王振立，劉希強(qiáng)

(2+1)維破裂孤子方程組的精確解

王振立，*劉希強(qiáng)

(聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東，聊城 252059)

利用推廣的()展開法，并借助于計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)maple，獲得了（2+l）維破裂孤子方程組新的顯式解，包括單循環(huán)孤立子解、三角周期解、有理函數(shù)解等。

(2+1)維破裂孤子方程組；()展開法；顯式解；齊次平衡

尋找非線性偏微分方程的精確解在孤立子理論中一直占有重要地位。非線性偏微分方程描述了眾多領(lǐng)域的復(fù)雜現(xiàn)象，如物理學(xué)，生物，化學(xué)，工程等。到目前為止已發(fā)展了許多不同的求解方法，如Painlevé截尾展開法[1]，雙曲函數(shù)法[2-4]，Jacobi橢圓函數(shù)展開法[5]，Jacobi橢圓函數(shù)方法一般化的F-展開法[6]，反散射法[7]，齊次平衡法[8]等。利用這些方法得到許多豐富的精確解，包括孤立波解，周期波解等。

文獻(xiàn)[9]中提出了一種新的構(gòu)造精確行波解()的展開方法。該法的主要思想是：非線性演化方程的行波解可以表示為()的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)可由齊次平衡原則確定；多項(xiàng)式的系數(shù)可通過(guò)解一個(gè)非線性代數(shù)方程組求得；非線性代數(shù)方程組是應(yīng)用()展開法過(guò)程中產(chǎn)生的。該方法具有直接、簡(jiǎn)潔與基本的優(yōu)點(diǎn)，已有效地求解了許多非線性演化方程。本文應(yīng)用()展開法獲得了(2+1)維破裂孤子方程組含任意參數(shù)的更多的顯式行波解。

1 (w/g)展開法

考慮如下偏微分方程

(ii)假設(shè)（1.2）有下述形式的解：

(1.3)

關(guān)于()的項(xiàng)共有+1項(xiàng)。這里的()滿足以下方程

即

且滿足

這是我們熟悉的tanh函數(shù)展開法[11-12]。

且滿足

且滿足

2 （2+1）維破裂孤子方程組的行波解

考慮以下方程組

將(2.4)積分一次得

代入(2.3)式積分并置積分常數(shù)為零，得

解以上代數(shù)方程組得：

解以上代數(shù)方程組得：

注：(1)本文得到方程組顯式解比文獻(xiàn)[13]中的該類型的解豐富。

(2)本文得到的解均經(jīng)過(guò)maple數(shù)學(xué)軟件檢驗(yàn)。

3 結(jié)論

()展開法的提出為非線性發(fā)展方程(組)的求解又提供了一種強(qiáng)有力的辦法。本文將簡(jiǎn)潔的()展開方法應(yīng)用于(2+1)維破裂孤子方程組的顯式行波解，其中包括孤立波解、三角函數(shù)解以及有理函數(shù)解。由于參數(shù)的任意性, ()展開法可以獲得(2+1)維破裂孤子方程組更多的精確解。這些精確解對(duì)解釋復(fù)雜的物理現(xiàn)象有重要的作用。()展開法具有直接、簡(jiǎn)捷而基本的優(yōu)點(diǎn)，該方法具有一定的普遍性，可以用來(lái)求解其它的非線性發(fā)展方程(組)。

[1] Weiss J,Tabor M, Carnevale G . The Painlevé property for partial differential equations[J]. Journal of Mathematical Physics, 1983, 24(3): 522-526．

[2] Parkes E J, Duffy B R. An automated tanh-function method for finding solitary wave solutions to non-linear evolution equations[J]. Computer Physics Communications, 1996, 98(3): 288-300.

[3] Abdusalam Η A. On an improved complex tanh-function method[J]. International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 2005, 6(2): 99-106.

[4] Fan E. An algebraic method for finding a series of exact solutions to integrable and nonintegrable nonlinear evolution equations[J]. Journal of Physics A: Mathematical and General, 2003, 36(25): 7009-7016.

[5] Liu S, Fu Z, Liu S, et al. Jacobi elliptic function expansion method and periodic wave solutions of nonlinear wave equations[J]. Physics Letters A, 2001, 289(1): 69-74.

[6] Zhou Y, Wang M, Wang Y. Periodic wave solutions to a coupled KdV equations with variable coefficients[J]. Physics Letters A, 2003, 308(1): 31-36.

[7] Ablowitz M J, Segur H. Solitons and the inverse scattering transform[M]. Philadelphia: Siam, 1981.

[8] Fan E, Zhang H. A note on the homogeneous balance method[J]. Physics Letters A, 1998, 246(5): 403-406.

[9] Li W A, Chen H, Zhang G C. The (ω/g)-expansion method and its application to Vakhnenko equation[J]. Chinese Physics B, 2009, 18(2): 400-404.

[10] Wang M L, Li X, Zhang J.The(′/) -expansion method and travelling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics[J].Physics Letters A,2008, 372(4):417-423.

[11] Fan E. Extended tanh-function method and its applications to nonlinear equations[J]. Physics Letters A, 2000, 277(4):212-218.

[12] Wazwaz A. Exact solutions for the ZK-MEW equation by using the tanh and sine–cosine methods[J]. International Journal of Computer Mathematics, 2005, 82(6): 699-708.

[13] Cao R. Exact Solutions for (2+1) Dimensional Breaking Soliton Equation[J]. University mathematics, 2012, 28(2):34-36.

Explicit Solutions of (2+1)-dimensional Breaking Solition Equations

Wangzhen-li，*LiuXi-qiang

（College of Mathematical Sciences，Liaocheng University, Liaocheng, Shandong 252059,China）

Applying the generalized () -expansion method and with the help of computer algebraic system maple, the explicit travelling solutions of the (2+1)-dimensional breaking solition equations were obtained, which included soliton solution, the trigonometric functions and the rational functions.

(2+1)-dimensional breaking solition equations; the ()-expansion method; explicit solutions; homogeneous balance principle

O175.2

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2014.04.005

2014-03-28；

2014-05-15

國(guó)家自然科學(xué)基金和中國(guó)工程物理研究院聯(lián)合基金項(xiàng)目(11076015)

王振立(1981- )，男，山東棗莊人，碩士生，主要從事非線性偏微分方程解的研究(E-mail: wzl2319668@163.com);

*劉希強(qiáng)(1957- )，男，山東菏澤人，教授，博士，主要從事非線性偏微分方程系統(tǒng)研究(E-mail:liuxiq@sina.com).