王松濤

（中山市華僑中學，廣東 中山 528400）

多物體周期性運動的問題是高中物理中最為復(fù)雜的內(nèi)容之一，由于同時運動的物體多、過程多，許多學生在分析時往往顧此失彼，不知所措.而從功和能的角度去分析就更加霧里看花，難辨是非了.

圖1

例題.一傳送帶裝置如圖1所示，傳送帶在AB區(qū)域是傾斜的，傾角θ＝30°.工作時傳送帶向上運行的速度保持v＝2m／s不變.現(xiàn)將質(zhì)量均為m＝2kg的小貨箱（可視為質(zhì)點）一個一個在A處放到傳送帶上，放置小貨箱的時間間隔均為T＝1s，放置時初速度為零，小貨箱一到達B處立即被取走.已知小貨箱剛放在A處時，前方相鄰的小貨箱還處于勻加速運動階段，此時兩者相距為s1＝0.5m.傳送帶裝置由電動機帶動，傳送帶與輪子間無相對滑動，不計輪軸處的摩擦，取g＝10m／s2.除了剛釋放貨箱的時刻，若其他時間內(nèi)總有4個貨箱在傳送帶上運動，求每運送一個小貨箱電動機對外所做的功，并求電動機的平均輸出功率P.

圖2

解法1：小貨箱剛放在A處時，前方相鄰的小貨箱已經(jīng)運動了時間T.如圖1有代入數(shù)據(jù)解得加速度大小a＝1m／s2.傳送帶上總共有4個貨箱在運動，說明貨箱1在A處釋放后經(jīng)過t＝4T的時間運動至B處.此時，第5個貨箱恰要放入A處，如圖3，圖2為T＝1s前的情景.

圖3

貨箱在位置D處速度與傳送帶速度相等，此刻，貨箱所受滑動摩擦力突變?yōu)殪o摩擦力，貨箱在此后的時間內(nèi)隨傳送帶做勻速運動，f靜＝mgsinθ.傳送帶克服該貨箱的靜摩擦力做的功為W2＝f靜v（t-t1），代入數(shù)據(jù)解得W2＝40J.

每運送一個小貨箱電動機對外做的功為W＝W1＋W2＝88J.

放置小貨箱的時間間隔為T，則每隔時間T就有一個小貨箱到達B處，因此電動機的平均輸出功率為88W.

對于解法1，很多學生感到迷惑.貨箱1從A處運動到B處的4s時間內(nèi)，電動機不是同時在對貨箱2、3、4做功嗎？為什么解答中只計算了電動機對貨箱1做的功，而并未計算對貨箱2、3、4做的功呢？另外，運送一個貨箱的時間明明是4s，即電動機對一個貨箱做功的時間為4s，為什么計算電動機輸出功率時這個時間卻又取1s呢？

分析：首先，運送一個貨箱對應(yīng)的時間是1s而非4s.因為觀察者在B處每隔1s就可取得1個貨箱，這與該貨箱是何時放上去的并無關(guān)系.其次，電動機對貨箱1做功的同時，很明顯對貨箱2、3、4也做了功.題目中要求每運送一個小貨箱的過程中電動機對外所做的功，顯然，更直接地看應(yīng)是求在1s的時間內(nèi)，電動機對貨箱1、2、3、4所做的總功.那么，為何答案中卻是求電動機對一個貨箱在4s內(nèi)所做的功呢？

現(xiàn)在，我們來分析4個貨箱同時做周期性運動的特點.貨箱1在4個連續(xù)的1s內(nèi)的運動分別經(jīng)歷了A→C、C→D、D→E和E→B等4個過程，而貨箱1、2、3、4在1s內(nèi)的運動為貨箱4經(jīng)歷了A→C，貨箱3經(jīng)歷了C→D，貨箱2經(jīng)歷了D→E，和貨箱1經(jīng)歷了E→B的4個過程.即貨箱1在4s內(nèi)的運動恰好是經(jīng)歷了貨箱1、2、3、4在1s內(nèi)所經(jīng)歷的過程.故電動機對貨箱1在連續(xù)4s內(nèi)所做的功應(yīng)等于電動機在1s內(nèi)對連續(xù)4個貨箱所做的功.因此用電動機在1s內(nèi)對4個貨箱所做的功來驗證.

解法2：在從圖2到圖3的1s內(nèi)，貨箱1和2受靜摩擦力作用，而貨箱3和4受滑動摩擦力作用.電動機克服4個貨箱的摩擦力做功為W＝（2f滑＋2f靜）vT＝88J.

結(jié)論：解法1和解法2的一致性正好說明了多物體周期性運動時間和空間的統(tǒng)一.

以上從摩擦力做功的角度驗證了多物體周期性運動時間和空間的統(tǒng)一，還可以變換角度，從功是能量轉(zhuǎn)化的量度出發(fā)，用能量轉(zhuǎn)化這個更本質(zhì)的視角來探討這一問題.

貨箱放到傳送帶上，電動機多做的功對應(yīng)于多消耗的電能，而電動機多消耗的電能使得貨箱的機械能增加，同時，貨箱與傳送帶摩擦產(chǎn)生了內(nèi)能.

解法3：從圖2到圖3的一個T內(nèi)，電動機對外做的功等于1、2、3、4共4只貨箱動能的增加、重力勢能的增加和貨箱3、4與傳送帶之間滑動摩擦產(chǎn)生內(nèi)能的總和.

系統(tǒng)增加的動能為ΔEk＝Ek′-Ek.

系統(tǒng)增加的重力勢能為ΔEp＝Ep′-Ep.

Ep′＝mg·AC·sinθ＋mg·AD·sinθ＋mg·AE·sinθ＋mg·AB·sinθ，

Ep＝mg·AC·sinθ＋mg·AD·sinθ＋mg·AE·sinθ.故ΔEp＝mg·AB·sinθ＝mg（·2T＋v·2T ）sinθ＝60J.

由圖2到圖3的一個T內(nèi)，貨箱1和2勻速運動，不會摩擦生熱.

貨箱3與傳送帶相對滑動的路程為

貨箱4與傳送帶相對滑動的路程為

故ΔE內(nèi)＝f滑·Δs3＋f滑·Δs4＝24J.

圖2到圖3的一個T內(nèi)，4個貨箱和傳送帶總的能量變化為ΔE＝ΔEk＋ΔEp＋ΔE內(nèi)＝88J.故電動機對外做功為88J.

那么一只貨箱在從A處運動到B處的4s時間內(nèi)，能量變化又如何呢？

解法4：一只貨箱在從A處運動到B處過程中其能量變化為

貨箱在前2s內(nèi)相對于傳送帶滑動的路程為

可得ΔE＝ΔEk＋ΔEp＋ΔE內(nèi)＝88J.故電動機對外做功為88J.

從能量轉(zhuǎn)化的角度我們再次驗證了多物體周期性運動時間與空間的統(tǒng)一性.

結(jié)論：多物體周期性運動具有物體多、過程多等復(fù)雜性，但卻具有空間與時間周期性統(tǒng)一的規(guī)律.以上4種解法都體現(xiàn)了這一特點，如果能很好地利用這一點，就能化繁為簡，舉重若輕.例如本題中解法2和解法4相對于解法1和解法3就更為簡單明了.