盧海濤，陳向梟，王 玨，楊旭東，劉敏薔

（北京工業(yè)大學a.環(huán)境與能源工程學院；b.應用數理學院，北京100124）

1 引 言

常見的蛇形擺是由若干個具有不同周期位于同一高度的擺球等間距地排列在成一條直線構成.雖然單擺具有不同周期，但相鄰單擺間具有恒定的頻率差，同時擺動時，擺球間的相對位置將成周期性變化［1-2］.

擺角小于5°單擺的運動可視為簡諧振動［3］.隨著初始角度的增大，單擺周期的相對誤差也逐漸增大［4］.但由于空氣阻力等因素的影響，擺角太小的單擺蛇形擺很快會停止擺動.另外，由于構成蛇形擺的單擺的擺長各不同，很難達到各擺初始擺角相同，也就很難達到更好的視覺效果.與單擺相比較，彈簧振子更容易構成簡諧運動，并且不受運動角度和運動位置的影響.因此，我們將單擺蛇形擺中的單擺用彈簧振子代替，構成豎直運動的彈簧蛇振子.

2 彈簧蛇形振子簡介

彈簧蛇形擺是由若干個具有不同周期的彈簧振子等間距地排列在成一條直線構成的.彈簧振子位于同一高度，當振子底部受到向上的抬升，各振子將作不同周期的簡諧振動.當彈簧的勁度系數為定值時，彈簧的周期只與振子的質量有關.

設計共有周期為T0＝20s，由n＝10個彈簧振子構成的彈簧蛇形振子.彈簧的勁度系數為k.由于共有周期為T0＝20s，則每個彈簧振子的周期ti應為共有周期T0＝20s的整數分之一，即

對于第i個彈簧振子，有

則

又由于

其中Δxi為彈簧靜止時的伸長量.由（3）和（4）式，可得

由（4）式可知彈簧的伸長量受到勁度系數和擺重的共同影響，由（5）式可知彈簧的伸長量與周期有關.為了便于制作，通?？刂粕扉L量Δxi來獲得合理的周期，伸長量取0.2～0.85m，則有：

Ni取正整數，

為了提高精度，取N1＝11，則

取定k值，根據（12）式可以計算出每個彈簧振子的擺重.

3 彈簧蛇形擺的制作

3.1 彈簧的選取

選擇外徑為10mm，內徑為9mm，長為200mm的不銹鋼密繞彈簧，測量其勁度系數約為1.64N／m.當所掛重物越重，其彈性系數越小.先取初始值k＝1.64N／m，計算擺重（如表1），再利用實驗值迭代2～3次，可獲得較為精準的值.

表1 每個彈簧振子的理論值周期和初始擺重

3.2 懸掛重物的制作

根據彈簧的勁度系數計算彈簧振子的擺重.向有機玻璃錐形圓筒內加入不同質量的彩沙，調節(jié)質量（精度為0.01g）.

3.3 組裝重物和彈簧

將重物掛在彈簧上，彈簧與框架用細線連接，細線的長短可通過手擰螺栓調節(jié)，以保證圓筒底部在同一高度.

3.4 校準各個彈簧振子的勁度系數

3.5 微調

重復3.2，3.3，3.4步驟，直到彈簧的實際周期與理論周期的偏差在0.2%以內，一般重復2次就可以達到，最后結果見表2.

表2 每個彈簧振子的理論周期、勁度系數和修正后的擺重

3.6 整體測試

用托盤將所有有機玻璃錐形圓筒向上托起一定高度，并迅速撤去托盤，觀察整體的振動情況.并觀察它的共有周期，與理論值進行比較.結果見表3.圖1～3分別為彈簧振子運動過程中的3種狀態(tài).

表3 每個彈簧振子的理論周期、實際周期及相對誤差

圖1 初始狀態(tài)時的彈簧振子

圖2 正弦狀態(tài)時的彈簧振子

圖3 反相狀態(tài)時的彈簧振子

4 制作中應注意的細節(jié)

1）彈簧不要直接掛在框架上，用直線連接便于調節(jié)各個彈簧振子的整體高度；

2）控制彈簧振子的整體伸長，以避免產生共振現象；

3）對于細小的彈簧，其勁度系數在掛不同重物時，會有微小的變化，必須通過幾次實驗，進行校核調整，以保證彈簧振子的周期與理論值接近；

4）圓筒的容量設計滿足大部分的彈簧振子的擺重，對于擺重在120g以上的彈簧振子，選擇加入一些鐵粉進行調節(jié)重量；

5）用底部為錐形的細長圓筒有利于減小空氣阻尼的影響，可以提高彈簧蛇形擺的整體效果；

6）由于彈簧蛇形擺的整體振動時間過長，所以會有誤差累計，后期的振動會存在一些偏差.

5 結束語

彈簧蛇形振子把傳統(tǒng)的單擺蛇形擺的左右擺動改為上下振動，能夠減小誤差.對于蛇形擺，主要是控制每個擺的周期，來實現整體的周期變化的.而對于彈簧蛇形振子，通過控制每個彈簧所掛重物質量與勁度系數之比，來調整振動周期，以實現整體周期變化.當加入不同顏色的細沙，彈簧蛇形振子運動起來，提高了觀賞性.所以與傳統(tǒng)的單擺蛇形擺相比，彈簧蛇形振子則更是一種較為理想的簡諧振動演示裝置.

［1］薄春衛(wèi)，孔祥明，賈肖嬋，等.蛇擺的研究與制作［J］.物理實驗，2012，32（4）：27-29.

［2］熊德永.第27屆中學物理競賽復賽STS試題分類解析［J］.物理教學，2011，33（3）：56-58.

［3］吳華平，鄧遲，尹紹全，等.單擺實驗中sinθ≈θ近似對周期的影響［J］.中國科教創(chuàng)新導刊，2007（20）：58.

［4］秦鳴雷，肖一凡，楊海亮，等.大角度下阻尼對單擺擺動周期的影響［J］.物理實驗，2012，32（5）：42-45.

［5］張三慧.大學物理學（力學、熱學）［M］.北京：清華大學出版社，2008：187-192.