丁興榮

數(shù)學(xué)美“美”的原理在于數(shù)學(xué)的實(shí)踐性、人的能動(dòng)性、數(shù)學(xué)的美的屬性，數(shù)學(xué)美的實(shí)踐性決定了數(shù)學(xué)美的教學(xué)應(yīng)“以學(xué)悟美 以美激學(xué)”，數(shù)學(xué)史的教學(xué)要融入到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)踐之中。

數(shù)學(xué)美實(shí)踐性能動(dòng)性美的屬性以學(xué)悟美數(shù)學(xué)美“美”的原理是數(shù)學(xué)美教學(xué)最基本的問題，對(duì)數(shù)學(xué)美“美”的原理的認(rèn)識(shí)，直接制約著數(shù)學(xué)美教學(xué)活動(dòng)。本文在對(duì)數(shù)學(xué)美的研究進(jìn)行梳理后，從數(shù)學(xué)的實(shí)踐性、人的能動(dòng)性、數(shù)學(xué)的美的屬性三方面論述了數(shù)學(xué)美“美”的原理，及應(yīng)采取的教學(xué)原則。

一、教育層面數(shù)學(xué)美研究的梳理

輸入“主題（篇名、關(guān)鍵詞、摘要）”——“數(shù)學(xué)美”，自1992年以來，搜索到相關(guān)的論文為58篇。梳理后得如下主要見解：形式說，數(shù)學(xué)美就是數(shù)學(xué)中美麗的圖形、精煉的語(yǔ)言、簡(jiǎn)練的定理、公式；思想說，“數(shù)學(xué)的美，在于數(shù)學(xué)思想深刻之美”；屬性說，數(shù)學(xué)美反映的是主體對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象深層結(jié)構(gòu)及其相互間本質(zhì)聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，“邏輯真實(shí)性、形式化與抽象性、和諧統(tǒng)一性、簡(jiǎn)潔性才是數(shù)學(xué)美的本質(zhì)屬性”?，F(xiàn)實(shí)本質(zhì)說，“數(shù)學(xué)美是現(xiàn)實(shí)美的反映，它是現(xiàn)實(shí)肯定實(shí)踐的一種自由形式?！眱r(jià)值說，“數(shù)學(xué)美是一種自由價(jià)值，模式是它的形式載體，模式蘊(yùn)載著序，序反映了模式的自由價(jià)值?！币陨衔宸N數(shù)學(xué)美的見解都有獨(dú)到的視角，但筆者認(rèn)為都缺少?gòu)臄?shù)學(xué)的實(shí)踐性的角度進(jìn)行分析，數(shù)學(xué)家的活動(dòng)是數(shù)學(xué)實(shí)踐，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是一種數(shù)學(xué)實(shí)踐，數(shù)學(xué)美的教學(xué)一定要基于學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)這樣一種實(shí)踐。

二、數(shù)學(xué)美“美”的原理

1.數(shù)學(xué)的實(shí)踐性——數(shù)學(xué)美的本質(zhì)

數(shù)學(xué)最基本的特征在于實(shí)踐性。任何數(shù)學(xué)實(shí)踐都是對(duì)“真”的描述：“從數(shù)學(xué)未來發(fā)展的角度看，這個(gè)世紀(jì)發(fā)生的最重要的事情是，獲得了數(shù)學(xué)與自然界的關(guān)系的正確看法。對(duì)于我們?cè)u(píng)述過他們工作的許多人說來，盡管沒有討論過他們的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，但是像希臘人，Descartes，Newton，Euler和許多別的人，我們卻說過，他們相信數(shù)學(xué)是真實(shí)現(xiàn)象的準(zhǔn)確描述，并且認(rèn)為他們自己的工作揭示了天地萬物的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)?！睂?duì)“真”的描繪，也是對(duì)“善”的追求：“數(shù)學(xué)家們還在現(xiàn)實(shí)世界之外依靠智慧創(chuàng)造了一個(gè)理想世界，后者雖然可以從前者領(lǐng)悟到，但數(shù)學(xué)家試圖把它發(fā)展成為一個(gè)最完美的世界?！?/p>

“一個(gè)最完美的世界”就是“真”基礎(chǔ)上的“善”，對(duì)美的追求，合乎數(shù)學(xué)實(shí)踐的目的，也就指出了數(shù)學(xué)實(shí)踐成功的標(biāo)準(zhǔn)，美學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)——“真”與“善” 完美的統(tǒng)一。而這些，只有人的實(shí)踐才能做到，“動(dòng)物只是按照它所屬的那個(gè)種的尺度和需求來建造，而人卻懂得按照任何一個(gè)種的尺度來進(jìn)行生產(chǎn)，并且懂得怎樣處處把內(nèi)在的尺度運(yùn)用到對(duì)象上去；因此，人也按照美的規(guī)律來建造?！瘪R克思的這段話清楚地表明了兩層含義：一是，只有人的實(shí)踐才能認(rèn)識(shí)美、把握美，人類實(shí)踐尊崇美的規(guī)律。二是，人類實(shí)踐的美的規(guī)律——兩個(gè)“尺度”，第一個(gè)是“任何一個(gè)種的尺度”，第二個(gè)是人的“內(nèi)在尺度”?！叭魏我粋€(gè)種的尺度”指的是事物的“真”：事物的客觀規(guī)律，人類必須在尊重、不隨意改變事物的規(guī)律基礎(chǔ)上，認(rèn)識(shí)并掌握它。人的“內(nèi)在尺度”指的是人類實(shí)踐的目的性，目的性即指向性，在掌握事物的“真”后，根據(jù)人類發(fā)展的目的性，在對(duì)“種”的實(shí)踐中追求有益于人類的功利價(jià)值，即“善”。誠(chéng)如列寧所說：“善是‘對(duì)外部現(xiàn)實(shí)性的要求”。人類的實(shí)踐表現(xiàn)為真與善的統(tǒng)一：合規(guī)律性與合目的性的統(tǒng)一，這就是“按照美的規(guī)律來建造”的本質(zhì)內(nèi)涵，充分表明“美”是對(duì)“真與善的統(tǒng)一”的判斷。真是美的基礎(chǔ)，善是美靈魂，人類的一切實(shí)踐活動(dòng)都是在不斷追求真、善、美的統(tǒng)一。

數(shù)學(xué)美源于數(shù)學(xué)實(shí)踐。雖然對(duì)數(shù)學(xué)美的本質(zhì)問題目前尚無統(tǒng)一的定義，原因可能如哈代所說：“數(shù)學(xué)家的職責(zé)是要作點(diǎn)事，證明新定理，加點(diǎn)東西到數(shù)學(xué)里去，……解釋、批評(píng)、鑒賞之作，都是此等心智的事?！弊鳛閿?shù)學(xué)教育者，如何認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)美的本質(zhì)，實(shí)施數(shù)學(xué)美的教育教學(xué)，應(yīng)該以馬克思的實(shí)踐論作為基本的觀點(diǎn)和研究的出發(fā)點(diǎn)。“美既不是物的自然屬性，也不是人的主觀意識(shí)的產(chǎn)物，其根源在于人類的實(shí)踐，由于人的實(shí)踐，從而產(chǎn)生美?！币环N事物之所以美或丑，關(guān)鍵在于這樣的事物同人類的某種實(shí)踐發(fā)生了聯(lián)系，其自然屬性或蘊(yùn)藏的內(nèi)涵得以顯露，才有了美或丑。

數(shù)學(xué)美來自數(shù)學(xué)實(shí)踐的例子比比皆是。例如，黃金比0.618反應(yīng)了客觀世界深層次結(jié)構(gòu)的某種規(guī)律，例如，人體最佳溫度是230C（恰好是人體體溫370C的0.618），這是眾所周知的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在對(duì)一些數(shù)列進(jìn)行研究（實(shí)踐）時(shí)，發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)的一種美：“美是和諧與比例”。畢氏學(xué)派再接再厲，從五角星中發(fā)現(xiàn)了“黃金分割”，后人進(jìn)而得到了黃金分割比0.618，哥白尼和開普勒在研究一首古老音樂與天體運(yùn)動(dòng)的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用畢氏理論，發(fā)現(xiàn)了天體運(yùn)動(dòng)的第三定律?，F(xiàn)在，黃金比0.618廣泛用到優(yōu)選法、現(xiàn)代醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域。數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)實(shí)踐的結(jié)果，反過來又會(huì)促進(jìn)、影響數(shù)學(xué)實(shí)踐。

由于數(shù)學(xué)實(shí)踐的差異，數(shù)學(xué)美可分為三個(gè)層面。數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)美，數(shù)學(xué)美是其數(shù)學(xué)實(shí)踐的產(chǎn)物，創(chuàng)造了數(shù)學(xué)美；數(shù)學(xué)教育工作者的數(shù)學(xué)美，其數(shù)學(xué)實(shí)踐是對(duì)數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)實(shí)踐過程再展開，再現(xiàn)、發(fā)掘數(shù)學(xué)美；學(xué)生的數(shù)學(xué)美，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，欣賞、理解、感悟數(shù)學(xué)美，運(yùn)用數(shù)學(xué)美，提升美的鑒賞能力。學(xué)生也可以在其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)踐過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美、創(chuàng)造數(shù)學(xué)美。

2.數(shù)學(xué)的能動(dòng)性——數(shù)學(xué)美感的本質(zhì)

數(shù)學(xué)為什么給人美感？數(shù)學(xué)實(shí)踐中人的能動(dòng)性得到了發(fā)揮和體現(xiàn)?！叭瞬粌H像在意識(shí)中那樣理智地復(fù)現(xiàn)自己，而且能動(dòng)地、現(xiàn)實(shí)地復(fù)現(xiàn)自己，從而在他所創(chuàng)造的世界中直觀自身?！睂?shí)踐過程中，直觀到自己的本質(zhì)力量的迸發(fā)，實(shí)現(xiàn)了創(chuàng)造性的工作，有了成就感，引起了內(nèi)心的喜悅，就會(huì)有美感的產(chǎn)生?，F(xiàn)代美學(xué)之父費(fèi)希納認(rèn)為美學(xué)必須從哲學(xué)體系中解放出來，著重研究主體的審美感受，即狹義的美感。

康德從形式邏輯的“質(zhì)—量—關(guān)系—模態(tài)”角度對(duì)美感進(jìn)行了分析，認(rèn)為美感即是美學(xué)的一種判斷力。對(duì)于數(shù)學(xué)美感，阿達(dá)瑪認(rèn)為美感的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)直覺，也即審美的直覺力。美感是科學(xué)家必須信賴的向?qū)Ш鸵环N心理素質(zhì)。審美能力越強(qiáng)，“發(fā)現(xiàn)隱微之關(guān)系及和諧”的能力就越強(qiáng)，直接影響科學(xué)家的創(chuàng)造。endprint

美感被馬克思看成是有別于理論思維的認(rèn)識(shí)和改造世界的特有方式之一，是人們積極投身實(shí)踐活動(dòng)的推動(dòng)力，不僅包括潛移默化的認(rèn)識(shí)作用，也包括強(qiáng)有力的感染作用，這種作用是科學(xué)意識(shí)無法代替的。數(shù)學(xué)美感不僅給數(shù)學(xué)自身的發(fā)展提供向?qū)В步o其他科學(xué)的發(fā)展提供了向?qū)?。這正如著名數(shù)學(xué)家丘成桐先生所言：“數(shù)學(xué)之美在于簡(jiǎn)約嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)用一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)定理，把大自然的關(guān)系描述出來。我想物理學(xué)家和工程師也可以體會(huì)到數(shù)學(xué)的美，比如，電腦的各種各樣的問題都可以用數(shù)學(xué)來解釋。以簡(jiǎn)馭繁，這是一種很美妙的感覺。這是與文化藝術(shù)共通的語(yǔ)言，張大千的國(guó)畫，寥寥幾筆，栩栩如生，躍然紙上?！狈ɡ谕ㄟ^實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象，由于其缺少扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底，他的創(chuàng)見都是以直觀的形式表達(dá)，無法理論化，導(dǎo)致他的實(shí)驗(yàn)及理論研究無法更進(jìn)一步。具有深厚數(shù)學(xué)功底的麥克斯韋依據(jù)法拉第的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，把電磁理論方程寫成：

3.數(shù)學(xué)的美的屬性——數(shù)學(xué)美的韻味

數(shù)學(xué)家彭加萊認(rèn)為統(tǒng)一性、簡(jiǎn)潔性、對(duì)稱性、協(xié)調(diào)性和奇異性是數(shù)學(xué)美的內(nèi)容和基本特征，這一概括是從數(shù)學(xué)的科學(xué)角度出發(fā)并基于數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)實(shí)踐，簡(jiǎn)練精辟，具有高度的濃縮性。顯然這種概括不是基于數(shù)學(xué)教育實(shí)踐，為了數(shù)學(xué)美的理解性教學(xué)，有必要從教育學(xué)角度對(duì)數(shù)學(xué)美的屬性進(jìn)行解析，體悟其中韻味。

（1）數(shù)學(xué)的和諧性。數(shù)學(xué)給人最直觀的就是和諧，和而不同，辯證統(tǒng)一。數(shù)學(xué)總是在不和諧中發(fā)現(xiàn)問題，尋找解決之道，達(dá)到和諧，數(shù)學(xué)得到發(fā)展，公理系統(tǒng)的相容性、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性等都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧性。和諧最主要的內(nèi)涵是“統(tǒng)一”，再如，初等數(shù)學(xué)中的直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程在極坐標(biāo)系中能完美的統(tǒng)一：ρ=ep1-ecosθ。數(shù)學(xué)的和諧性，要把握三個(gè)“統(tǒng)一”：形式和內(nèi)容的統(tǒng)一；相對(duì)和絕對(duì)的統(tǒng)一；新穎和歷史傳承的統(tǒng)一。

美不是單純表現(xiàn)在形式或內(nèi)容上的，是形式與內(nèi)容的統(tǒng)一。美的內(nèi)容是通過具體的感性形式表現(xiàn)出來，給人以美的形象，離開了形式，美的內(nèi)容就失去了載體；反之，離開了具體的內(nèi)容，美的形式就顯得蒼白空洞。“一橋飛架南北，天塹變通途”的南京長(zhǎng)江大橋和其貌不揚(yáng)的“趙州橋”在現(xiàn)今眾多的橋梁中，其外在形狀不見得怎樣，但卻給人以美的感染力，就在于其歷史內(nèi)涵。

法國(guó)唯物主義哲學(xué)家狄德羅曾提出“美是關(guān)系”的論斷，首先，美與它所處的環(huán)境有密切的關(guān)系，時(shí)間或空間變化了，對(duì)象的審美屬性也會(huì)隨之變化。哥德爾的不完備理論表明，數(shù)學(xué)命題的正確性要受到概念界定、公理選擇、論證方式取舍等多種因素的影響和制約，有時(shí)候，即使在體系內(nèi)還是不可判定的。再如，1+1=2在二進(jìn)制中是沒有意義。其次，數(shù)學(xué)美的相對(duì)性也和人們的社會(huì)審美意識(shí)有關(guān)，例如，天鵝是一種美麗的鳥，但若按照“黃金比例”對(duì)其進(jìn)行分析，天鵝就會(huì)很“丑”。這些都說明美的相對(duì)性。不能因?yàn)閿?shù)學(xué)美具有相對(duì)性，而否定數(shù)學(xué)美的絕對(duì)性。數(shù)學(xué)之所以美，是由于數(shù)學(xué)自身具有美的特點(diǎn)，符合美的規(guī)律，這是數(shù)學(xué)美的絕對(duì)性。數(shù)學(xué)美的相對(duì)性和絕對(duì)性是辯證統(tǒng)一的，數(shù)學(xué)美的絕對(duì)性寓于相對(duì)性之中，數(shù)學(xué)命題雖具有相對(duì)性，但在特定的時(shí)間、空間等環(huán)境下就是絕對(duì)的。數(shù)學(xué)美相對(duì)性的歷史長(zhǎng)河，組成了數(shù)學(xué)美的絕對(duì)性，“無數(shù)相對(duì)的真理之總和，就是絕對(duì)的真理。”

（2）數(shù)學(xué)的科學(xué)理性。數(shù)學(xué)美是一種內(nèi)在美，具有科學(xué)理性?！拔以谶@里所說的美，不是給我們感官以印象的美，也不是質(zhì)地美和表現(xiàn)美。并非我小看上述那種美，完全不是，而是這種美與科學(xué)無關(guān)。我的意思是那種比較深?yuàn)W的美，這種美在于各部分的和諧秩序，并且純粹的理智能夠把握它。正是這種美使物體，也可以說使結(jié)構(gòu)具有讓我們感官滿意的彩虹般的外表?！喾矗硇悦揽梢赃_(dá)到其自身”理性美有助于人類去把握事物發(fā)生發(fā)展的因果關(guān)系，理性美代表著崇高，崇高有兩類，一類就是“數(shù)學(xué)的崇高”（二是力學(xué)的崇高，力學(xué)某種程度上是數(shù)學(xué)的表達(dá)）?？档聦?duì)此認(rèn)為：“‘崇高是被給予于‘絕對(duì)偉大者之名。但是，是‘偉大與是一‘有大小的量度，這兩者是完全不同的概念……‘某物絕對(duì)偉大是‘超越一切比較的偉大?！薄俺绺吣耸恰?nèi)荒軌蛉ニ贾寄芗醋阕C明一心靈之能力可以超過每一感官之標(biāo)準(zhǔn)?！薄白匀恢兄朗恰畬?duì)象之形式之問題，而此即表示自然中之美是存于‘限制中；然而崇高（莊嚴(yán)偉大）卻是被發(fā)見于一甚至無形式之對(duì)象中——當(dāng)此對(duì)象直接地含有‘無限制之表象時(shí)……總猶把‘此對(duì)象之整體之思想增加到此無限制之表象上。依此而言，美似乎被看成是知性之一‘不決定的概念之展現(xiàn)，而崇高則被看成理性之一‘不決定的概念之展現(xiàn)。”這段話表明美是知性的，有不確定性，崇高是理性的，指引著人去發(fā)現(xiàn)美?！俺绺叩谋憩F(xiàn)形式都能引起觀賞者理智與感情的緊張?zhí)剿?，從而深刻地感受到人類?shí)踐主體戰(zhàn)勝客體的嚴(yán)重、艱苦的斗爭(zhēng)的痕跡?！?/p>

（3）數(shù)學(xué)的社會(huì)性。數(shù)學(xué)美源于數(shù)學(xué)實(shí)踐，客觀性是顯然的，但其對(duì)社會(huì)的影響也是顯而易見的，數(shù)學(xué)實(shí)踐受到人的社會(huì)的制約，即使作為數(shù)學(xué)的對(duì)象離開人可以存在，但數(shù)學(xué)的審美屬性與價(jià)值只能對(duì)人而言，離開了實(shí)踐主體的人，數(shù)學(xué)美就不復(fù)存在。一方面，數(shù)學(xué)中的辯證的思想影響著社會(huì)，數(shù)學(xué)充滿辯證法的精華，數(shù)學(xué)中的將無限化為有限、在無序中辨識(shí)有序、偶然和必然的內(nèi)在聯(lián)系的描繪、簡(jiǎn)單與復(fù)雜的闡釋、確定與隨機(jī)的關(guān)聯(lián)的反映等，可以愉悅?cè)耍岣呷说膶徝酪庾R(shí)與審美價(jià)值，凈化人的心靈，啟發(fā)人的思想。另一方面，數(shù)學(xué)對(duì)社會(huì)具有功利性的影響，例如，數(shù)學(xué)本身是刻畫世界、解決問題的模式，著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家懷特海曾明確提出“數(shù)學(xué)是模式”的科學(xué)，鄭毓信教授也非常認(rèn)同，認(rèn)為：“無論數(shù)學(xué)的概念和命題，或是數(shù)學(xué)的問題和方法，事實(shí)上都是一種模式，也即都具有超出特定事物或現(xiàn)象的普遍意義?！薄捌淠康木褪菫榱藦闹刑岢鲆话愕姆椒ɑ蚰Ｊ?，這種模式，在以后類似的情況下，對(duì)于讀者求解問題，可以起指引作用?！?/p>

（4）數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性。數(shù)學(xué)美直接和創(chuàng)造相關(guān)聯(lián)，就創(chuàng)造的本質(zhì)，萊布尼茲認(rèn)為就是找出概念間所有可能的組合，彭加萊對(duì)此進(jìn)一步闡述：“數(shù)學(xué)創(chuàng)造實(shí)際上是什么呢？它并不在于用已知的數(shù)學(xué)體作出新的組合，任何一個(gè)人都會(huì)坐這種組合。但這樣的組合在數(shù)目上是無限的，它們中的大多數(shù)完全沒有用處。創(chuàng)造恰恰在于不作無用的組合，而作有用的、為數(shù)極少的組合。發(fā)明就是識(shí)別、選擇?！备拍铋g可能的組合是眾多的，如何篩選有用的組合，不是邏輯的作用，從以往的案例看，是無意識(shí)思維即直覺的作用，“數(shù)學(xué)的美感、數(shù)和形的和諧感、幾何學(xué)的雅致感，這是一切真正地?cái)?shù)學(xué)家都知道的審美感……正是這種特殊的審美感起著我已經(jīng)說過的篩選作用?！眅ndprint

三、數(shù)學(xué)美的教學(xué)認(rèn)識(shí)

1.以史顯美

數(shù)學(xué)史是欣賞數(shù)學(xué)美的重要途徑，首先，是保存和傳承歷史、價(jià)值觀和數(shù)學(xué)文化的必由之路。其次，數(shù)學(xué)史就是哲學(xué)史，是人類辯證地認(rèn)識(shí)自然世界和思維世界，并通過人類的創(chuàng)造性思想表達(dá)出來，這樣的哲學(xué)史也即反映數(shù)學(xué)作為文化的特征。再次，數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)家解決問題、建構(gòu)模式的思想與方法觀。最后，數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)造史。

對(duì)于數(shù)學(xué)史教學(xué)，徐利治教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)史研究大體上可分為‘內(nèi)史和‘外史兩個(gè)方面?！畠?nèi)史研究以考察數(shù)學(xué)理論成果的歷史形態(tài)為主，包括數(shù)學(xué)成果產(chǎn)生的年代、最初的形態(tài)和后來的演變、創(chuàng)立者的貢獻(xiàn)數(shù)學(xué)成果的傳播等?！馐费芯恳钥疾鞌?shù)學(xué)發(fā)展與社會(huì)生活各方面的關(guān)系為主，包括數(shù)學(xué)發(fā)展與哲學(xué)、科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、軍事、宗教等方面的關(guān)系，以及數(shù)學(xué)家生平和思想，數(shù)學(xué)事業(yè)的發(fā)展，數(shù)學(xué)教育等方面的問題?！?/p>

但目前，數(shù)學(xué)史教學(xué)著力點(diǎn)在“外史”上，忽視了“內(nèi)史”，這是短視的做法?！巴馐贰斌w現(xiàn)的是數(shù)學(xué)美的外延性，而“內(nèi)史”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“自在價(jià)值（概念）、工具價(jià)值（方法）、應(yīng)用價(jià)值（模型）”。另外，數(shù)學(xué)美的欣賞需要學(xué)生熟悉相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論的背景、內(nèi)容，以及數(shù)學(xué)家為此所做的工作，“數(shù)學(xué)美就不能完全被歸結(jié)為相應(yīng)的數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的某種屬性，而是與數(shù)學(xué)家的活動(dòng)密切相關(guān)的?！本唧w而言，“就數(shù)學(xué)美涉及的對(duì)象而言，最經(jīng)常的是數(shù)學(xué)定理，其次是數(shù)學(xué)證明，但是數(shù)學(xué)美也可被用于其他的數(shù)學(xué)對(duì)象，包括整體性的數(shù)學(xué)理論，證明中的某個(gè)特定步驟，以及數(shù)學(xué)定義等……一個(gè)數(shù)學(xué)成分的美是與學(xué)派和時(shí)代直接相關(guān)的……我們不能脫離特定的社會(huì)——文化背景、特別是數(shù)學(xué)研究的實(shí)際狀況抽象地去談及數(shù)學(xué)美，也即認(rèn)為數(shù)學(xué)美具有一種絕對(duì)的意義……數(shù)學(xué)美不應(yīng)、也不可能成為直接的追求目標(biāo)或教學(xué)對(duì)象，‘對(duì)數(shù)學(xué)美的鑒賞需要對(duì)于相應(yīng)數(shù)學(xué)理論的熟悉，而后者則只有通過練習(xí)、投入時(shí)間和精力，而非通過對(duì)于美的鑒賞的訓(xùn)練所能達(dá)到的?！?/p>

數(shù)學(xué)史的教學(xué)不能停留在簡(jiǎn)單的欣賞層面，要融入到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)踐中，“以學(xué)悟美 以美激學(xué)”。就數(shù)學(xué)美的認(rèn)識(shí)論而言，外在形式美屬于數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)美，內(nèi)在理性美屬于數(shù)學(xué)的本體美，應(yīng)用創(chuàng)造美屬于數(shù)學(xué)的方法美。形式美、數(shù)學(xué)應(yīng)用美的教學(xué)，都應(yīng)以內(nèi)在理性美的深刻體會(huì)為基礎(chǔ)。美是具體的，學(xué)生要“經(jīng)歷”數(shù)學(xué)概念的形成過程與知識(shí)的應(yīng)用過程，才能感悟美，才有對(duì)數(shù)學(xué)美的感性認(rèn)知與理性理解，學(xué)生數(shù)學(xué)美鑒賞能力的提高必須以概況數(shù)學(xué)內(nèi)容和過程為基礎(chǔ)：“理解數(shù)學(xué)的概念和原理；了解數(shù)學(xué)的探究過程；理解數(shù)學(xué)與一般文化的關(guān)系；理解數(shù)學(xué)的用場(chǎng)。”當(dāng)學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)化構(gòu)造自然的巧妙，數(shù)學(xué)思想洞察力的深邃，學(xué)生才會(huì)領(lǐng)略數(shù)學(xué)美的真諦，被數(shù)學(xué)吸引，喜歡、熱愛數(shù)學(xué)，進(jìn)而掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的策略與方法。

2.以學(xué)悟美

其一，在概念建構(gòu)中感悟數(shù)學(xué)美。

概念建構(gòu)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最基本形式，關(guān)鍵有二，第一，在于理解。塔爾（D.O.Tall）認(rèn)為認(rèn)知根源是數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，認(rèn)知根源有助于學(xué)生理解概念的思想，形成學(xué)習(xí)的邏輯起點(diǎn)。第二，任何一個(gè)概念都可以多角度刻畫，抓住核心定義，形成概念域。

其二，在問題解決中感悟方法美。

問題解決是學(xué)生最重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)，主要表現(xiàn)為解題，但解題往往變成了題海訓(xùn)練，而單純的訓(xùn)練卻不能帶來真正的理解和獨(dú)立思考。對(duì)問題解決的真正理解和獨(dú)立思考，需要在問題解決教學(xué)中有意識(shí)設(shè)計(jì)，閃現(xiàn)數(shù)學(xué)的方法美。波利亞在其《怎樣解題》中指出：“有一些變化題目的方式是典型有用的，諸如回到定義上去、分解和重組、引入輔助元素、普遍化、特殊化，以及使用類比等等?！绷_增儒教授在其《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中認(rèn)為解題重點(diǎn)是“解題過程的改進(jìn)”與“解題成果的擴(kuò)大”。單墫教授在其《解題研究》則認(rèn)為解題有兩點(diǎn)很重要：“教會(huì)思考”和“解題必須實(shí)踐”。喻平教授認(rèn)為優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)能提供豐富的信息源，有助于問題解決。

其三，在數(shù)學(xué)應(yīng)用中感悟應(yīng)用美。

四、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)美的教學(xué)，需要教師在數(shù)學(xué)學(xué)科上具備辯美析理的分析能力、化繁為簡(jiǎn)的駕馭能力、審?fù)^異的洞察能力，也需要教師具備美學(xué)的、哲學(xué)的、物理學(xué)的基本素養(yǎng)，在其它領(lǐng)域廣泛涉獵。

參考文獻(xiàn)：

[1]文衛(wèi)星.引導(dǎo)學(xué)生欣賞與發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美——以極限教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（2）：56.

[2]顧沛.數(shù)學(xué)的美 在于數(shù)學(xué)思想深刻之美[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（4）：9.

[3]陳煥斌，張雄.略論數(shù)學(xué)美的本質(zhì)屬性[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008，17（5）：28.

[4]張玉峰，孟愛紅.數(shù)學(xué)美的本質(zhì)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006，15（8）：24.

[5]劉萍，張雄.數(shù)學(xué)美的哲學(xué)思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1999，8（5）：38.

[6][美]M·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2002.101.

[7]J.N.Kapur.王慶人譯.數(shù)學(xué)家談數(shù)學(xué)本質(zhì)[M].北京：北京大學(xué)出版社，1989.187.

[8]1844年經(jīng)濟(jì)學(xué)哲學(xué)手稿.馬克思恩科斯全集[M].第42卷.北京：人民出版社，1958.97.

[9]鄭毓信，肖柏榮，熊萍.數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論[M].成都：四川教育出版社，2004.365.366-370.

[10]劉叔成，夏之放，樓昔勇.美學(xué)的基本原理[M].上海：上海人民出版社，1984.51.197.

[11]康德.牟宗三譯.判斷力批判.西安：西北大學(xué)出版社，2008.293-304.174.178.170-171.

[12]沈耀峰，齊芳，丘成桐.享受數(shù)學(xué)之美[N].光明日?qǐng)?bào)，2005-11-15（2）.

[13]實(shí)踐論，毛澤東選集第1卷.北京：人民出版社，1991.272.

[14]張順燕.數(shù)學(xué)的源與流[M].北京：高等教育出版社，2000.281.

[15]彭加萊.李醒民譯.科學(xué)的價(jià)值[M].北京：光明日?qǐng)?bào)出版社，1988.357.377.383.

[16]鄭毓信.數(shù)學(xué)教育哲學(xué)[M].成都：四川教育出版社，2005.54.

[17]喬治·波利亞.劉景麟，曹之江，鄒清蓮譯.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)[M].北京：科學(xué)出版社，2006.3.

[18]徐利治，王前.數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的結(jié)合——數(shù)學(xué)教育改革的一個(gè)重要方向[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1994，（1）：5-6.

[19]方延明.數(shù)學(xué)文化[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007.22-25.

[20]張順燕.關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的若干認(rèn)識(shí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004，（1）：5.

[21]波利亞 著.涂泓，馮承天 譯.怎樣解題[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?002.215.

[22][美]R·柯朗，H·羅賓.左平，張飴慈譯.什么是數(shù)學(xué)——對(duì)思想和方法的基本研究[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2005.249.endprint

三、數(shù)學(xué)美的教學(xué)認(rèn)識(shí)

1.以史顯美

數(shù)學(xué)史是欣賞數(shù)學(xué)美的重要途徑，首先，是保存和傳承歷史、價(jià)值觀和數(shù)學(xué)文化的必由之路。其次，數(shù)學(xué)史就是哲學(xué)史，是人類辯證地認(rèn)識(shí)自然世界和思維世界，并通過人類的創(chuàng)造性思想表達(dá)出來，這樣的哲學(xué)史也即反映數(shù)學(xué)作為文化的特征。再次，數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)家解決問題、建構(gòu)模式的思想與方法觀。最后，數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)造史。

對(duì)于數(shù)學(xué)史教學(xué)，徐利治教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)史研究大體上可分為‘內(nèi)史和‘外史兩個(gè)方面。‘內(nèi)史研究以考察數(shù)學(xué)理論成果的歷史形態(tài)為主，包括數(shù)學(xué)成果產(chǎn)生的年代、最初的形態(tài)和后來的演變、創(chuàng)立者的貢獻(xiàn)數(shù)學(xué)成果的傳播等?！馐费芯恳钥疾鞌?shù)學(xué)發(fā)展與社會(huì)生活各方面的關(guān)系為主，包括數(shù)學(xué)發(fā)展與哲學(xué)、科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、軍事、宗教等方面的關(guān)系，以及數(shù)學(xué)家生平和思想，數(shù)學(xué)事業(yè)的發(fā)展，數(shù)學(xué)教育等方面的問題?！?/p>

但目前，數(shù)學(xué)史教學(xué)著力點(diǎn)在“外史”上，忽視了“內(nèi)史”，這是短視的做法?！巴馐贰斌w現(xiàn)的是數(shù)學(xué)美的外延性，而“內(nèi)史”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“自在價(jià)值（概念）、工具價(jià)值（方法）、應(yīng)用價(jià)值（模型）”。另外，數(shù)學(xué)美的欣賞需要學(xué)生熟悉相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論的背景、內(nèi)容，以及數(shù)學(xué)家為此所做的工作，“數(shù)學(xué)美就不能完全被歸結(jié)為相應(yīng)的數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的某種屬性，而是與數(shù)學(xué)家的活動(dòng)密切相關(guān)的?！本唧w而言，“就數(shù)學(xué)美涉及的對(duì)象而言，最經(jīng)常的是數(shù)學(xué)定理，其次是數(shù)學(xué)證明，但是數(shù)學(xué)美也可被用于其他的數(shù)學(xué)對(duì)象，包括整體性的數(shù)學(xué)理論，證明中的某個(gè)特定步驟，以及數(shù)學(xué)定義等……一個(gè)數(shù)學(xué)成分的美是與學(xué)派和時(shí)代直接相關(guān)的……我們不能脫離特定的社會(huì)——文化背景、特別是數(shù)學(xué)研究的實(shí)際狀況抽象地去談及數(shù)學(xué)美，也即認(rèn)為數(shù)學(xué)美具有一種絕對(duì)的意義……數(shù)學(xué)美不應(yīng)、也不可能成為直接的追求目標(biāo)或教學(xué)對(duì)象，‘對(duì)數(shù)學(xué)美的鑒賞需要對(duì)于相應(yīng)數(shù)學(xué)理論的熟悉，而后者則只有通過練習(xí)、投入時(shí)間和精力，而非通過對(duì)于美的鑒賞的訓(xùn)練所能達(dá)到的?！?/p>

數(shù)學(xué)史的教學(xué)不能停留在簡(jiǎn)單的欣賞層面，要融入到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)踐中，“以學(xué)悟美 以美激學(xué)”。就數(shù)學(xué)美的認(rèn)識(shí)論而言，外在形式美屬于數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)美，內(nèi)在理性美屬于數(shù)學(xué)的本體美，應(yīng)用創(chuàng)造美屬于數(shù)學(xué)的方法美。形式美、數(shù)學(xué)應(yīng)用美的教學(xué)，都應(yīng)以內(nèi)在理性美的深刻體會(huì)為基礎(chǔ)。美是具體的，學(xué)生要“經(jīng)歷”數(shù)學(xué)概念的形成過程與知識(shí)的應(yīng)用過程，才能感悟美，才有對(duì)數(shù)學(xué)美的感性認(rèn)知與理性理解，學(xué)生數(shù)學(xué)美鑒賞能力的提高必須以概況數(shù)學(xué)內(nèi)容和過程為基礎(chǔ)：“理解數(shù)學(xué)的概念和原理；了解數(shù)學(xué)的探究過程；理解數(shù)學(xué)與一般文化的關(guān)系；理解數(shù)學(xué)的用場(chǎng)。”當(dāng)學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)化構(gòu)造自然的巧妙，數(shù)學(xué)思想洞察力的深邃，學(xué)生才會(huì)領(lǐng)略數(shù)學(xué)美的真諦，被數(shù)學(xué)吸引，喜歡、熱愛數(shù)學(xué)，進(jìn)而掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的策略與方法。

2.以學(xué)悟美

其一，在概念建構(gòu)中感悟數(shù)學(xué)美。

概念建構(gòu)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最基本形式，關(guān)鍵有二，第一，在于理解。塔爾（D.O.Tall）認(rèn)為認(rèn)知根源是數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，認(rèn)知根源有助于學(xué)生理解概念的思想，形成學(xué)習(xí)的邏輯起點(diǎn)。第二，任何一個(gè)概念都可以多角度刻畫，抓住核心定義，形成概念域。

其二，在問題解決中感悟方法美。

問題解決是學(xué)生最重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)，主要表現(xiàn)為解題，但解題往往變成了題海訓(xùn)練，而單純的訓(xùn)練卻不能帶來真正的理解和獨(dú)立思考。對(duì)問題解決的真正理解和獨(dú)立思考，需要在問題解決教學(xué)中有意識(shí)設(shè)計(jì)，閃現(xiàn)數(shù)學(xué)的方法美。波利亞在其《怎樣解題》中指出：“有一些變化題目的方式是典型有用的，諸如回到定義上去、分解和重組、引入輔助元素、普遍化、特殊化，以及使用類比等等?！绷_增儒教授在其《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中認(rèn)為解題重點(diǎn)是“解題過程的改進(jìn)”與“解題成果的擴(kuò)大”。單墫教授在其《解題研究》則認(rèn)為解題有兩點(diǎn)很重要：“教會(huì)思考”和“解題必須實(shí)踐”。喻平教授認(rèn)為優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)能提供豐富的信息源，有助于問題解決。

其三，在數(shù)學(xué)應(yīng)用中感悟應(yīng)用美。

四、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)美的教學(xué)，需要教師在數(shù)學(xué)學(xué)科上具備辯美析理的分析能力、化繁為簡(jiǎn)的駕馭能力、審?fù)^異的洞察能力，也需要教師具備美學(xué)的、哲學(xué)的、物理學(xué)的基本素養(yǎng)，在其它領(lǐng)域廣泛涉獵。

參考文獻(xiàn)：

[1]文衛(wèi)星.引導(dǎo)學(xué)生欣賞與發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美——以極限教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（2）：56.

[2]顧沛.數(shù)學(xué)的美 在于數(shù)學(xué)思想深刻之美[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（4）：9.

[3]陳煥斌，張雄.略論數(shù)學(xué)美的本質(zhì)屬性[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008，17（5）：28.

[4]張玉峰，孟愛紅.數(shù)學(xué)美的本質(zhì)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006，15（8）：24.

[5]劉萍，張雄.數(shù)學(xué)美的哲學(xué)思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1999，8（5）：38.

[6][美]M·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2002.101.

[7]J.N.Kapur.王慶人譯.數(shù)學(xué)家談數(shù)學(xué)本質(zhì)[M].北京：北京大學(xué)出版社，1989.187.

[8]1844年經(jīng)濟(jì)學(xué)哲學(xué)手稿.馬克思恩科斯全集[M].第42卷.北京：人民出版社，1958.97.

[9]鄭毓信，肖柏榮，熊萍.數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論[M].成都：四川教育出版社，2004.365.366-370.

[10]劉叔成，夏之放，樓昔勇.美學(xué)的基本原理[M].上海：上海人民出版社，1984.51.197.

[11]康德.牟宗三譯.判斷力批判.西安：西北大學(xué)出版社，2008.293-304.174.178.170-171.

[12]沈耀峰，齊芳，丘成桐.享受數(shù)學(xué)之美[N].光明日?qǐng)?bào)，2005-11-15（2）.

[13]實(shí)踐論，毛澤東選集第1卷.北京：人民出版社，1991.272.

[14]張順燕.數(shù)學(xué)的源與流[M].北京：高等教育出版社，2000.281.

[15]彭加萊.李醒民譯.科學(xué)的價(jià)值[M].北京：光明日?qǐng)?bào)出版社，1988.357.377.383.

[16]鄭毓信.數(shù)學(xué)教育哲學(xué)[M].成都：四川教育出版社，2005.54.

[17]喬治·波利亞.劉景麟，曹之江，鄒清蓮譯.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)[M].北京：科學(xué)出版社，2006.3.

[18]徐利治，王前.數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的結(jié)合——數(shù)學(xué)教育改革的一個(gè)重要方向[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1994，（1）：5-6.

[19]方延明.數(shù)學(xué)文化[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007.22-25.

[20]張順燕.關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的若干認(rèn)識(shí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004，（1）：5.

[21]波利亞 著.涂泓，馮承天 譯.怎樣解題[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2002.215.

[22][美]R·柯朗，H·羅賓.左平，張飴慈譯.什么是數(shù)學(xué)——對(duì)思想和方法的基本研究[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2005.249.endprint

三、數(shù)學(xué)美的教學(xué)認(rèn)識(shí)

1.以史顯美

數(shù)學(xué)史是欣賞數(shù)學(xué)美的重要途徑，首先，是保存和傳承歷史、價(jià)值觀和數(shù)學(xué)文化的必由之路。其次，數(shù)學(xué)史就是哲學(xué)史，是人類辯證地認(rèn)識(shí)自然世界和思維世界，并通過人類的創(chuàng)造性思想表達(dá)出來，這樣的哲學(xué)史也即反映數(shù)學(xué)作為文化的特征。再次，數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)家解決問題、建構(gòu)模式的思想與方法觀。最后，數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)造史。

對(duì)于數(shù)學(xué)史教學(xué)，徐利治教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)史研究大體上可分為‘內(nèi)史和‘外史兩個(gè)方面?！畠?nèi)史研究以考察數(shù)學(xué)理論成果的歷史形態(tài)為主，包括數(shù)學(xué)成果產(chǎn)生的年代、最初的形態(tài)和后來的演變、創(chuàng)立者的貢獻(xiàn)數(shù)學(xué)成果的傳播等。‘外史研究以考察數(shù)學(xué)發(fā)展與社會(huì)生活各方面的關(guān)系為主，包括數(shù)學(xué)發(fā)展與哲學(xué)、科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、軍事、宗教等方面的關(guān)系，以及數(shù)學(xué)家生平和思想，數(shù)學(xué)事業(yè)的發(fā)展，數(shù)學(xué)教育等方面的問題。”

但目前，數(shù)學(xué)史教學(xué)著力點(diǎn)在“外史”上，忽視了“內(nèi)史”，這是短視的做法?！巴馐贰斌w現(xiàn)的是數(shù)學(xué)美的外延性，而“內(nèi)史”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“自在價(jià)值（概念）、工具價(jià)值（方法）、應(yīng)用價(jià)值（模型）”。另外，數(shù)學(xué)美的欣賞需要學(xué)生熟悉相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論的背景、內(nèi)容，以及數(shù)學(xué)家為此所做的工作，“數(shù)學(xué)美就不能完全被歸結(jié)為相應(yīng)的數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的某種屬性，而是與數(shù)學(xué)家的活動(dòng)密切相關(guān)的?！本唧w而言，“就數(shù)學(xué)美涉及的對(duì)象而言，最經(jīng)常的是數(shù)學(xué)定理，其次是數(shù)學(xué)證明，但是數(shù)學(xué)美也可被用于其他的數(shù)學(xué)對(duì)象，包括整體性的數(shù)學(xué)理論，證明中的某個(gè)特定步驟，以及數(shù)學(xué)定義等……一個(gè)數(shù)學(xué)成分的美是與學(xué)派和時(shí)代直接相關(guān)的……我們不能脫離特定的社會(huì)——文化背景、特別是數(shù)學(xué)研究的實(shí)際狀況抽象地去談及數(shù)學(xué)美，也即認(rèn)為數(shù)學(xué)美具有一種絕對(duì)的意義……數(shù)學(xué)美不應(yīng)、也不可能成為直接的追求目標(biāo)或教學(xué)對(duì)象，‘對(duì)數(shù)學(xué)美的鑒賞需要對(duì)于相應(yīng)數(shù)學(xué)理論的熟悉，而后者則只有通過練習(xí)、投入時(shí)間和精力，而非通過對(duì)于美的鑒賞的訓(xùn)練所能達(dá)到的。”

數(shù)學(xué)史的教學(xué)不能停留在簡(jiǎn)單的欣賞層面，要融入到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)踐中，“以學(xué)悟美 以美激學(xué)”。就數(shù)學(xué)美的認(rèn)識(shí)論而言，外在形式美屬于數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)美，內(nèi)在理性美屬于數(shù)學(xué)的本體美，應(yīng)用創(chuàng)造美屬于數(shù)學(xué)的方法美。形式美、數(shù)學(xué)應(yīng)用美的教學(xué)，都應(yīng)以內(nèi)在理性美的深刻體會(huì)為基礎(chǔ)。美是具體的，學(xué)生要“經(jīng)歷”數(shù)學(xué)概念的形成過程與知識(shí)的應(yīng)用過程，才能感悟美，才有對(duì)數(shù)學(xué)美的感性認(rèn)知與理性理解，學(xué)生數(shù)學(xué)美鑒賞能力的提高必須以概況數(shù)學(xué)內(nèi)容和過程為基礎(chǔ)：“理解數(shù)學(xué)的概念和原理；了解數(shù)學(xué)的探究過程；理解數(shù)學(xué)與一般文化的關(guān)系；理解數(shù)學(xué)的用場(chǎng)?！碑?dāng)學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)化構(gòu)造自然的巧妙，數(shù)學(xué)思想洞察力的深邃，學(xué)生才會(huì)領(lǐng)略數(shù)學(xué)美的真諦，被數(shù)學(xué)吸引，喜歡、熱愛數(shù)學(xué)，進(jìn)而掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的策略與方法。

2.以學(xué)悟美

其一，在概念建構(gòu)中感悟數(shù)學(xué)美。

概念建構(gòu)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最基本形式，關(guān)鍵有二，第一，在于理解。塔爾（D.O.Tall）認(rèn)為認(rèn)知根源是數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，認(rèn)知根源有助于學(xué)生理解概念的思想，形成學(xué)習(xí)的邏輯起點(diǎn)。第二，任何一個(gè)概念都可以多角度刻畫，抓住核心定義，形成概念域。

其二，在問題解決中感悟方法美。

問題解決是學(xué)生最重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)，主要表現(xiàn)為解題，但解題往往變成了題海訓(xùn)練，而單純的訓(xùn)練卻不能帶來真正的理解和獨(dú)立思考。對(duì)問題解決的真正理解和獨(dú)立思考，需要在問題解決教學(xué)中有意識(shí)設(shè)計(jì)，閃現(xiàn)數(shù)學(xué)的方法美。波利亞在其《怎樣解題》中指出：“有一些變化題目的方式是典型有用的，諸如回到定義上去、分解和重組、引入輔助元素、普遍化、特殊化，以及使用類比等等?！绷_增儒教授在其《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中認(rèn)為解題重點(diǎn)是“解題過程的改進(jìn)”與“解題成果的擴(kuò)大”。單墫教授在其《解題研究》則認(rèn)為解題有兩點(diǎn)很重要：“教會(huì)思考”和“解題必須實(shí)踐”。喻平教授認(rèn)為優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)能提供豐富的信息源，有助于問題解決。

其三，在數(shù)學(xué)應(yīng)用中感悟應(yīng)用美。

四、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)美的教學(xué)，需要教師在數(shù)學(xué)學(xué)科上具備辯美析理的分析能力、化繁為簡(jiǎn)的駕馭能力、審?fù)^異的洞察能力，也需要教師具備美學(xué)的、哲學(xué)的、物理學(xué)的基本素養(yǎng)，在其它領(lǐng)域廣泛涉獵。

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