何謂生成？生成就是創(chuàng)生、建構(gòu)或生長.《現(xiàn)代漢語規(guī)范詞典》把生成解釋為產(chǎn)生、形成.產(chǎn)生就是出現(xiàn)，是從已有的事物中生長出新事物新現(xiàn)象；形成就是經(jīng)過發(fā)展變化而成為.可以說，學習過程就是不斷生成的過程——生成新的知識，新的見解，新的能力.而這個生成，有學習者的自我生成，比如，自學所得，思考所得，也有學習者在教師幫助下的生成.目前，談得比較多的是教師對生成性資源的利用問題，而如何幫助學生生成卻談得不多——本文就此談點看法，希望能得到您的指教.

1 有預設才會生成得更好、更完美

生成可分為兩類，一類是我們預設下的現(xiàn)象，另一類是我們不曾預設到的現(xiàn)象.我們期望出現(xiàn)未曾預約的精彩，但美化、強調(diào)生成，貶低、弱化預設，不是正確的選擇.因為只有好的預設，才會生成得更好、更完美.

例1 已知函數(shù)y=f（x）對任意x∈R，恒有f（x）=f（2a-x），求證f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對稱.

在高一年級的同課異構(gòu)活動中，兩位老師都講到這個例題.一個教師在講授中直接就取y=f（x）圖像上的任意一點P（x0，y0），這一點關(guān)于直線x=a的對稱點為P′（2a-x0，y0），由于y0=f（x0），且對任意x∈R，恒有f（x）=f（2a-x），所以y0=f（2a-x0），也就是說點P（x0，y0）在函數(shù)f（x）的圖像上時，點P′（2a-x0，y0）也在函數(shù)f（x）的圖像上，此兩點關(guān)于直線x=a對稱，由任意性可知f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對稱.

一個學生說：“老師，為什么要這樣證明呢？不是很明白.”結(jié)果，老師又重新再講一遍.

另一位教師，先從y=x2講起，指出它的對稱軸是y軸，即直線x=0.這是大家都知道的事實，教師進一步啟發(fā)：“為什么對稱軸是x=0.”

學生1回答：“因為圖像上的點（1，1），（-1，1）關(guān)于x=0對稱；（-2，4），（2，4）也關(guān)于x=0對稱，還有無數(shù)這樣的對稱點，所以圖像關(guān)于x=0對稱.”

教師：“這位同學的思路是對的，但不能僅用幾個點來說明——即使說明了還有無數(shù)這樣的對稱點，也不能說，圖像就對稱，要怎么表述才準確呢？”

學生2：“任意取一點，再說明這個點關(guān)于x=0的對稱點也在圖像上就可以了.”

教師：“是的，只要取一點P（x0，y0），再說明P′（-x0，y0）也在圖像上即可.”

教師再問：“如何證明y=x2+2x+3關(guān)于x=-1對稱？”

……

經(jīng)過這一番討論和思考，再來證明上面的例題，就水到渠成了.學生也就不會說聽不明白了.

前一個教師的講解，讓人覺得突兀，沒有抓手，高估了學生.后一個教師的講解，有鋪墊，有啟發(fā)，符合由特殊到一般、由具體到抽象的認識規(guī)律.當然，效果就不一樣.這個顯然與教師的備課有關(guān)，即與備課時的預設有關(guān).

生成，不僅僅是旁逸斜出才叫生成，正確理解知識、理解方法也是一種生成.2 教師的啟發(fā)誘導是學生生成的重要來源

學習是一種生成，運用也是一種生成.只有不斷生成，學習才會進步.而學生內(nèi)部的生成，教師往往是看不到的，但卻是潛藏在學生的心里，增厚在大腦皮層里.所以，教師的啟發(fā)誘導就很重要.比如：

例2 已知△ABC是銳角三角形，求證：sinA+sinB+sinC>；cosA+cosB+cosC.

很多學生無從下手，老師想到的往往也是和差化積，不會用△ABC是銳角三角形的隱含條件.其實，△ABC是銳角三角形可轉(zhuǎn)化為下列式子：

A+B>；π2，

B+C>；π2，

C+A>；π2，

0<；A，B，C<；π2，可得π2>；A>；π2-B>；0，

π2>；B>；π2-C>；0，

π2>；C>；π2-A>；0，可得sinA>；sin（π2-B）=cosB，

sinB>；cosC，

sinC>；cosA.

三式相加即得sinA+sinB+sinC>；cosA+cosB+cosC.

經(jīng)過講解，學生理解了，掌握了，以后碰到類似問題能想到這樣的方法.比如：

題目 已知偶函數(shù)f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減，α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則（ ）.

A.f（sinα）>；f（sinβ）B.f（sinα）<；f（cosβ）

C.f（sinα）>；f（cosβ）D.f（cosα）<；f（cosβ）

學生分析 由π2<；α+β<；π，得0<；π2-β<；α<；π2，根據(jù)y=sinx在[0，π2]是遞增的，得0<；sin（π2-β）=cosβ<；sinα<；1.又偶函數(shù)f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減，所以f（x）在[0，1]單調(diào)遞增，所以f（cosβ）<；f（sinα），選C.

由此可見，教師先前的講解起到了作用.也就是說，教師的啟發(fā)誘導是學生生成的重要來源.3 了解學情是有效生成的重要途徑

學生是學習的主體，教師只有全面了解學生，才能使教師的教更有效地服務于學生的學，促進學生的生成.正如著名特級教師于猗所指出的：學生的情況、特點，要努力認識，悉心研究，知之準，識之深，才能教在點子上，教出好效果.

例3 已知數(shù)列{an}滿足an+1+an-1=2an，n≥2，點O是平面上不在l上的任意一點，l上有不重合的點A，B，C，又知a2OA+a2015OC=OB，則S2016=（ ）.

A.1007 B.2016 C.2015 D.1008

數(shù)列{an}滿足an+1+an-1=2an，n≥2，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，這是學生知道的，如果由A，B，C共線，且滿足a2OA+a2015OC=OB，可以得到a2+a2015=1，若學生不知道，此時，要生成就比較困難.

所以引入這個例子的時候，最好能先證明：點O是平面上不在l上的任意一點，A，B，C在l上的充要條件是存在實數(shù)λ，使λOA+（1-λ）OC=OB.

否則，要由這些條件得到a2+a2015=1，就增加了生成的難度.

我們不時看到，學生有聽不明白的情況，往往就是沒有充分了解學生造成的.要了解學生，包括了解學生的原有經(jīng)驗、前概念、認知方式以及學生的情感、態(tài)度、價值觀等.只有了解學情，教學才可能有的放矢.4 學生的生澀生成是教師幫助學生正確生成的重要通道

4.1 利用錯誤資源

錯誤不可怕，可怕的是不去改正錯誤.利用錯誤資源，一方面是修正錯誤，另一方面是從錯誤中得到啟發(fā)，生成正確的東西.

例4 設M={a，b，c}，N={xxM}，則M與N的關(guān)系是（ ）.

A.M∈N B.N∈M C.MN D.NM

這是一道很容易出錯的題，學生容易從M，N為集合這個表面現(xiàn)象選C或D.

事實上，因為N={xxM}，所以N={φ，{a}，，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}}，此時M，N不是集合與集合的關(guān)系，而是元素與集合的關(guān)系，故選A.

無獨有偶，我們來看看一道由韓國高考數(shù)學題改編的問題：

題目 下面是學生甲和學生乙爭論集合的部分內(nèi)容：

甲：我們能夠想象到的集合之全體的集合叫做S，那么

（a）S將S自身作為元素所有，是吧？

乙：那不成體統(tǒng)，哪有那樣的事？

甲：好，那么（b）不把自己本身作為元素的集合之全體的集合又怎么樣呢？

以數(shù)學方式表達上述爭論中帶有底線的（a），（b），哪一項最好？（ ）

A.S∈S，{A|A∈A，A是集合}；

B.S∈S，{A|AA，A是集合}；

C.S∈S，{A|AA，A是集合}；

D.SS，{A|AA，A是集合}.

試題通過考查學生對集合主要符號和不同含義的思考和理解來檢驗學生是否真正懂得了集合和元素之間的關(guān)系，涉及對集合本質(zhì)的認識理解，帶有邏輯思維訓練的因素，與例4有異曲同工之妙.本題選項C是比較準確的選擇.

4.2 利用正確生成卻生成不下去的資源

利用生成性資源，包括正確生成卻生成不下去的資源的利用.比如：

例5 已知△ABC中∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a，b，c，acosA+bcosB=ccosC，試判斷△ABC的形狀.

把式子acosA+bcosB=ccosC化角或者化邊，是常見思路，學生也懂.一些學生把式子化成

a·b2+c2-a22bc+b·c2+a2-b22ca=c·a2+b2-c22ab后，以為太繁就做不下去了，其實兩邊同乘以2abc，可得

a2（b2+c2-a2）+b2（c2+a2-b2）=c2（a2+b2-c2），整理可得

2a2b2-a4-b4+c4=0，即c4-（a2-b2）2=0，即（c2+a2-b2）（c2-a2+b2）=0，即c2+a2=b2或c2+b2=a2，所以△ABC是∠B或∠A為直角的直角三角形.

同樣化角也會遇到一些困難，教師要幫助學生掃清障礙：

因為acosA+bcosB=ccosC，所以sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，所以sin2A+sin2B=sin2C=sin（2π-2A-2B）=-sin（2A+2B），

所以0=sin2A+sin2B+sin（2A+2B）

=sin2A+sin2B+sin2Acos2B+sin2Bcos2A

=sin2A（1+cos2B）+sin2B（1+cos2A）

=4sinAcosA（cosB）2+4sinBcosB（cosA）2

=4cosAcosBsin（A+B）.

因為sin（A+B）=sin（π-C）=sinC>；0，所以cosA=0或cosB=0，所以A=π2或B=π2.所以△ABC是∠B或∠A為直角的直角三角形.

知識不夠，不可能生成，或者生成不下去，同樣，方法不對、能力不強，也會生成得不好.此時，教師的幫助就很重要.5 教師應鼓勵學生敢于表達

有些學生生怕自己的生成不夠成熟，羞于表達，教師應給學生足夠的心理安全空間，就是有錯誤，有瑕疵，也要鼓勵.比如：

例6 如圖，已知單位圓上有四點E1，0，Acosθ，sinθ，Bcos2θ，sin2θ，Ccos3θ，sin3θ，0<；θ≤π3，

分別設△OAC、△ABC的面積為S1和S2.

（1）用sinθ，cosθ表示S1和S2；

（2）求S1cosθ+S2sinθ的最大值及取最大值時θ的值.

教師解析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，知∠xOA=θ，∠xOB=2θ，∠xOC=3θ，所以∠xOA=∠AOB=∠BOC=θ，所S1=12·1·1·sin3θ-θ=12sin2θ=sinθcosθ.

又因為S1+S2=四邊形OABC的面積=12·1·1·sinθ+12·1·1·sinθ=sinθ，所以S2=sinθ-12sin2θ=sinθ1-cosθ.

（2）由（1）知S1cosθ+S2sinθ=sinθcosθcosθ+sinθ1-cosθsinθ=sinθ-cosθ+1=2sinθ-π4+1.因為0<；θ≤π3，所以-π4<；θ-π4≤π12，所以-22<；sin（θ-π4）≤sinπ12=6-24，

所以S1cosθ+S2sinθ的最大值為3+12，此時θ的值為π3.

講到這里，一個學生提出：“老師，得到sinθ-cosθ+1，在0<；θ≤π3條件下，可以直接求出最值.”

老師鼓勵：“說說看.”

學生：“因為當0<；θ≤π3時，y=sinθ是增函數(shù)，cosθ是減函數(shù)，所以-cosθ是增函數(shù)，所以sinθ-cosθ+1是關(guān)于θ的增函數(shù)，θ=π3時可得到最大值.”

老師點頭表示贊許：“很好.多數(shù)情況下，都要把類似問題化為一個角的三角函數(shù)，但針對本題的特殊情況，用此方法確實節(jié)省了時間.”

鼓勵學生表達，不僅該學生受益，其它學生也得到了啟發(fā)，也是一種生成.

總之，幫助學生學會生成，是教師的一項重要任務.幫助學生生成，教師要加強理論學習，要增強實踐性智慧，要能容納不同的聲音，要了解學情，要精心預設，等等.

作者簡介 童其林，男，1963年生，福建永定人，中學高級教師，省級骨干教師，省級學科帶頭人，福建省特級教師，龍巖市杰出人民教師，曾有200余篇文章發(fā)表，主要從事教學管理研究與數(shù)學教學研究.

所以引入這個例子的時候，最好能先證明：點O是平面上不在l上的任意一點，A，B，C在l上的充要條件是存在實數(shù)λ，使λOA+（1-λ）OC=OB.

否則，要由這些條件得到a2+a2015=1，就增加了生成的難度.

我們不時看到，學生有聽不明白的情況，往往就是沒有充分了解學生造成的.要了解學生，包括了解學生的原有經(jīng)驗、前概念、認知方式以及學生的情感、態(tài)度、價值觀等.只有了解學情，教學才可能有的放矢.4 學生的生澀生成是教師幫助學生正確生成的重要通道

4.1 利用錯誤資源

錯誤不可怕，可怕的是不去改正錯誤.利用錯誤資源，一方面是修正錯誤，另一方面是從錯誤中得到啟發(fā)，生成正確的東西.

例4 設M={a，b，c}，N={xxM}，則M與N的關(guān)系是（ ）.

A.M∈N B.N∈M C.MN D.NM

這是一道很容易出錯的題，學生容易從M，N為集合這個表面現(xiàn)象選C或D.

事實上，因為N={xxM}，所以N={φ，{a}，，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}}，此時M，N不是集合與集合的關(guān)系，而是元素與集合的關(guān)系，故選A.

無獨有偶，我們來看看一道由韓國高考數(shù)學題改編的問題：

題目 下面是學生甲和學生乙爭論集合的部分內(nèi)容：

甲：我們能夠想象到的集合之全體的集合叫做S，那么

（a）S將S自身作為元素所有，是吧？

乙：那不成體統(tǒng)，哪有那樣的事？

甲：好，那么（b）不把自己本身作為元素的集合之全體的集合又怎么樣呢？

以數(shù)學方式表達上述爭論中帶有底線的（a），（b），哪一項最好？（ ）

A.S∈S，{A|A∈A，A是集合}；

B.S∈S，{A|AA，A是集合}；

C.S∈S，{A|AA，A是集合}；

D.SS，{A|AA，A是集合}.

試題通過考查學生對集合主要符號和不同含義的思考和理解來檢驗學生是否真正懂得了集合和元素之間的關(guān)系，涉及對集合本質(zhì)的認識理解，帶有邏輯思維訓練的因素，與例4有異曲同工之妙.本題選項C是比較準確的選擇.

4.2 利用正確生成卻生成不下去的資源

利用生成性資源，包括正確生成卻生成不下去的資源的利用.比如：

例5 已知△ABC中∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a，b，c，acosA+bcosB=ccosC，試判斷△ABC的形狀.

把式子acosA+bcosB=ccosC化角或者化邊，是常見思路，學生也懂.一些學生把式子化成

a·b2+c2-a22bc+b·c2+a2-b22ca=c·a2+b2-c22ab后，以為太繁就做不下去了，其實兩邊同乘以2abc，可得

a2（b2+c2-a2）+b2（c2+a2-b2）=c2（a2+b2-c2），整理可得

2a2b2-a4-b4+c4=0，即c4-（a2-b2）2=0，即（c2+a2-b2）（c2-a2+b2）=0，即c2+a2=b2或c2+b2=a2，所以△ABC是∠B或∠A為直角的直角三角形.

同樣化角也會遇到一些困難，教師要幫助學生掃清障礙：

因為acosA+bcosB=ccosC，所以sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，所以sin2A+sin2B=sin2C=sin（2π-2A-2B）=-sin（2A+2B），

所以0=sin2A+sin2B+sin（2A+2B）

=sin2A+sin2B+sin2Acos2B+sin2Bcos2A

=sin2A（1+cos2B）+sin2B（1+cos2A）

=4sinAcosA（cosB）2+4sinBcosB（cosA）2

=4cosAcosBsin（A+B）.

因為sin（A+B）=sin（π-C）=sinC>；0，所以cosA=0或cosB=0，所以A=π2或B=π2.所以△ABC是∠B或∠A為直角的直角三角形.

知識不夠，不可能生成，或者生成不下去，同樣，方法不對、能力不強，也會生成得不好.此時，教師的幫助就很重要.5 教師應鼓勵學生敢于表達

有些學生生怕自己的生成不夠成熟，羞于表達，教師應給學生足夠的心理安全空間，就是有錯誤，有瑕疵，也要鼓勵.比如：

例6 如圖，已知單位圓上有四點E1，0，Acosθ，sinθ，Bcos2θ，sin2θ，Ccos3θ，sin3θ，0<；θ≤π3，

分別設△OAC、△ABC的面積為S1和S2.

（1）用sinθ，cosθ表示S1和S2；

（2）求S1cosθ+S2sinθ的最大值及取最大值時θ的值.

教師解析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，知∠xOA=θ，∠xOB=2θ，∠xOC=3θ，所以∠xOA=∠AOB=∠BOC=θ，所S1=12·1·1·sin3θ-θ=12sin2θ=sinθcosθ.

又因為S1+S2=四邊形OABC的面積=12·1·1·sinθ+12·1·1·sinθ=sinθ，所以S2=sinθ-12sin2θ=sinθ1-cosθ.

（2）由（1）知S1cosθ+S2sinθ=sinθcosθcosθ+sinθ1-cosθsinθ=sinθ-cosθ+1=2sinθ-π4+1.因為0<；θ≤π3，所以-π4<；θ-π4≤π12，所以-22<；sin（θ-π4）≤sinπ12=6-24，

所以S1cosθ+S2sinθ的最大值為3+12，此時θ的值為π3.

講到這里，一個學生提出：“老師，得到sinθ-cosθ+1，在0<；θ≤π3條件下，可以直接求出最值.”

老師鼓勵：“說說看.”

學生：“因為當0<；θ≤π3時，y=sinθ是增函數(shù)，cosθ是減函數(shù)，所以-cosθ是增函數(shù)，所以sinθ-cosθ+1是關(guān)于θ的增函數(shù)，θ=π3時可得到最大值.”

老師點頭表示贊許：“很好.多數(shù)情況下，都要把類似問題化為一個角的三角函數(shù)，但針對本題的特殊情況，用此方法確實節(jié)省了時間.”

鼓勵學生表達，不僅該學生受益，其它學生也得到了啟發(fā)，也是一種生成.

總之，幫助學生學會生成，是教師的一項重要任務.幫助學生生成，教師要加強理論學習，要增強實踐性智慧，要能容納不同的聲音，要了解學情，要精心預設，等等.

作者簡介 童其林，男，1963年生，福建永定人，中學高級教師，省級骨干教師，省級學科帶頭人，福建省特級教師，龍巖市杰出人民教師，曾有200余篇文章發(fā)表，主要從事教學管理研究與數(shù)學教學研究.

所以引入這個例子的時候，最好能先證明：點O是平面上不在l上的任意一點，A，B，C在l上的充要條件是存在實數(shù)λ，使λOA+（1-λ）OC=OB.

否則，要由這些條件得到a2+a2015=1，就增加了生成的難度.

我們不時看到，學生有聽不明白的情況，往往就是沒有充分了解學生造成的.要了解學生，包括了解學生的原有經(jīng)驗、前概念、認知方式以及學生的情感、態(tài)度、價值觀等.只有了解學情，教學才可能有的放矢.4 學生的生澀生成是教師幫助學生正確生成的重要通道

4.1 利用錯誤資源

錯誤不可怕，可怕的是不去改正錯誤.利用錯誤資源，一方面是修正錯誤，另一方面是從錯誤中得到啟發(fā)，生成正確的東西.

例4 設M={a，b，c}，N={xxM}，則M與N的關(guān)系是（ ）.

A.M∈N B.N∈M C.MN D.NM

這是一道很容易出錯的題，學生容易從M，N為集合這個表面現(xiàn)象選C或D.

事實上，因為N={xxM}，所以N={φ，{a}，，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}}，此時M，N不是集合與集合的關(guān)系，而是元素與集合的關(guān)系，故選A.

無獨有偶，我們來看看一道由韓國高考數(shù)學題改編的問題：

題目 下面是學生甲和學生乙爭論集合的部分內(nèi)容：

甲：我們能夠想象到的集合之全體的集合叫做S，那么

（a）S將S自身作為元素所有，是吧？

乙：那不成體統(tǒng)，哪有那樣的事？

甲：好，那么（b）不把自己本身作為元素的集合之全體的集合又怎么樣呢？

以數(shù)學方式表達上述爭論中帶有底線的（a），（b），哪一項最好？（ ）

A.S∈S，{A|A∈A，A是集合}；

B.S∈S，{A|AA，A是集合}；

C.S∈S，{A|AA，A是集合}；

D.SS，{A|AA，A是集合}.

試題通過考查學生對集合主要符號和不同含義的思考和理解來檢驗學生是否真正懂得了集合和元素之間的關(guān)系，涉及對集合本質(zhì)的認識理解，帶有邏輯思維訓練的因素，與例4有異曲同工之妙.本題選項C是比較準確的選擇.

4.2 利用正確生成卻生成不下去的資源

利用生成性資源，包括正確生成卻生成不下去的資源的利用.比如：

例5 已知△ABC中∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a，b，c，acosA+bcosB=ccosC，試判斷△ABC的形狀.

把式子acosA+bcosB=ccosC化角或者化邊，是常見思路，學生也懂.一些學生把式子化成

a·b2+c2-a22bc+b·c2+a2-b22ca=c·a2+b2-c22ab后，以為太繁就做不下去了，其實兩邊同乘以2abc，可得

a2（b2+c2-a2）+b2（c2+a2-b2）=c2（a2+b2-c2），整理可得

2a2b2-a4-b4+c4=0，即c4-（a2-b2）2=0，即（c2+a2-b2）（c2-a2+b2）=0，即c2+a2=b2或c2+b2=a2，所以△ABC是∠B或∠A為直角的直角三角形.

同樣化角也會遇到一些困難，教師要幫助學生掃清障礙：

因為acosA+bcosB=ccosC，所以sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，所以sin2A+sin2B=sin2C=sin（2π-2A-2B）=-sin（2A+2B），

所以0=sin2A+sin2B+sin（2A+2B）

=sin2A+sin2B+sin2Acos2B+sin2Bcos2A

=sin2A（1+cos2B）+sin2B（1+cos2A）

=4sinAcosA（cosB）2+4sinBcosB（cosA）2

=4cosAcosBsin（A+B）.

因為sin（A+B）=sin（π-C）=sinC>；0，所以cosA=0或cosB=0，所以A=π2或B=π2.所以△ABC是∠B或∠A為直角的直角三角形.

知識不夠，不可能生成，或者生成不下去，同樣，方法不對、能力不強，也會生成得不好.此時，教師的幫助就很重要.5 教師應鼓勵學生敢于表達

有些學生生怕自己的生成不夠成熟，羞于表達，教師應給學生足夠的心理安全空間，就是有錯誤，有瑕疵，也要鼓勵.比如：

例6 如圖，已知單位圓上有四點E1，0，Acosθ，sinθ，Bcos2θ，sin2θ，Ccos3θ，sin3θ，0<；θ≤π3，

分別設△OAC、△ABC的面積為S1和S2.

（1）用sinθ，cosθ表示S1和S2；

（2）求S1cosθ+S2sinθ的最大值及取最大值時θ的值.

教師解析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，知∠xOA=θ，∠xOB=2θ，∠xOC=3θ，所以∠xOA=∠AOB=∠BOC=θ，所S1=12·1·1·sin3θ-θ=12sin2θ=sinθcosθ.

又因為S1+S2=四邊形OABC的面積=12·1·1·sinθ+12·1·1·sinθ=sinθ，所以S2=sinθ-12sin2θ=sinθ1-cosθ.

（2）由（1）知S1cosθ+S2sinθ=sinθcosθcosθ+sinθ1-cosθsinθ=sinθ-cosθ+1=2sinθ-π4+1.因為0<；θ≤π3，所以-π4<；θ-π4≤π12，所以-22<；sin（θ-π4）≤sinπ12=6-24，

所以S1cosθ+S2sinθ的最大值為3+12，此時θ的值為π3.

講到這里，一個學生提出：“老師，得到sinθ-cosθ+1，在0<；θ≤π3條件下，可以直接求出最值.”

老師鼓勵：“說說看.”

學生：“因為當0<；θ≤π3時，y=sinθ是增函數(shù)，cosθ是減函數(shù)，所以-cosθ是增函數(shù)，所以sinθ-cosθ+1是關(guān)于θ的增函數(shù)，θ=π3時可得到最大值.”

老師點頭表示贊許：“很好.多數(shù)情況下，都要把類似問題化為一個角的三角函數(shù)，但針對本題的特殊情況，用此方法確實節(jié)省了時間.”

鼓勵學生表達，不僅該學生受益，其它學生也得到了啟發(fā)，也是一種生成.

總之，幫助學生學會生成，是教師的一項重要任務.幫助學生生成，教師要加強理論學習，要增強實踐性智慧，要能容納不同的聲音，要了解學情，要精心預設，等等.

作者簡介 童其林，男，1963年生，福建永定人，中學高級教師，省級骨干教師，省級學科帶頭人，福建省特級教師，龍巖市杰出人民教師，曾有200余篇文章發(fā)表，主要從事教學管理研究與數(shù)學教學研究.