王全友

【摘 要】 化歸是解決數(shù)學(xué)問題的基本方法。在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，常將待解決的問題歸結(jié)為其他相對(duì)較易解決的問題，因此，選擇恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化手段和進(jìn)行正確有效的化歸是解決問題的關(guān)鍵。本文就簡(jiǎn)單介紹了幾種化歸策略。

【關(guān) 鍵 詞】 化歸問題；數(shù)學(xué)；策略

化歸是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱，是解決數(shù)學(xué)問題的基本方法. 在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，常采用轉(zhuǎn)化手段，將待解決的問題歸結(jié)為相對(duì)容易解決或已有固定解決程式的另一問題，通過對(duì)這一問題的解決，得到原問題的解答. 選擇恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化手段和進(jìn)行正確有效的化歸是解決問題的關(guān)鍵. 下面，本文介紹幾種常用的化歸策略.

一、尋找恰當(dāng)?shù)膶?duì)應(yīng)關(guān)系實(shí)現(xiàn)化歸

數(shù)學(xué)內(nèi)部之間的許多聯(lián)系，有許多是通過對(duì)應(yīng)關(guān)系來實(shí)現(xiàn)的，利用對(duì)應(yīng)關(guān)系，可將待解決的問題轉(zhuǎn)化為另一問題.

（一）平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系

通過建立坐標(biāo)系，確立平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，把幾何問題化歸為代數(shù)問題. 如判斷點(diǎn)P（4，13）是否在拋物線y=■x2-3x+17上，變成判斷x=4，y=13是否是方程y=■x2-3x+17的解；求直線y=-■x+3與y=■x的交點(diǎn)問題，變成解聯(lián)立方程組問題.

（二）變量轉(zhuǎn)換、換元、增量替換等代換都是特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系

例1 已知a是方程x2-3x+1=0的根，則2a2-6a+■的值是多少？

解析 由已知可得a2-3a+1=0，若求出a的值再代入求值，顯然計(jì)算量很大. 由所求代數(shù)式的特點(diǎn)可考慮把a(bǔ)2-3a+1=0轉(zhuǎn)化為a2-3a=-1與■=1，把所求代數(shù)式變形，整體代換，即，2a2-6a+■=2（a2-3a）+3·■=2×（-1）+3=1.

例2 已知x，y，z為實(shí)數(shù)，且x+y=6，z2=xy-9. 求x+2y+3z的值.

解析 用均值換元法，可以設(shè)x=3+t，y=3-t，則

z2=（3+t）（3-t）-9=-t2，即z2+t2■=0.

∴z=t=0，∴x=y=3.

∴x+2y+3z=3+6+0=9.

利用換元法解題，關(guān)鍵在于根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特征，適當(dāng)選取能夠化繁為簡(jiǎn)、化難為易的變換，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)換. 因此，要注意分析問題的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)已知條件適當(dāng)變形，同時(shí)要善于發(fā)現(xiàn)題目中的特殊結(jié)構(gòu)，挖掘題目中隱含的特殊關(guān)系，利用這些特殊條件進(jìn)行代換.

二、通過語義轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)化歸

形式化是數(shù)學(xué)的顯著特點(diǎn). 代數(shù)學(xué)起始于以字母形式地表示數(shù)，隨后，代數(shù)運(yùn)算、運(yùn)算律、運(yùn)算法則等都被形式地表示. 因此從某種意義上說，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)一種有特定涵義的形式化的語言，以及用這種形式化的語言去表述、解釋、解決各種問題. 數(shù)學(xué)符號(hào)化、形式化后，每一種數(shù)學(xué)語義（概念、關(guān)系等），一般都有一種確立的數(shù)學(xué)符號(hào)（式）表示，但不同的數(shù)學(xué)語義可能是由同一種數(shù)學(xué)符號(hào)（式）表示的，也就是說，一種數(shù)學(xué)符號(hào)（式）可作不同的語義解釋. 如■表示a2+b2的算術(shù)平方根；在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，表示點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)（0，0）的距離. 同一種數(shù)學(xué)語義的內(nèi)容可以用文字語言、符號(hào)語言、圖形語言等不同的數(shù)學(xué)語言形式表示. 因此通過語義轉(zhuǎn)換，能使一個(gè)問題轉(zhuǎn)化為另一簡(jiǎn)單明了的問題.

（一）等價(jià)轉(zhuǎn)化

等價(jià)轉(zhuǎn)化后的新對(duì)象與原對(duì)象的形式不同，實(shí)質(zhì)一樣. 如兩圓外切？圳d=R+r（d為圓心距，R，r分別為兩圓半徑），原命題等價(jià)于逆否命題.

（二）數(shù)形轉(zhuǎn)化

數(shù)和形反映了事物的兩個(gè)方面. 數(shù)缺形，少直觀；形缺數(shù)，難入微. 因此，在解決問題時(shí)，常要把同一數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行代數(shù)釋義與幾何釋義，實(shí)現(xiàn)“形”與“數(shù)”的數(shù)學(xué)語義轉(zhuǎn)換，將“形”解釋為“數(shù)”，利用“數(shù)”的知識(shí)解決“形”的問題；將“數(shù)”解釋為“形”，利用“形”的知識(shí)解決“數(shù)”的問題. 這種數(shù)形結(jié)合的思想方法是解決問題的突破口.

例3 關(guān)于x的二次方程x2-（2m+1）x+m-8=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，一根大于-1，另一根小于-1，求m取值范圍.

解析 本題既可用根與系數(shù)的關(guān)系來解，也可巧用數(shù)形結(jié)合的思想. 借助二次函數(shù)圖像，可構(gòu)造函數(shù)y=x2-（2m+1）x+m-8，它的圖像是一條開口向上的拋物線，該拋物線與x軸的交點(diǎn)一個(gè)在-1的左側(cè)，另一個(gè)在 -1的右側(cè)，根據(jù)題意畫出函數(shù)圖像的草圖，如圖1所示，由圖像可知，當(dāng)時(shí)，其函數(shù)值為負(fù)值，于是得（-1）2-（2m+1）×（-1）+m-8<0，即m<2.

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三、一般化與特殊化策略

從“特殊到一般”和從“一般到特殊”是認(rèn)識(shí)問題的普遍規(guī)律.

（一）一般化

將待解、待證問題看成特殊問題，通過對(duì)它的一般形式問題的解法而得到原問題解的化歸策略就是一般化策略，借助一般化的結(jié)論或方法，使問題順利解決.

例4 計(jì)算■.

解析 數(shù)字較大，運(yùn)算繁瑣，不易發(fā)現(xiàn)隱含的一般性質(zhì)，設(shè)12346=a，則原式=■=■=24690.

（二）特殊化

一般化與特殊化是相反的兩個(gè)過程. 對(duì)于待解或待證問題，先解決它的特殊情況，然后把解決特殊情況的方法或結(jié)果應(yīng)用到一般情況，使原問題獲解的策略就是特殊化策略. 特殊化策略不僅是解題、檢驗(yàn)問題的重要方法，而且還是探索規(guī)律是進(jìn)行創(chuàng)造性思維的有效工具，歷來被數(shù)學(xué)家所推崇. 著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生就告訴我們，要學(xué)會(huì)使用先退后進(jìn)，以退為進(jìn)的策略，就是指的特殊化策略，華先生常說，要善于退，足夠的退，退到最原始而又不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.

例5 如圖2，正方形ABCD與A′B′C′D′的邊長(zhǎng)為a，O是AC與BD的交點(diǎn).

求證：S=■a2.

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解析 在解這道題時(shí)，學(xué)生感到不好入手證明，主要是確定不了M、N的位置，考慮利用動(dòng)態(tài)去分析問題，轉(zhuǎn)化為特殊情況，如圖3，在旋轉(zhuǎn)的過程中，總有∠MOB=∠NOC，故有S△OMB=S△ONC， 從而得知四邊形OMBN的面積等于△OBC的面積，即正方形ABCD面積的四分之一. ■

【參考文獻(xiàn)】

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[3] 蘇永春. 數(shù)學(xué)化歸思想和方法的應(yīng)用[J]. 課程教材教學(xué)研究（教育研究），2013（2）.