葉秋平

(寧德市職業(yè)中專學校，福建寧德，352100)

向量是數(shù)學地位極其重要的一章，其靈活的變化使得學生對向量的試題往往無從下手。向量試題往往從不同的策略實施下手，代數(shù)化策略和圖形化策略是最主要的解決策略。筆者發(fā)現(xiàn)，成績較好的學生往往兩種策略均能正確掌握，更喜歡圖形化策略;對于數(shù)學知識能力運用較弱的學生而言，代數(shù)化策略是教學的首選，其將向量問題代數(shù)化，使得較難的向量問題運用代數(shù)的工具進行解決。圖形化策略偏重思考、輕運算，代數(shù)化策略則恰好反之。

一、多解策略，發(fā)散思維

多解策略是解題教學中受教師歡迎的一種策略，該策略注重了學生發(fā)散思維的培養(yǎng)，在解決問題的過程中，教師引導(dǎo)學生從不同知識出發(fā)，將各種解決手段融合到一起。筆者認為，向量教學中使用這樣的方式，既可以圍繞向量滲透各種數(shù)學基本知識，也能激發(fā)學生多思維的策略，對于優(yōu)等生而言，這是一種極易培養(yǎng)思維發(fā)散性、知識整合性的優(yōu)秀手段。

策略二:既然是代數(shù)運算，向量坐標法必定行得通，得出法二:

反思:本題的選擇能體現(xiàn)基礎(chǔ)與本質(zhì)的關(guān)系，突出了主干，也突出了幾何直觀。教師先引導(dǎo)學生總結(jié)解決此類問題常用的方法:1.坐標法;2.數(shù)形結(jié)合;3.向量方法的運用。讓學生從數(shù)學知識整體與方法上全面去認識解題，力求從“一題多解”中學會辨析好與不好的解法，把好方法的選擇與解題落實到復(fù)習中。以上兩種解法從結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因，思路樸實正確;但計算較繁，如果一步出錯，滿盤皆輸。這就對學生的計算能力提出了高要求，做選擇題時學生很少能耐著性子算下去。

策略三:對于向量的題目，很多同學還是愿意從向量式的幾何意義出發(fā)，構(gòu)建三角形。

反思:該方法符合學生實際情況，簡潔明朗，通俗易懂，將向量問題轉(zhuǎn)化成平面幾何問題，計算難度遠遠小于解法一和二，筆者認為這是本題最好的方法，也是學生最容易想到的方法。

策略四:順著學生的思路，既然能構(gòu)建三角形，那么平行四邊形中是否也蘊涵著本題的真相。

解法四:通過平行四邊形法則及菱形的幾何性質(zhì)得在 Rt△ABC 中，||=|AC|＞|AB|=|+|，故選 C。

反思:此法還是采用數(shù)形結(jié)合的思路，有學生想到了此法，上黑板板演，但由于圖形相對復(fù)雜，學生最終無法解答，主要靠教師講解分析，學生才勉強接受。此法也讓學生重視圖形語言，平時多畫一些圖，既直觀又有邏輯，好的數(shù)學題都蘊涵著豐富的圖形。教師選中此題，可謂用心良苦。當然，要構(gòu)建直角三角形也可以通過對已知條件的變型，充分發(fā)掘題目涵義，如:，則=0，所以如圖所示:顯然，，此方法體現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合，值得一提。

策略五:平行四邊形是一個重要載體，如果法4的圖形有點復(fù)雜，巧妙利用一個不等式，很快答案就出來了。

反思:該解法太簡潔了，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，拓展了學生思維。但對于絕對值不等式學生很陌生，很難想到此法。

策略六:本題為模擬試題，參考答案給出了怎樣的解法呢?學生很有興趣知道，故又介紹了第六種解法:

反思:對式子的結(jié)構(gòu)進行變形、拼湊，是學生的一個弱點，此法與解法五一樣技巧性太強，不能普及。

策略七:當學生在感嘆這么多方法時，(教師接著說:)既然上述方法想不到，對于選擇題又有什么特殊的解題技巧呢?

反思:作為教師，我們在處理這樣的向量問題時，多一些“一題多解”，少一些“單一重復(fù)”，效果會更好。教師應(yīng)調(diào)動學生對向量學習的好奇心，認識數(shù)學的奇妙。其實，向量問題是透明的，指向是很明確的。像這樣的問題時常出現(xiàn)，它分布在選擇題、填空題中，用于考查學生對數(shù)學思想方法的理解和運用，通過多樣性解決向量問題，開拓優(yōu)秀學生的解題思路，減少無用功。

二、機械策略，強調(diào)運算

向量對于數(shù)學能力較弱的學生而言，其對轉(zhuǎn)化、圖形等想法較弱，因此教學策略勢必向代數(shù)化靠攏。代數(shù)策略用吳文俊先生的話說，即機械化策略。用機械化策略可以給這些學生一個明確的方向:即少思維、多運算，只要運算細致便能突破向量問題。來看一個代數(shù)化案例:

師:本題中我們可以發(fā)現(xiàn)題中的幾何背景是一個特殊圖形:矩形，這樣我們就容易想到以矩形的兩條相鄰直角邊作為x軸，y軸建立直角坐標系。這里我們以AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標系。(建系)

師:建系后，根據(jù)條件分別求出所對應(yīng)各點的坐 標，A(0，0)，B(，0)，E(，1)，F(xiàn)(x，2)。 (設(shè)點)

師:求出各點坐標后，接下來我們把題中的條件進行坐標化，那么我們有·=(，0)·(x，2)=，求出x=1，這樣我們就知道了F點的坐標。(條件坐標化)

師:在上述解題過程中，我們根據(jù)條件中圖形幾何的特征建立坐標系，然后設(shè)出條件和所求中的點的坐標，通過點的坐標表示出條件和所求，最后通過計算得出答案。上述解題步驟也是利用坐標法解決向量問題的一般步驟，請同學們回想剛才的過程。在這些步驟中，建立坐標系是關(guān)鍵，也是難點。本題坐標系建立比較容易，利用了易知的垂直關(guān)系。下面我們來看一道題，請思考本題我們應(yīng)如何建立坐標系，使我們的解題方便簡單。

師:對于本題我們應(yīng)該如何建立坐標系?在沒有現(xiàn)成的圖形垂直提示情況下，我們一般應(yīng)該如何考慮?

生:可以考慮以BC為x軸，過M作BC中垂線為y軸建立坐標系。

師:為什么想到以BC的中垂線為y軸?以其他的為y軸是否可行?

生:以其他的做y軸建立坐標系也是可以的，但是以BC中垂線為y軸，對于下一步求點坐標和條件坐標化的計算有幫助，方便我們計算。

師:想法很正確。和前一題不同，本題沒有互相垂直的條件，需要我們自己建立坐標系。通常我們可以從圖形對稱性等方面嘗試建立直角坐標系，這樣方便我們的計算。當然有興趣的同學可以嘗試其他的建系方法，如以BC為x軸，過B點做BC垂線為y軸等。

師:下面我們仿照前一題的求解步驟把條件中的點以坐標形式給出:

(可由學生回答)B(－5，0)，M(0，0)，C(5，0)，設(shè)A(x，y)，然后把條件坐標化由AM=3得:x2+y2=9，最后得到 和 點積計算可得。

師:本題中我們建系以其中一條已知線段的中垂線做y軸，這樣的好處是方便我們的后續(xù)求值和計算，這也是我們建系時常見的思考方法。

師:下面給同學們一個思考題，請大家從坐標系的角度去考慮如何求解，加深認知。

說明:對這一內(nèi)容所選的題目都是經(jīng)典試題，對程度較弱的學生很有針對性。針對建立坐標系這一難點，3個題目按照由淺入深逐步推進。案例2容易建立坐標系的一個題型，讓學生明確抓住圖形的幾何特征建立坐標系的建系思想;其次讓學生感受坐標法的解題過程，明確一般的解題步驟。變式1沒有明確的坐標系建系暗示，需要學生自己建立坐標系，這個問題主要是讓學生體會恰當建立坐標系可以讓解題更加方便，另外也讓學生鞏固坐標法解題的步驟。最后一問以思考題的形式給出，是坐標法的運用，是對學生在前兩例題的基礎(chǔ)上的一個提高和自測。對3個題目的處理方式上，案例2主要由教師分析講解，學生體會。變式1則由學生和教師共同參與，同時教師考查學生的基本認知和掌握情況。思考題則由學生自行解決，是對本方法的課后延伸。

綜上，筆者針對不同層次的學生研究了不同的向量問題的解決策略，從上述兩個研究案例發(fā)現(xiàn)，針對程度較好的學生，教師勢必研究向量問題的多樣性解決方案。這對于鞏固向量的幾何本質(zhì)以及數(shù)學思維的培養(yǎng)是有積極作用的。另一方面，筆者也專門就學困生研究了代數(shù)化的解決策略。就學生數(shù)學能力而言，圖形化水準的低下使得這些學生對向量問題的解決方式更傾注于代數(shù)化策略。文中案例以層層遞進式的不同程度問題展示了向量問題代數(shù)化的解決策略，并給出了代數(shù)化策略解決的一般性思路。

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［3］袁桐.重視“向量方法”［J］.數(shù)學教學，2007(9).