鄭子諭

近幾年全省各地中考出現(xiàn)了一批符合學生的認識水平和年齡特點，個性獨特設計優(yōu)美的開放探究題。開放性試題已成為一個熱點問題，為了培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力，我們有必要對數(shù)學開放題進行研究和實踐。初中數(shù)學問題一般可以分成兩大類：一類是封閉性問題，另一類是開放性問題，封閉性問題是已知和結論都有確定要求的問題，而答案不固定或者條件不完備的習題一般則稱為開放題。初中數(shù)學開放性問題為學生提供了以自己喜歡的方式解答問題的機會，在實際的解題過程中，學生可以將自己的知識、技能以各種方式相結合，以發(fā)現(xiàn)新的思想方法。實踐證明，初中數(shù)學開放性試題的教學有助于培養(yǎng)學生的優(yōu)化意識，提高解決問題的能力，可以使學生更全面地理解數(shù)學的本質，體會數(shù)學的美感，從而達到素質教育的要求。

一、數(shù)學開放性問題具備的特征

1.非完全性

指數(shù)學開放型問題的組成因素是不完備的，要么條件不充分，要么結論不完全，要么解題方法和解題依據(jù)不明確。

2.不確定性

指數(shù)學開放型問題或者條件不確定；或者結論不確定；或者解題方法、解題依據(jù)不唯一；或者只給出了一種情景、其條件、解題策略需要解題者在情景中去設定，進而尋求結論。

3.探究性

指解答開放型數(shù)學問題沒有傳統(tǒng)的、現(xiàn)成的模式可效仿，必須經過主動探索，認真思考研究，設計解題方案。

4.靈活性

指開放型數(shù)學問題的解答方式、解題方法以及答案是靈活多樣的。

5.新穎性與創(chuàng)新性

指數(shù)學開放型問題內容、形式的新穎性，對學生素質與能力考查的創(chuàng)新性。

二、常見的開放型問題題型

1.給出結論，沒有給出條件

要解題者自行研究使結論成立的各種必備條件；或對已知條件作出某種刪減或增添，要求解題者歸納出原先給定結論的相應變化。

2.給出條件，沒有給出明確結論或結論不唯一的問題

要解題者探索出結論，必要時給出推理過程或理論說明。

3.方法探索型問題

指解題途徑或解題方法超越常規(guī)，要解題者思考合適的解題方法，尋找合理的解題途徑，去探求滿足題意的結論，在這里，特別強調的是，用不完全歸納猜想去尋找共同規(guī)律是中考中?？嫉念}型。

4.存在說理探索型

指在一定的前提下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學關系是否存在的題目。

5.猜想驗證探究型

指能夠根據(jù)題目中的圖形或者數(shù)學直觀地發(fā)現(xiàn)共同特征，或者發(fā)展變化的趨勢，據(jù)此去預測、估計它的規(guī)律或者其他相關結論。

6.信息遷移型問題

這類問題大多通過定義一個概念，或規(guī)定一種運算，或給出一個規(guī)則，通過閱讀相關信息，尋找解題方法；或是與其他學科相結合，解決其他學科的相關問題。

7.方案決策探究型

考查數(shù)學實踐能力和創(chuàng)新設計才能。

三、開放型問題常見的解法

1.從簡單最特殊情況入手

有時也可借助直接觀察或判斷，從特殊到一般的歸納，從具體到抽象的概括，得出一般性的結論。

2.借助類比手段

通過尋找其類同之處，去推測新結論與類比對象的可能成分，也可以通過分析特征、提出猜想，再進行必要的論證。

3.假設結論存在或成立

若推證無矛盾，則結論確實存在或成立；若推出矛盾，則結論不存在過不成立，這是處理存在型問題的一般模式。

四、常見的解題切入點

1.利用特殊值（特殊點、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置）進行歸納、概括，從而得出規(guī)律

2.反演推理

根據(jù)假設進行推理，看看推導出矛盾的結果還是能否與已知條件一致。

3.分類討論

當命題的題設和結論不唯一確定時，則需對可能出現(xiàn)的情況做出既不重復、也不遺漏，分門別類地加以討論求解，將不同結論綜合討論歸納得出正確結論。

五、常見題型

1.題型一：條件開放性試題

此類問題的外在形式是針對一個結論，條件未知或不完備，或條件有誤需糾錯，或滿足結論的條件不唯一，條件開放型問題的明顯特征是缺少確定的條件，問題所需補充的條件不是必要的條件，即所需補充的條件不能由結論完全推出。

一般來說，條件開放型問題的標準答案包括：將所缺的條件補充完整和根據(jù)自己給出條件形成的封閉題做出完整解答，解此題的基本策略都是執(zhí)果索因，尋找結論成立的條件，在判斷條件不存在時，常舉反例說明。

例1.如圖1：四邊形ABCD中，AB//CD，要使四邊形ABCD為平行四邊形，則應添加的條件是（添加一個條件即可）。

解析：答案不唯一，可以是：AB=CD或AD//BC等，只要滿足平行四邊形的判定定理即可。

2.題型二：結論的開放與探索

這類問題的主要特征是有條件而無結論，自然地，解題的首要任務是探索結論。基本策略是通過對符號已知條件的特例（如特殊的數(shù)值、特殊的圖像、特殊的圖形位置等）或問題的簡單情形的分析研究，考查其規(guī)律，猜想其結論然后進行證明。

解決這類問題的方法是根據(jù)條件，結合已學的知識、數(shù)學思想方法，通過分析、歸納逐步得出結論；或通過觀察、實驗、猜想、論證的方法求解。求解此類問題時，切勿憑空亂想，應仔細對照條件，觀察圖形特征，聯(lián)想已學知識、方法或已解決過的問題，全方位、多角度地做全面分析。

例2.如圖2，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦OD⊥CB于點E，交圓于點D。

（1）請寫出三個不同類型的正確結論；

（2）連結CD，設∠CDB=α∠ABC=β，試找出α與β之間的一種關系式并給出證明。

解析：（1）不同類型的正確結論不唯一。（2）結論也不唯一，如若得出α與β的關系式為α>β，證明正確的也判對。

例3.已知一元二次方程有一個根是2，那么，這個方程可以是（填上你認為正確的一個方程即可）。

分析：只要把2代入所給一元二次方程成立即可。

3.題型三：方法探索性試題

這類問題的主要特征是既有開放性，又具有探索性，是典型的綜合題，有方法的探索，還有對規(guī)律的探索，以后要加強對教材中探究性問題和研究性問題的重視。

一般來說，題目常分多步，第一步往往較基礎，要解題者思考合適的解題方法，尋找合理的解題途徑，去探求滿足題意的結論；接下來幾步可以看作閱讀理解，可采用類似的方法來處理。

4.題型四：信息遷移型問題

這類題型的特點是設計或定義一個陌生的數(shù)學情景。要求考生在理解的基礎上將所學知識和方法靈活地進行遷移。由于數(shù)學是學好物理、化學、地理等課程的基礎，因此在近幾年的中考命題中，以其他學科的問題為載體設計的數(shù)學問題隨處可見，令人耳目全新。既能體現(xiàn)數(shù)學的作用，又能考查學生綜合運用知識的能力，更符合當前課程改革的需要。在今后的中考試題中，信息遷移型問題仍是命題的熱點。

解決此類問題的常用方法：

（1）假設存在，直接推斷；

（2）剖析特例，發(fā)現(xiàn)結論（有些比較抽象，規(guī)律隱蔽的題目，可通過構造實例進行剖析與比較）；

（3）等價轉化，迂回探索。

5.題型五：方案設計型問題

一般來說，方案設計問題是近幾年全國各地中考命題的熱點，解決此類問題的思路如下：

（1）閱讀理解，即認真閱讀題目，理解題意；

（2）建立模型，即針對題意，完成由實際問題向數(shù)學問題的轉化；

（3）模型求解，即運用具備的數(shù)學知識，技能和方法，完成對所建模型的解答；

（4）回歸實際，由于數(shù)學模型的解答不一定完全符合題的實際意義，所以應根據(jù)實際情況給出正確解答。

例4.市政公司為綠化一段沿江風光帶，計劃購買甲、乙兩種樹苗共500株，甲種樹苗每株50元，乙種樹苗每株80元。有關統(tǒng)計表明：甲、乙兩種樹苗的成活率分別為90%和95%。

（1）若購買樹苗共用了28000元，求甲、乙兩種樹苗各多少株？

（2）若購買樹苗的錢不超過34000元，應如何選購樹苗？

（3）若希望這批樹苗的成活率不低于92%，且購買樹苗的費用最低，應如何選購樹苗？

總之，開放性試題緊密聯(lián)系生活實際，把生活問題提煉為數(shù)學問題，調動生活經驗用于數(shù)學問題的創(chuàng)造性活動積極性，以利于學生運用所學知識解決實際問題，體會數(shù)學的實用價值，體驗數(shù)學知識來源于生活，又服務于生活的真諦。數(shù)學開放性問題在促進學生發(fā)展方面具有重要意義，有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造意識和創(chuàng)新能力，以上僅僅是筆者十幾年來教學的心得體會，有不完善的地方還需要在今后的教學中不斷探索、實踐，但我們的目標是堅定的，為培養(yǎng)開放型、創(chuàng)造型人才而努力工作。

參考文獻：

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