司德平

（河南省鄭州外國語學(xué)校，河南 鄭州 450001）

2014年高考課標(biāo)Ⅰ卷第25題是一道物理壓軸題，考查了平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律、勻強(qiáng)電場等勢(shì)線與電場線的特點(diǎn)及關(guān)系、帶電體在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)的功能關(guān)系.現(xiàn)不同于參考答案，利用平拋運(yùn)動(dòng)的矢量直角三角形法和勻強(qiáng)電場的電勢(shì)等分法及對(duì)稱性，解答本題.

圖1

原題.（2014年高考課標(biāo)Ⅰ卷第25題）如圖1所示，O、A、B為同一豎直平面內(nèi)的3個(gè)點(diǎn)，OB沿豎直方向，∠BOA＝60°，OB＝OA.將一質(zhì)量為m的小球以一定的初動(dòng)能自O(shè)點(diǎn)水平向右拋出，小球在運(yùn)動(dòng)過程中恰好通過A點(diǎn).使此小球帶電，電荷量為q（q＞0），同時(shí)加一勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)方向與OAB所在平面平行.現(xiàn)從O點(diǎn)以同樣的初動(dòng)能沿某一方向拋出此帶電小球，該小球通過了A點(diǎn)，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能是初動(dòng)能的3倍；若該小球從O點(diǎn)以同樣的初動(dòng)能沿另一方向拋出，恰好通過B點(diǎn)，且到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能是初動(dòng)能的6倍，重力加速度大小為g，求：

（1）無電場時(shí)，小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能與初動(dòng)能的比值；

（2）電場強(qiáng)度的大小與方向.

1 利用平拋運(yùn)動(dòng)的矢量直角三角形法解答第（1）問

通常，處理平拋運(yùn)動(dòng)的基本思想是化曲線運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)，即根據(jù)合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性、同時(shí)性和等效性，把平拋運(yùn)動(dòng)正交分解為水平初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng).速度和位移的合成與分解，可由矢量運(yùn)算的平行四邊形定則簡化為三角形定則，因此，可利用矢量直角三角形法解決平拋運(yùn)動(dòng)問題.

在平拋運(yùn)動(dòng)中，過拋物線上的任一點(diǎn)做切線，速度方向的反向延長線必然通過對(duì)應(yīng)水平位移的中點(diǎn)，且該點(diǎn)速度的偏向角α與對(duì)應(yīng)平拋位移的水平方向角β，滿足tanα＝2tanβ.平拋物體的速度直角三角形與相應(yīng)位移直角三角形分別將水平速度、豎直速度、初動(dòng)能、末動(dòng)能、水平位移、豎直位移和拋出點(diǎn)的重力勢(shì)能有機(jī)地整合在這兩個(gè)三角形當(dāng)中，即平拋三角形集合了平拋物體的位移關(guān)系、速度關(guān)系和能量關(guān)系.

解析：在無電場時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)為平拋運(yùn)動(dòng).設(shè)小球的初速度為v0，初動(dòng)能為Ek0，小球在A點(diǎn)的動(dòng)能為EkA，A點(diǎn)相對(duì)拋出點(diǎn)O的高度為h，A點(diǎn)速度的偏向角為α，由平拋運(yùn)動(dòng)的速度直角三角形與位移直角三角形的關(guān)系可知

由（1）、（2）式可得

由動(dòng)能定理可知

由（3）、（4）式可得

或由（1）、（2）式可得拋出點(diǎn)的重力勢(shì)能與初動(dòng)能之比為

由（4）、（5）式也可得

2 利用勻強(qiáng)電場的電勢(shì)等分法及對(duì)稱性解答第（2）問

勻強(qiáng)電場的等勢(shì)線不僅與電場線垂直，而且是疏密均勻的平行線.因此，在勻強(qiáng)電場中，雖然沿任意一個(gè)方向電勢(shì)的降落都是均勻的，但是沿不同的方向電勢(shì)降落的梯度一般是不同的.當(dāng)相交的兩直線關(guān)于場強(qiáng)方向?qū)ΨQ時(shí)，在相交的兩直線上等距離的兩點(diǎn)電勢(shì)必相等.該兩點(diǎn)的連線為等勢(shì)線，與場強(qiáng)方向垂直，且沿場強(qiáng)方向電勢(shì)降落最快.因此，勻強(qiáng)電場可利用電勢(shì)等分法及對(duì)稱性尋找等勢(shì)點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)等勢(shì)線與電場線關(guān)系，確定場強(qiáng)的方向；再由E＝求場強(qiáng)的大小.

解析：在無電場時(shí)，由（3）式可知

又因?yàn)?/p>

由（6）～（8）式可得

加上與△OAB所在平面平行的某一方向勻強(qiáng)電場E后，對(duì)帶電小球從O到A和從O到B的過程，分別由動(dòng)能定理可知

又因?yàn)?/p>

由（9）～（12）式可得

圖2

由（13）式可知OA和OB關(guān)于場強(qiáng)方向?qū)ΨQ，在OB上取一點(diǎn)C，令OC＝OA＝OB，則A、C為等勢(shì)點(diǎn)，A、C連線為等勢(shì)線，過O點(diǎn)做A、C連線的垂線.由幾何關(guān)系可知，場強(qiáng)方向沿∠BOA的角平分線.如圖2所示.

設(shè)場強(qiáng)方向與OB間的夾角為？θ，則有θ＝30°.根據(jù)正電荷從O到B

電場力做正功，可判斷電場方向與豎直方向成30°夾角斜向右下方.勻強(qiáng)電場場強(qiáng)的大小為

平拋運(yùn)動(dòng)的矢量直角三角形法可以遷移、處理類平拋運(yùn)動(dòng)問題.無獨(dú)有偶，2014年高考山東卷理綜第18題就可以利用類平拋運(yùn)動(dòng)的速度直角三角形法、結(jié)合對(duì)稱性簡便處理.

圖3

原題.（2014年高考山東卷理綜第18題）如圖3所示，場強(qiáng)大小為E、方向豎直向下的勻強(qiáng)電場中有一矩形區(qū)域abcd，水平邊ab長為s，豎直邊ad長為h.質(zhì)量均為m、帶電荷量分別為＋q和-q的兩粒子，由a、c兩點(diǎn)先后沿ab和cd方向以速率v0進(jìn)入矩形區(qū)（兩粒子不同時(shí)出現(xiàn)在電場中），不計(jì)重力.若兩粒子軌跡恰好相切，則v0等于