Zhaozheng，ZHANG Weiqiang.Automatic generation of dimension chain based on the assembly database［J］.Machine Design and Manufacturing Engineering，2002，31（5）：12-13（in Chinese）.［王兆證，張維強.基于裝配數(shù)據(jù)庫的尺寸鏈自動生成［J］.機械設(shè)計與制造工程，2002，31（5）：12-13.］

［15］SHI Jiancheng，LIU Jianhua，NING Ruxin et.al.Model date management and optimization technology in virtual assembly system［J］.Computer Integrated Manufacturing Systems，2010，16（11）：2416-2422（in Chinese）.［史建成，劉檢華，寧汝新，等.虛擬裝配系統(tǒng)中的模型數(shù)據(jù)管理與優(yōu)化［J］.計算機集成制造系統(tǒng)，2010，16（11）：2416-2422.］

［16］LIU Jianhua，NING Ruxin，YAO Jun，et al.Research on assembly task based virtual assembly process model［J］.Journal of System Simulation，2005，17（9）：2163-2170（in Chinese）.［劉檢華，寧汝新，姚 珺，等.基于裝配任務(wù)的虛擬裝配工藝研究［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報，2005，17（9）：2163-2170.］

［17］XU Junming.Graph theory and its application［M］.Hefei：Press of University of Science and Technology of China，2006（in Chinese）.［徐俊明.圖論及其應(yīng)用［M］.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2004.］

［18］ZHOU Sihang，LIU Zhenyu，TAN Jianrong.Deviation propagation model of assembly sequence and qualityEvaluation approach based on degree of dimensional variation［J］.Journal of Mechanical Engineering，2011，47（2）：1-8（in Chinese）.［周思杭，劉振宇，譚建榮.基于尺寸變動度的裝配序列公差傳遞模型及質(zhì)量［J］.機械工程學(xué)報，2011，47（2）：1-8.］

［19］LIU Weidong，NING Ruxin，LIU Jianhua，et al.Precision predicting based on directed deviation graph modeling and DH methology［J］.Journal of Mechanical Engineering，2012，48（7）：125-140（in Chinese）.［劉偉東，寧汝新，劉檢華，等.基于公差有向圖和D-H 方法的產(chǎn)品精度預(yù)測技術(shù)［J］.機械工程學(xué)報，2012，48（7）：125-140.］

［20］LIU Weidong，NING Ruxin，LIU Jianhua，et al.Mechanism analysis of deviation sourcing and propagation for mechanical assembly［J］.Journal of Mechanical Engineering，2012，48（1）：156-168（in Chinese）.［劉偉東，寧汝新，劉檢華，等.機械裝配公差源及其公差傳遞機理分析［J］.機械工程學(xué)報，2012，48（1）：156-168.］

［21］CLEMENT A，RIVIEREN A.The TRRS：13constraints for D-dimensioning and tolerance［C］／／Proceedings of the 5th CIRP Seminal on Computer-Aided Tolerancing.Berlin，Germany：Spring-Verlag，1997：122-131.