李 煒，王衛(wèi)英，劉福順，陳文文，彭春涪，盧洪超

（1.中國水電顧問集團(tuán)華東勘測設(shè)計研究院，浙江 杭州310014；2.青島理工大學(xué)工程質(zhì)量檢測鑒定中心，山東 青島266033；3.中國海洋大學(xué)工程學(xué)院，山東 青島266100）

常規(guī)海上風(fēng)電振動監(jiān)測時，傳感器通常安裝在風(fēng)力發(fā)電機(jī)附近，并且就目前的安裝情況來看，數(shù)量非常少，少則1個，多則2～3個。雖然監(jiān)測信號在一定程度上能夠反映風(fēng)機(jī)的運行情況，但對于海上風(fēng)電支撐結(jié)構(gòu)而言，因傳感器距離支撐結(jié)構(gòu)較遠(yuǎn)，并且支撐結(jié)構(gòu)基本位于水面以下，利用現(xiàn)有的傳感器數(shù)據(jù)無法得知支撐結(jié)構(gòu)的振動情況，包括支撐結(jié)構(gòu)的模態(tài)信息，尤其是模態(tài)振型。對于海上風(fēng)電支撐結(jié)構(gòu)而言，水下安裝傳感器的難度與成本可想而知。

Guyan［1］與Irons［2］最早提出了模型縮階方法。該方法將質(zhì)量、剛度矩陣分別對應(yīng)于主自由度、從自由度進(jìn)行分解，借助分解后的剛度矩陣計算并獲取傳遞矩陣以達(dá)到模型縮階的目的。雖然該方法是目前最簡單的方法，但該方法在很大程度上依賴于主自由度的數(shù)量與類型。更重要的是該方法只能在低階動力特性上具有較好的精度，而對于高階模態(tài)誤差較大。為此，許多學(xué)者試圖進(jìn)一步提高Guyan方法的精度。Kidder［3］、Miller［4］在一定程度上考慮了慣性力項的影響。Papadopoulos和Garcia［5］提出了2個策略以提高縮減模型的精度。但是，這些改進(jìn)只有在主自由度選取非常合適的時候才成立。O’Callahan亦在靜態(tài)縮階法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，提出了改進(jìn)的縮階系統(tǒng)（Improved Reduced System）［6］。該方法實際上是通過加入假設(shè)的靜荷載作為慣性項，在由靜態(tài)縮階法得到的轉(zhuǎn)換矩陣中加入了1個修正項。系統(tǒng)等效縮階擴(kuò)展（SEREP）方法［7］，利用計算的特征向量構(gòu)造主自由度與從自由度之間的傳遞矩陣。同靜態(tài)縮階方法類似，特征向量也分解為與主自由度和從自由度相對應(yīng)的兩部分，當(dāng)主自由度數(shù)目大于振型階數(shù)時，SEREP的傳遞矩陣可應(yīng)用偽逆技術(shù)計算獲得。值得注意的是，SEREP是1種精確的模型縮階技術(shù)。也就是說，在主自由度測試信息精確的前提下，可獲得結(jié)構(gòu)的所有自由度的振型信息。但是，如果實測模態(tài)與有限元模態(tài)的相關(guān)性欠佳，SEREP方法將無法應(yīng)用。罰函數(shù)法［8］借助權(quán)重變量作為實測模態(tài)的相對可信判別指標(biāo)，通過使模態(tài)應(yīng)變能最小實現(xiàn)模態(tài)擴(kuò)階。最近，Chen［9］提出了1種可以考慮有限元模型誤差并且允許實測數(shù)據(jù)具有一定程度測試誤差的振型擴(kuò)階新方法。該方法利用了質(zhì)量歸一化條件將實測振型表述為各有限元振型的線性組合。

上述方法是通過求解傳遞矩陣實現(xiàn)模態(tài)振型擴(kuò)階或模型縮階的。Liu［10］提出了1種考慮模型誤差的振型直接擴(kuò)階方法。該方法通過一系列模型修正系數(shù)以考慮模型誤差，借助振型修正系數(shù)實現(xiàn)未測試自由度的估算。但文中算例未討論三維結(jié)構(gòu)的振型擴(kuò)階問題。本文將引入一復(fù)合向量，通過對其未測試自由度的振型值進(jìn)行修正而實現(xiàn)模態(tài)振型的直接擴(kuò)階，無需求解傳遞矩陣。文中采用三樁導(dǎo)管架式海上風(fēng)力發(fā)電支撐結(jié)構(gòu)驗證提出方法的正確性以及在低階模態(tài)振型擴(kuò)階上的優(yōu)越性。

1 傳統(tǒng)方法

Guyan最早提出了模型縮階方法。該方法的推導(dǎo)過程起始于無阻尼體系的振動方程，即

式中：f為施加于系統(tǒng)的外力矩陣；M、K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度矩陣。

首先將體系的自由度分解為主自由度和從自由度，然后狀態(tài)向量x，外力矩陣f以及質(zhì)量矩陣M ，剛度矩陣K均分解為與主自由度和從自由度相對應(yīng)的形式，并且在從自由度上無外力，則式（1）可寫為

其中：下標(biāo)m與s分別表示主自由度和從自由度。忽略式（2）中慣性力項，可得以下2個方程

該方法因其原理相對簡單，現(xiàn)已成為最常用的模型縮階方法之一。

Paz［15］對靜態(tài)縮階法進(jìn)行了改進(jìn)，引入了慣性項。他采用了迭代方法來節(jié)省結(jié)構(gòu)特征計算時花費的機(jī)時。式（3）進(jìn)行了改進(jìn)，加入了初始設(shè)定的ω0的慣性項。可以得到

式中

TD為動力縮階法的轉(zhuǎn)換矩陣。注意到當(dāng)ω0為0時，這種方法與靜態(tài)縮階法是相同的。

SEREP方法利用計算的特征向量構(gòu)造主自由度與從自由度之間的傳遞矩陣。同靜態(tài)縮階方法類似，特征向量也分解為與主自由度和從自由度相對應(yīng)的兩部分Φm、Φs，并且SEREP的傳遞矩陣TS定義為

當(dāng)主自由度數(shù)目大于振型階數(shù)時，SEREP的傳遞矩陣TS可應(yīng)用偽逆技術(shù)計算獲得：

值得注意的是，SEREP是1種精確的模型縮階技術(shù)。也就是說，在主自由度測試信息精確的前提下，可獲得結(jié)構(gòu)的所有自由度的振型信息。

2 模態(tài)振型的直接擴(kuò)階方法

對于第j階模態(tài)，定義一復(fù)合向量Φ′j，該向量由對應(yīng)于主自由度的實測數(shù)值及對應(yīng)于從自由度的待估算數(shù)值組成，即：

式中下標(biāo)m與s分別表示主自由度和從自由度。

假定第j階空間完備的真實振型Φ＊j是對復(fù)合向量Φ′j在從自由度上修正的結(jié)果：

式中：Φ′s，j為在第s個自由度上為非零值而其他自由度上均為零值的與Φ′j同維的向量，N為待修正項（從自由度）的個數(shù)，δs為對應(yīng)的修正系數(shù)。

將真實結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度矩陣分別用K＊與M＊表示，則該結(jié)構(gòu)第j階特征值與特征向量的關(guān)系可表示為：

實際上，真實結(jié)構(gòu)的剛度矩陣K＊、M＊是未知的，并且該矩陣不同于借助有限元手段獲取的剛度矩陣K、M。故在提出的方法中，當(dāng)允許二者存在模型誤差時，研究本文方法的可行性，即

假如通過動力測試可獲得實測模型的第j階特征值與特征向量分別為左乘方程（11）的兩邊，得

將式（10）、（12）及（13）代入上式，可得

其中

將式（15）整理后，得

其中

當(dāng)有Nj階實測模態(tài)，并且從有限元模型中取Ni階時，依據(jù)式（20）可構(gòu)造Nm＝Ni×Nj方程，記

式（20）可進(jìn)一步寫成矩陣的形式，即

理論上，如果G為非奇異的方陣，則式（25）可依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的求逆算法得到Δ，即

當(dāng)G非方陣時，即方程數(shù)量與未知數(shù)的個數(shù)不等時，1個等效的算法就是偽逆技術(shù)（Pseudo－Inverse）。若矩陣G*的行數(shù)多于列數(shù)，則該問題為超靜定問題，偽逆算法關(guān)于超靜定問題的定義為Gelb［16］。

3 三樁導(dǎo)管架式海上風(fēng)力發(fā)電支撐結(jié)構(gòu)

為驗證方法的有效性，建立三樁導(dǎo)管架式海上風(fēng)力發(fā)電支撐結(jié)構(gòu)見如圖1。該模型共有25個單元組成，其中節(jié)點19以下均位于水中。所用材料的楊氏模量為2.1×1011Pa，泊松比為0.3，密度為7 860kg／m3。

圖1 三樁導(dǎo)管架式海上風(fēng)力發(fā)電支撐結(jié)構(gòu)Fig.1 Tripod jacket－type support structure for offshore wind turbine

因有限元建模必然與實際結(jié)構(gòu)之間存在誤差，故而實際結(jié)構(gòu)假定單元7、單元14分別具有35%、55%的剛度降低，其他單元剛度均乘上均值為零、方差為0.15的服從高斯分布的剛度變化系數(shù)。有限元模型與實際結(jié)構(gòu)的前10階頻率對比見表1。

表1 三樁導(dǎo)管架式海上風(fēng)力發(fā)電支撐結(jié)構(gòu)有限元模型與實際結(jié)構(gòu)的前10階頻率Table 1 Comparison of the first ten frequencies between finite element model and actual structure ／Hz

首先，檢驗所提出方法的正確性，即假定K＊已知，空間不完備情況考慮為所有節(jié)點只有平動自由度可以測得，即從自由度數(shù)目為60。從有限元模型中取所有階次模態(tài)，圖2為實測結(jié)構(gòu)第10階振型真實值與應(yīng)用本文方法的估算值對比圖。從圖中可以看出，如果K＊已知，所發(fā)展方法可對海上風(fēng)電支撐結(jié)構(gòu)振型中未測試位置給出準(zhǔn)確的估算。

圖2 實測結(jié)構(gòu)剛度已知時第10階振型估算對比圖Fig.2 Comparison of the 10th order male shape whenstiffness of real structure is assumeci be known

當(dāng)然，對于實際海上風(fēng)電結(jié)構(gòu)，其剛度矩陣K＊無法準(zhǔn)確得知。作為近似手段，取K＊＝K，采用與獲得圖2一致的計算條件可獲得當(dāng)K＊＝K時實測結(jié)構(gòu)第10階振型真實值與應(yīng)用本文方法的估算值對比圖，見圖3。圖3表明，當(dāng)忽略有限元模型與實際結(jié)構(gòu)的剛度建模誤差時，本方法可以得到較高的振型擴(kuò)階精度。

圖3 當(dāng)K＊＝K時第10階振型估算對比圖Fig.3 Comparison of the 10th order mode shape when K＊ ＝K

實際安裝傳感器時，水深越深，安裝難度越大，成本越高，故而假定圖1中只有15～23節(jié)點的平動自由度可以測得，并且假定實際結(jié)構(gòu)剛度未知而近似取K＊＝K，得到應(yīng)用本文方法及Guyan方法獲得的前10階振型與實際結(jié)構(gòu)前10階振型MAC值（見表2）。計算結(jié)果表明，利用傳統(tǒng)的Guyan方法雖然在低階模態(tài)上具有較好的精度，但是該技術(shù)將損失高階模態(tài)的擴(kuò)階精度，如第8、9階模態(tài) MAC值僅為0.757 3、0.763 3，而本文的方法依然可以保持較好的精度。

表2 采用本文方法與Guyan方法分別獲得的前10階振型與實際結(jié)構(gòu)前10階振型MAC值Table 2 MAC values of the first ten mode shapes using the approach and Guyan method ／Hz

4 結(jié)語

合理有效的實測振型的空間不完備處理技術(shù)是模型修正與損傷檢測領(lǐng)域中的難題之一，尤其對于絕大部分支撐結(jié)構(gòu)位于水中的海上風(fēng)力發(fā)電結(jié)構(gòu)而言，用數(shù)量最少的傳感器放在最易于安裝的位置上以獲得結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型具有更為重要的意義。本文的方法在一定程度上可以忽略有限元模型與實際結(jié)構(gòu)在剛度特性上的建模誤差，通過實測數(shù)據(jù)直接估算未測試自由度的對應(yīng)振型值，整個過程無需迭代求解，計算效率較高。三樁導(dǎo)管架式海上風(fēng)電支撐結(jié)構(gòu)的數(shù)值計算結(jié)果表明，在傳感器數(shù)量、位置受到限制時，僅在風(fēng)電支撐結(jié)構(gòu)的淺水部分節(jié)點處布置少數(shù)傳感器即可比較精確的獲得其空間完備模態(tài)振型，具有良好的工程應(yīng)用前景。

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