任嵐，趙金洲，胡永全，裴鈺

(1. 西南石油大學(xué) 油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都，610500；

2. 中石油川慶鉆探工程有限公司 地質(zhì)勘探開發(fā)研究院，四川 成都，610500)

礦場壓裂實(shí)踐證實(shí)裂縫性地層水力裂縫可能會延伸為復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)裂縫體系[1?2]。室內(nèi)實(shí)驗(yàn)研究表明在低逼近角和低應(yīng)力差下水力裂縫傾向沿天然裂縫轉(zhuǎn)向延伸[3?9]。Blanton[10]認(rèn)為當(dāng)天然裂縫內(nèi)流體壓力超過作用在其上的正應(yīng)力時天然裂縫將發(fā)生張開破裂。Renshaw等[11]基于摩擦理論建立了水力裂縫與天然裂縫正交作用準(zhǔn)則，認(rèn)為天然裂縫界面摩擦因數(shù)越小，水力裂縫越容易沿天然裂縫擴(kuò)展。Potluri等[12]基于現(xiàn)有的相交作用準(zhǔn)則，就天然裂縫對水力裂縫延伸路徑的影響進(jìn)行了系統(tǒng)分析。近年來，不少研究者采用數(shù)值模擬方法對裂縫性地層天然裂縫對水力裂縫延伸影響進(jìn)行了研究分析[13?16]，研究結(jié)果基本證實(shí)了室內(nèi)實(shí)驗(yàn)的可靠性，同時也證實(shí)水力裂縫延伸受到地應(yīng)力非均質(zhì)性、巖石強(qiáng)度、天然裂縫膠結(jié)狀況和逼近角等多因素的影響。目前的研究集中在裂縫性地層水力裂縫擴(kuò)展方向和影響因素分析上，而沒有對水力裂縫非平面延伸特征進(jìn)行相關(guān)研究和討論。本文作者建立了裂縫性儲層水力裂縫延伸的數(shù)學(xué)模型和相應(yīng)的數(shù)值求解方法，分析裂縫性地層水力裂縫非平面延伸特征。

1 水力裂縫相交天然裂縫的延伸方向判斷

采用Blanton準(zhǔn)則[10]和Potluri[12]準(zhǔn)則的修正方程判斷水力裂縫延伸方向。當(dāng)天然裂縫內(nèi)的流體壓力超過垂直作用在天然裂縫面上的正應(yīng)力σn，天然裂縫張開破裂：

其中：

式中：σ1為水平最大地應(yīng)力，MPa；σ3為水平最小地應(yīng)力，MPa；θ為天然裂縫與水平最大地應(yīng)力的夾角，也稱逼近角，(°)。

當(dāng)水力裂縫與天然裂縫交點(diǎn)處的流體壓力大于σt+To，水力裂縫穿過天然裂縫：

式中：To為巖石的抗張強(qiáng)度，MPa。

其中：

采用式(1)和式(3)可以判斷水力裂縫延伸路徑。

2 沿天然裂縫轉(zhuǎn)向延伸的等效平面裂縫

水力裂縫相交天然裂縫后的延伸路徑會出現(xiàn)2種情況，一是沿天然裂縫轉(zhuǎn)向延伸；二是穿過天然裂縫直接延伸。圖1描述了上述2種情況的延伸路徑。

圖1 水力裂縫相交天然裂縫后的不同延伸路徑Fig. 1 Different propagation pathway of hydraulic fracture intersecting with natural fracture

若水力裂縫直接穿過天然裂縫，水力裂縫為平面裂縫，這時候作用在延伸裂縫上的正應(yīng)力等于遠(yuǎn)場最小地應(yīng)力σ3，為連續(xù)分布。若水力裂縫沿天然裂縫轉(zhuǎn)向延伸，對于延伸裂縫中的天然裂縫轉(zhuǎn)向段，作用在延伸裂縫上的正應(yīng)力等于σn。這時候整個延伸裂縫上的正應(yīng)力為非連續(xù)分布。將圖1中轉(zhuǎn)向延伸路徑用非連續(xù)正應(yīng)力分布的平面裂縫表示，可得到水力裂縫沿天然裂縫轉(zhuǎn)向延伸路徑的等效平面裂縫，如圖2所示。

圖2 水力裂縫轉(zhuǎn)向延伸的等效裂縫延伸路徑Fig. 2 Equivalent propagation pathway of hydraulic fracture extending along natural fracture

3 裂縫延伸的數(shù)學(xué)模型

3.1 模型假設(shè)

在模型建立時做以下假設(shè)：(1) 裂縫張開變形為線彈性行為；(2) 流體為黏性牛頓流體，不考慮縫端流體滯后現(xiàn)象；(3) 水力裂縫垂直剖面為橢圓；(4) 天然裂縫為垂直縫，水力裂縫和天然裂縫高度都等于油層厚度；(5) 水力裂縫前沿為自由移動邊界。

3.2 裂縫縫寬方程

基于 England和 Green[17]推導(dǎo)的縫寬方程，考慮垂向上的平面應(yīng)變假設(shè)，忽略了垂直方向上的流體壓力梯度，由于裂縫延伸路徑上水力裂縫受到的正應(yīng)力σn(x)可能不連續(xù)，為此，在裂縫延伸路徑上任何位置處裂縫剖面中心寬度為：

式中：W(x)為延伸路徑上x處的最大縫寬，m；E為巖石彈性模量，MPa；hf為裂縫縫高，m；ν為巖石泊松比；σn(x)為延伸路徑上x處裂縫面受到的正應(yīng)力，MPa；p(x)為延伸路徑上x處的流體壓力，MPa。

3.3 縫內(nèi)流體流動方程

由于壓裂液的流動，裂縫內(nèi)的流體壓力不為常數(shù)，取決于注入排量q和流體黏度μ，在寬度為W的平行平板內(nèi)的牛頓流體流動方程為：

Lamb[18]認(rèn)為橢圓形裂縫內(nèi)的流動壓降是平行板內(nèi)的16/3π倍，修正的流動方程為：

3.4 物質(zhì)平衡方程

注入裂縫內(nèi)的流體量等于裂縫體積變化量和濾失量之和，可得物質(zhì)平衡方程為[19]：

式中：q(x,t)為流過x位置點(diǎn)裂縫橫截面的體積流量，m3/min；qL(x,t)為x位置點(diǎn)單位裂縫長度濾失到地層的體積流量，m2/min；A(x,t)為x位置點(diǎn)裂縫的橫截面面積，m2；t為壓裂施工時間，min。

qL(x,t)可通過Carter濾失模型計(jì)算[20]：

式中：τ(x)為裂縫中x點(diǎn)開始濾失的時間，min；cL為壓裂液濾失系數(shù)，m/min1/2。

裂縫橫截面面積為：

將式(7)、式(9)和式(10)代入式(8)可得：

3.5 求解條件

式中：L(t)為施工時間為t時刻的裂縫延伸長度，m；Qo為注入排量，m3/min。

3.6 壓裂液的濾失計(jì)算

基質(zhì)的濾失采用濾失模型式(9)計(jì)算。水力裂縫與天然裂縫交點(diǎn)處的濾失采用 Dong[21?22]推導(dǎo)的等效濾失系數(shù)方法計(jì)算。交點(diǎn)處的濾失系數(shù)為：

式中：Lnat為天然裂縫參與濾失的長度，m；Leff為水力裂縫垂直方向上在1 s內(nèi)壓力上升到水力裂縫內(nèi)壓力90%的最大距離。

3.7 時間步長的計(jì)算

求解模型中，水力裂縫前緣為自由邊界，為了探測水力延伸裂縫是否相遇天然裂縫，因此，假設(shè)每一時間步在裂縫前緣增加相等長度的縫長增長量Δx，這樣將會導(dǎo)致每一時間步的時間變化量Δt為求解變量?；诹髁縌o滿足裂縫存儲和濾失兩者的體積平衡，可以得到關(guān)于時間變化量Δt的求解方程為：

4 數(shù)學(xué)模型的求解方法

描述水力裂縫延伸的式(5)和式(11)為非線性方程組，采用隱式有限差分法進(jìn)行求解。

4.1 物質(zhì)平衡方程的差分格式

與經(jīng)典 PKN 模型求解不同[23?24]，文中的修正模型選擇縫內(nèi)流體壓力為求解變量，沿縫長方向進(jìn)行網(wǎng)格剖分，采用中心差分格式，可得物質(zhì)平衡方程的有限差分方程為：

式(16)構(gòu)成了壓力變量pi的三對角方程組(i=1,2, …,N)。然而，Win，α和β也為未知變量，縫寬方程式(5)描述了縫寬與流體壓力之間的關(guān)系為：

可見，式(16)和式(17)存在變量相互作用和影響，為此，每個時間步都需要采用它們一起進(jìn)行耦合求解。

4.2 時間步長的離散計(jì)算

對式(15)在縫長方向上離散，可得：

式中：m為當(dāng)前時間步的裂縫網(wǎng)格數(shù)。

5 計(jì)算與討論

基于本文建立的裂縫延伸模型求解方法，采用東部某油田基本參數(shù)，對水力裂縫轉(zhuǎn)向延伸特征進(jìn)行計(jì)算討論?；緟?shù)：水平最大地應(yīng)力44 MPa；水平最小地應(yīng)力39 MPa；巖石彈性模量2.5×104MPa；巖石抗張強(qiáng)度4.5 MPa；巖石泊松比0.22；壓裂液黏度120 mPa·s；壓裂液濾失系數(shù) 5.4×10?4m/min0.5；注入排量5 m3/min；水力裂縫高度20 m；水力裂縫延伸長度80 m；天然裂縫離井眼距離20 m；天然裂縫半長10 m。

圖3給出了水力裂縫轉(zhuǎn)向延伸(逼近角為30°)和直接延伸(逼近角為 80°)情況下水力裂縫延伸路徑上最大縫寬變化規(guī)律。從圖3可見：穿過天然裂縫直接延伸的縫寬為連續(xù)分布；而沿天然裂縫轉(zhuǎn)向延伸的縫寬則為非連續(xù)分布，在轉(zhuǎn)向延伸段明顯減小，這是由于轉(zhuǎn)向段裂縫面受到的正應(yīng)力大于非轉(zhuǎn)向段導(dǎo)致的作用結(jié)果。

圖3 不同延伸模式下裂縫縫長方向上的寬度分布Fig. 3 Maximum fracture width distribution along length direction of hydraulic fracture for different propagation modes

圖4 給出了水力裂縫轉(zhuǎn)向延伸(逼近角為30°)和直接延伸(逼近角為 80°)情況下水力裂縫延伸路徑上的流體壓力分布。相比直接延伸，轉(zhuǎn)向延伸時受轉(zhuǎn)向段(20～30 m)節(jié)流效應(yīng)導(dǎo)致流體壓力梯度增加的影響，使得轉(zhuǎn)向段到井眼的縫內(nèi)流體壓力有一定程度的上升，結(jié)合圖3可見，這種作用效應(yīng)將導(dǎo)致從轉(zhuǎn)向段到井眼的縫寬有一定程度的增加。

圖5給出了轉(zhuǎn)向延伸段分別為10 m和20 m長情況下水力裂縫延伸路徑上流體壓力分布。由圖5可見：轉(zhuǎn)向裂縫長度越長，井底壓力增加越多，這是由于轉(zhuǎn)向段越長導(dǎo)致轉(zhuǎn)向裂縫段節(jié)流效應(yīng)越強(qiáng)產(chǎn)生的作用結(jié)果。

圖4 不同延伸模式下裂縫縫長方向上的流體壓力分布Fig. 4 Fluid pressure distribution along length direction of hydraulic fracture for different propagation modes

圖5 不同轉(zhuǎn)向長度下裂縫縫長方向上的流體壓力分布Fig. 5 Fluid pressure distribution along length direction of hydraulic fracture for different reorientation length

圖6 顯示了不同轉(zhuǎn)向段長度對水力裂縫延伸路徑上縫寬分布的影響。由圖6可見：轉(zhuǎn)向延伸裂縫長度越長，縫寬減小的范圍越大，但縫寬減小的幅度卻變小。這是由于轉(zhuǎn)向段越長，轉(zhuǎn)向段節(jié)流效應(yīng)越強(qiáng)導(dǎo)致縫內(nèi)流體壓力增加的越多，從而導(dǎo)致轉(zhuǎn)向段內(nèi)的縫寬又有小幅度增加。

圖7顯示了不同轉(zhuǎn)向次數(shù)對水力裂縫延伸路徑上流體壓力分布的影響。由圖7可見：水力裂縫轉(zhuǎn)向延伸次數(shù)越多，縫內(nèi)的流體壓力越高，且流體壓力發(fā)生影響的范圍也越大。

圖6 不同轉(zhuǎn)向長度下裂縫縫長方向上的寬度分布Fig. 6 Maximum fracture width distribution along length direction of hydraulic fracture for different reorientation length

圖7 不同轉(zhuǎn)向次數(shù)下裂縫縫長方向上的流體壓力分布Fig. 7 Fluid pressure distribution along length direction of hydraulic fracture for different reorientation number of times

圖8 顯示了不同轉(zhuǎn)向次數(shù)對水力裂縫延伸路徑上縫寬分布的影響。由圖8可見：無論是1次轉(zhuǎn)向還是多次轉(zhuǎn)向，水力裂縫轉(zhuǎn)向延伸段的縫寬都有明顯的減小，受多次轉(zhuǎn)向?qū)p內(nèi)流體壓力升高的影響，在相同轉(zhuǎn)向段，2次轉(zhuǎn)向下的縫寬較1次轉(zhuǎn)向下的縫寬要寬。

圖8 不同轉(zhuǎn)向次數(shù)下裂縫縫長方向上的寬度分布Fig. 8 Maximum fracture width distribution along length direction of hydraulic fracture for different reorientation number of times

6 結(jié)論

(1) 模擬計(jì)算表明，水力裂縫沿天然裂縫轉(zhuǎn)向延伸時，水力裂縫在延伸路徑上的縫寬為非連續(xù)分布，在轉(zhuǎn)向延伸段的縫寬明顯減小，轉(zhuǎn)向段流體壓力梯度增大，導(dǎo)致井底施工壓力升高。

(2) 水力裂縫轉(zhuǎn)向延伸次數(shù)越多或轉(zhuǎn)向延伸段長度越長，水力裂縫延伸方向上縫寬減小范圍越大，井底施工壓力上升的越高，對壓裂施工的影響則越大。

(3) 建立的裂縫性地層水力裂縫延伸數(shù)學(xué)模型可用來模擬裂縫性地層中水力裂縫非平面延伸的裂縫幾何形態(tài)特征和流體壓力變化規(guī)律，為裂縫性地層壓裂工藝參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)，具有重要的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。

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