蔣致遠(yuǎn)等

摘 要 提供了一種基于自適應(yīng)拉普拉斯變換有限差分方法來解決BlackScholes 期權(quán)定價問題.相比較于傳統(tǒng)的時間推進(jìn)法，此方法在保證較高精確度和很好的收斂性的同時，還可以減少計算時間.這一精確有效的方法將通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證.

關(guān)鍵詞 拉普拉斯變換；有限差分；BlackScholes方程；歐式期權(quán)

中圖分類號 F224.9 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A

Laplace Transform Based Finite Difference

Method for BlackScholes Option Pricing

JIANG Zhiyuan1， ZHANG Tiao2， GONG Shanshan2

（1. School of Business， Guilin University of Electronic Technology，Gulin， Guangxi； 2.School of Mathematic

and Computing Science， Guilin University of Electronic Technology， Guilin， Guangxi 541004 China）

Abstract This paper provids an adaptive Laplace transform finite difference method to solve the problem of BlackScholes option pricing. Comparing to the traditional time marching methods， this method not only can guarantee higher accuracy and very good convergence， but also can reduce the computation time， whose accuracy and efficiency are shown by numerical experiments.

Key words Laplace transform； finite difference； BlackScholes equation； European option

1 引 言

金融期權(quán)因?yàn)榫哂刑桌鸵?guī)避風(fēng)險的功能，所以在金融市場占據(jù)越來越重要的位置.在國外期權(quán)市場飛速發(fā)展的同時，國內(nèi)的期權(quán)市場仍處于停滯狀態(tài).同時由于國內(nèi)沒有期權(quán)交易所，導(dǎo)致部分投資者對期權(quán)鮮有了解.期權(quán)定價是期權(quán)交易的核心.在經(jīng)典的確定性BS期權(quán)定價模型中[1]，為了研究的方便，人們經(jīng)常會選擇一個常數(shù)隨機(jī)波動率.然而，這在經(jīng)典的定價模型中是有缺陷的，比如波動率微笑就是眾所周知的一個偏差.相對于給定一個常數(shù)波動率的經(jīng)典BS模型來說，在實(shí)際的案例中，更多的是需要來求解帶有未知波動率的模型.于是，關(guān)于求解此類問題的方法逐漸的受到越來越多的學(xué)者關(guān)注并研究.很多學(xué)者都采用對時間進(jìn)行積分的時間推進(jìn)法來進(jìn)行研究期權(quán)的定價問題.其中Chawla[2]對BS方程運(yùn)用廣義梯形公式法對期權(quán)定價；Vázquez[3]給出了一種逆風(fēng)數(shù)值方法的期權(quán)定價模型，可以同時對美式期權(quán)和歐式期權(quán)進(jìn)行定價.國內(nèi)學(xué)者張鐵[4，5]給出了變網(wǎng)格差分方法和有限差分方法求解期權(quán)定價問題；蹇明[6]則利用了五點(diǎn)式混合差分方法研究歐式看漲期權(quán)定價問題.時間推進(jìn)法采用了分割足夠小的步長來保持其穩(wěn)定性，但是在解決問題的同時，增加了計算量.基于這一問題，本文運(yùn)用了自適應(yīng)拉普拉斯變換有限差分方法，這種方法是通過對時域采用拉普拉斯變換，先剔除掉暫時的衍生品，再在資產(chǎn)的價格域上對變換后得到的方程采用有限差分方法，最后利用修正后的快速拉普拉斯逆變換，以期得到依賴于時間的期權(quán)價值.

2 知識回顧

圖2給出了拉普拉斯變換有限差分方法的收斂性分析，取X=50，K=70，r=0.05，σ=0.4，T=1，L=100時，通過MATLAB可以觀測到其收斂性的直觀結(jié)果，且從運(yùn)行結(jié)果上來看，其波動性較小、比較穩(wěn)定，收斂性很好。如圖2所示：

節(jié)點(diǎn)數(shù)/個

圖2 拉普拉斯變換有限差分方法的收斂性分析

6 總 結(jié)

本文首先給出了拉普拉斯變換有限差分方法的理論推導(dǎo)，并給出了相應(yīng)的算法總結(jié).最后通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)，可以觀測到，拉普拉斯有限差分法相比較于二叉樹方法和隱式差分方法，在保證其較好的收斂性的同時，還有著較高的精確度.在收斂性方面其優(yōu)于隱式差分方法，但比二叉樹方法的收斂性要差一些；從計算速度上來進(jìn)行比較，其計算速度比二叉樹方法和隱式差分方法的速度要更快一些.同時需要指出該方法的不足之處，即在節(jié)點(diǎn)數(shù)的選取上，并不是節(jié)點(diǎn)數(shù)L選取的越大，其精確度就越高.所以，接下來的工作主要是研究如何選取恰當(dāng)?shù)墓?jié)點(diǎn)數(shù)以進(jìn)一步提高其精確度以及良好的收斂性.

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