曹穎超

【摘 要】在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)教學(xué)中，視向變換是一個(gè)重點(diǎn)難點(diǎn)，而這部分內(nèi)容又是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，本文根據(jù)筆者多年的教學(xué)實(shí)踐，詳細(xì)闡述了繞任意直線旋轉(zhuǎn)的講解要點(diǎn)及其與視向變換的關(guān)系。使學(xué)生易于理解視向變換，間接降低三維圖形顯示的難度，對(duì)于學(xué)生掌握三維圖形的顯示有著極為重要的意義。

【關(guān)鍵詞】視向變換；三維復(fù)合變換；三維圖形顯示

在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)三維圖形顯示中，視向變換是比較抽象難理解的一部分內(nèi)容[1]，而這部分內(nèi)容又是三維裁剪、消隱和真實(shí)感圖形的基礎(chǔ)，因此可以說(shuō)是難點(diǎn)也是重點(diǎn)。三維復(fù)合變換中的繞任意直線旋轉(zhuǎn)與視向變換有著極為密切的聯(lián)系，如果在教學(xué)中將繞任意直線的旋轉(zhuǎn)變換講解透徹，學(xué)生就可以自己推導(dǎo)理解視向變換的實(shí)現(xiàn)過(guò)程。本文根據(jù)作者多年的教學(xué)實(shí)踐，詳細(xì)闡述了繞任意直線旋轉(zhuǎn)的講解要點(diǎn)及其與視向變換的關(guān)系。

1 繞任意直線旋轉(zhuǎn)在三維圖形顯示中的重要性

在三維圖形的基本顯示流程中（如圖1）[2]，視向變換又稱(chēng)觀察變換是最為抽象的部分，其目的是將世界坐標(biāo)系中的三維圖形變換到視坐標(biāo)系（又稱(chēng)觀察坐標(biāo)系）。其實(shí)質(zhì)是尋找一個(gè)坐標(biāo)變換矩陣，使得視點(diǎn)為視坐標(biāo)系的原點(diǎn)，觀察方向?yàn)橐曌鴺?biāo)系的Z軸方向。由于世界坐標(biāo)系是一個(gè)右手坐標(biāo)系，視坐標(biāo)系是一個(gè)左手坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)時(shí)，先將將觀察方向變換為視坐標(biāo)系的Z軸，再將X軸取反方向。這一點(diǎn)，與三維圖形繞任意直線的旋轉(zhuǎn)基本相同。

圖1 三維圖形基本顯示流程

在三維圖形繞任意直線的旋轉(zhuǎn)中，因?yàn)樵诨編缀巫儞Q中有三維圖形繞三條坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換，所以這個(gè)問(wèn)題的基本思路就是將該直線變換為某一條坐標(biāo)軸，再做旋轉(zhuǎn)，然后依次做前面變換的逆變換。

2 繞任意直線旋轉(zhuǎn)的講解要點(diǎn)

設(shè)有圖形繞任意一條過(guò)原點(diǎn)的直線（對(duì)于不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)直線可以作一個(gè)平移變換使之過(guò)原點(diǎn)）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角，如圖2，直線用OE表示。A、B、C分別是E點(diǎn)在X、Y、Z軸的投影，也是該直線的方向矢量。

圖2 繞任意直線的旋轉(zhuǎn)

講解要點(diǎn)一：在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，任何圖形都是用點(diǎn)表示，對(duì)圖形作變換也就是對(duì)表示圖形的點(diǎn)作變換。所以要使得直線OE與Z軸重合，只要使表示直線的兩個(gè)點(diǎn)落到Z軸上就可以了。由于O點(diǎn)在繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)中位置不變，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為使得E點(diǎn)落到Z軸上。

講解要點(diǎn)二：繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，該坐標(biāo)保持不變，所以要找出過(guò)點(diǎn)E且垂直于該坐標(biāo)軸的平面。

講解要點(diǎn)三：繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)到該坐標(biāo)軸的距離保持不變。

圖形繞任意過(guò)原點(diǎn)直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角的過(guò)程：

首先使該直線與Z軸重合，即先使E落到Z軸上，第一步，將E點(diǎn)繞X軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，使得E點(diǎn)落到XOZ平面，找出過(guò)E點(diǎn)且垂直于X軸的平面，再找出該平面與XOZ平面的交線，根據(jù)要點(diǎn)二可知，E′點(diǎn)在該交線上，根據(jù)要點(diǎn)三，可以確定E′的具體位置，在直角三角形AEE′中，可以確定α，得到旋轉(zhuǎn)變換矩陣Rx（α）；第二步，將E′點(diǎn)繞Y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角，使之落到Z軸上，根據(jù)要點(diǎn)二，XOZ平面垂直于Y軸，根據(jù)要點(diǎn)三，可以確定E″在Z軸上的位置，在直角三角形OE′E″中，可以確定β角，得到旋轉(zhuǎn)變換矩陣Ry（-β）。至此，直線OE與Z軸重合。

其次，使圖形繞該直線即Z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角，得到矩陣Rz（θ）。

最后，再將直線變換回原來(lái)的位置，即先繞Y軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角，得到矩陣Ry（β）。接著繞X軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，得到矩陣Rx（-α）。

將所有變換矩陣依次相乘，得到繞任意直線旋轉(zhuǎn)的組合變換矩陣 T=Rx（α）Ry（-β）Rz（θ）Ry（β）Rx（-α）。

3 三維圖形顯示中的視向變換

在三維圖形顯示中，視向變換是將世界坐標(biāo)系變換為視坐標(biāo)系，一般假定給出視點(diǎn)E后，視點(diǎn)到世界坐標(biāo)系原點(diǎn)的向量EO即為觀察方向，則E點(diǎn)為視坐標(biāo)系的原點(diǎn)，EO為視坐標(biāo)系的Z軸。

圖3 視向變換

在變換過(guò)程中，要強(qiáng)調(diào)的是，坐標(biāo)變換與物體變換是互逆的。

第一步將坐標(biāo)原點(diǎn)平移至視點(diǎn)E，得到平移變換T1。

第二步，將世界坐標(biāo)系的Z軸變換到EO，首先將坐標(biāo)系繞X軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，將Z軸旋轉(zhuǎn)到Y(jié)軸的反方向，相當(dāng)于物體變換Rx（-90）；再將坐標(biāo)系繞Y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，將Z軸旋轉(zhuǎn)至Ec，相當(dāng)于物體變換Ry（α）；最后將Z軸旋轉(zhuǎn)至EO，這時(shí)由于EOc平面是Z軸和Y軸所在平面，所以垂直于X軸，所以這是將坐標(biāo)繞X軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角，相當(dāng)于物體變換Rx（-β）。

第三步，將世界坐標(biāo)系的X軸取反向，得到變換矩陣T（-x），這就是左手坐標(biāo)系——視坐標(biāo)系。于是得到視向變換矩陣為T(mén)=T1·Rx（-90）·Ry（α）·Rx（-β）·T（-x）。

由于三維圖形顯示過(guò)程復(fù)雜、抽象，步驟多，尤其是視向變換和投影變換不易理解，因次，在繞任意直線的旋轉(zhuǎn)中將要點(diǎn)講解清楚，從而使學(xué)生易于理解視向變換，間接降低三維圖形顯示的難度，對(duì)于學(xué)生掌握三維圖形的基本顯示流程有著極為重要的意義。

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳元琰，張睿哲，吳東，等.計(jì)算機(jī)圖形學(xué)實(shí)用技術(shù)[M].2版.清華大學(xué)出版社，2006：147-150.

[2]楊欽，徐永安，翟紅英.計(jì)算機(jī)圖形學(xué)[M].清華大學(xué)出版社，2005：88-94.

[責(zé)任編輯：湯靜]