陳文靜, 楊曉燕

（西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅 蘭州730070）

1 引言及預(yù)備知識

令R是具有單位元的結(jié)合環(huán),所有涉及的模均是酉模.對任意的模M,用M+表示模M的示性模HomZ（M,Q/Z）.對未作解釋的標(biāo)記、事實(shí)和概念,參見文獻(xiàn)［1-2］.

E.E.Enochs等［3］引入了 Gorenstein 平坦模的概念.E.E.Enochs等［4］在一般環(huán)上引入了Gorenstein投射模和Gorenstein內(nèi)射模的概念.近年來,眾多學(xué)者對Gorenstein投射模、Gorenstein內(nèi)射模和Gorenstein平坦模進(jìn)行了大量的研究,參見文獻(xiàn)［5-9］.D.Bennis 等［10］引入了強(qiáng) Gorenstein 投射模、強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模和強(qiáng)Gorenstein平坦模的概念.他們證明了一個模是Gorenstein投射（內(nèi)射）的當(dāng)且僅當(dāng)它是一個強(qiáng)Gorenstein投射（內(nèi)射）模的直和項.

Z.H.Gao 等［11］引入了 Gorenstein FP-內(nèi)射模的概念,利用Gorenstein FP-內(nèi)射模對FP-自內(nèi)射凝聚環(huán)進(jìn)行了刻畫.Z.H.Gao［12］引入了弱Gorenstein投射模、弱Gorenstein內(nèi)射模和弱Gorenstein平坦模的概念,通過這些模類對QF環(huán)和FC環(huán)進(jìn)行了刻畫.同時引入了弱Gorenstein FP-內(nèi)射模的概念,證明了在左凝聚環(huán)上如果M是弱Gorenstein FP-內(nèi)射左R-模,那么M+是弱Gorenstein平坦右 R-模.Z.H.Gao［13］引入了強(qiáng) Gorenstein FP-內(nèi)射模的概念,通過強(qiáng)Gorenstein FP-內(nèi)射模對FC環(huán)進(jìn)行了刻畫.

本文研究了弱Gorenstein FP-內(nèi)射模,證明了凝聚環(huán)上弱Gorenstein FP-內(nèi)射模是強(qiáng)Gorenstein FP-內(nèi)射模的直和項,利用弱Gorenstein FP-內(nèi)射模對FP-自內(nèi)射環(huán)進(jìn)行了刻畫,討論了凝聚環(huán)上FP-內(nèi)射模類、Gorenstein FP-內(nèi)射模類和弱Gorenstein FP-內(nèi)射模類之間的聯(lián)系.

首先回顧一些概念.稱左R-模M是FP-內(nèi)射（或絕對純）的［14-15］,如果對任意有限表示左R-模P,.左R-模M的FP-內(nèi)射維數(shù)FP-idR（M）定義為使得的最小的 n.環(huán) R的左 FP-內(nèi)射整體維數(shù) l.FP-dim（R）定義為所有左R-模的FP-內(nèi)射維數(shù)的上確界.稱左R-模M是Gorenstein FP-內(nèi)射模［11］,如果存在一個FP-內(nèi)射左R-模的正合列

使得,并且對任意投射維數(shù)有限的有限表示左R-模P,HomR（P,E）是正合的.稱左R-模M是強(qiáng)Gorenstein FP-內(nèi)射模［13］,如果存在一個FP-內(nèi)射左R-模的正合列

使得M?Im（f）,并且對任意投射維數(shù)有限的有限表示左R-模P,HomR（P,E）是正合的.

2 弱Gorenstein FP-內(nèi)射模

命題2.9設(shè)R是左凝聚環(huán),并且每個內(nèi)射左R-模有有限的平坦維數(shù).如果M是弱Gorenstein FP-內(nèi)射左R-模,那么M+是Gorenstein平坦右R-模.

證明由文獻(xiàn)［11］的命題3.7和本文命題2.8,結(jié)論顯然.

稱R是n-FC環(huán)［17］,如果R是雙邊凝聚環(huán)且FP-idR（R）≤n,FP-id（R）R≤n.

推論2.10［12］設(shè)R是n-FC環(huán).如果M是弱Gorenstein FP-內(nèi)射左 R-模,那么M+是Gorenstein平坦右R-模.

推論2.11設(shè)R是 n-FC環(huán).如果 M是Gorenstein FP-內(nèi)射左 R-模,那么M+是Gorenstein平坦右R-模.

稱左R-模M是強(qiáng)余純平坦模［18］,如果對任意內(nèi)射右R-模I及i≥1,

命題2.12設(shè)R是n-FC環(huán),M是弱Gorenstein FP-內(nèi)射左R-模,則以下等價:

1）M+是弱Gorenstein平坦右R-模；

2）M+是Gorenstein平坦右R-模；

3）M+是強(qiáng)余純平坦右R-模；

4） （M+）+是Gorenstein內(nèi)射左R-模.

證明由推論2.10,M+是Gorenstein平坦右R-模.因?yàn)镽是n-FC環(huán),所以由文獻(xiàn)［12］的命題3.8 知,1）?2）?3）?4）.

命題得證.

定理2.13設(shè)R是任意環(huán),則以下等價:

1）每個左R-模是弱Gorenstein FP-內(nèi)射的；

2）每個投射左R-模是FP-內(nèi)射的；

3）每個自由左R-模是FP-內(nèi)射的；

4）環(huán)R是左FP-自內(nèi)射的.

證明1）?2） 設(shè)P是投射左R-模.由1）,P是弱Gorenstein FP-內(nèi)射左R-模.由命題2.3,存在短正合列,其中E是FP-內(nèi)射左R-模,N是弱Gorenstein FP-內(nèi)射左R-模.因?yàn)镻是投射左R-模,所以短正合列0是可裂的.因此E?N⊕P.又因?yàn)镋是FP-內(nèi)射左R-模,所以由文獻(xiàn)［16］的引理2.1知,左R-模P是FP-內(nèi)射的.

2）?1） 設(shè)M 是左 R-模,為M的一個內(nèi)射分解,為M的一個投射分解.因?yàn)閮?nèi)射左R-模是FP-內(nèi)射的,又由2）,每個投射左R

-模是FP-內(nèi)射的,所以存在FP-內(nèi)射左R-模的正合列

使得.因此 M 是弱 Gorenstein FP-內(nèi)射的.

同理可證1）?3）.

3）?4） 設(shè) F 是自由左R-模,則 F?R（A）.由文獻(xiàn)［16］的引理2.1,左R-模F是FP-內(nèi)射的當(dāng)且僅當(dāng)左R-模R是FP-內(nèi)射的.定理得證.

推論2.14設(shè)R是左凝聚環(huán),則以下等價:

1）每個左R-模是弱Gorenstein FP-內(nèi)射的；

2）每個左R-模是Gorenstein FP-內(nèi)射的；

3）每個投射左R-模是FP-內(nèi)射的；

4）每個自由左R-模是FP-內(nèi)射的；

5）環(huán)R是左FP-自內(nèi)射的.

證明由命題2.8和定理2.13,結(jié)論顯然.

注2.15已知,有限表示平坦模類與有限表示投射模類是同一個類.由定理2.13知,投射的FP-模類與自由的FP-模類是同一個類.因此有限表示自由的FP-模類、有限表示投射的FP-模類和有限表示平坦的FP-模類是同一個類.

稱左R-模M是Gorenstein內(nèi)射模［3］,如果存在一個內(nèi)射左R-模的正合列

使得,并且對任意內(nèi)射左R-模Q,HomR（Q,E）是正合的.Gorenstein投射左R-模的定義是對偶的.

命題2.16設(shè)R是雙邊凝聚環(huán),則以下等價:

1）環(huán)R是左FP-自內(nèi)射的；

2）每個弱Gorenstein FP-內(nèi)射左R-模是Gorenstein平坦的；

3）每個Gorenstein內(nèi)射左R-模是Gorenstein平坦的；

4）每個內(nèi)射左R-模是Gorenstein平坦的；

5）每個Gorenstein投射左R-模是弱Gorenstein FP-內(nèi)射的；

6）每個投射左R-模是弱Gorenstein FP-內(nèi)射的；

7）每個Gorenstein平坦左R-模是弱Gorenstein FP-內(nèi)射的；

8）每個平坦左R-模是弱Gorenstein FP-內(nèi)射的；

9）環(huán)R是FC環(huán).

以上1）～8）等價于右的情形.

證明因?yàn)镽是雙邊凝聚環(huán),所以由命題2.8知,弱Gorenstein FP-內(nèi)射左R-模是Gorenstein FP-內(nèi)射的.因此由文獻(xiàn)［11］的定理3.6知,1）?2）?3）?4）?5）?6）?7）?8）.因?yàn)?R 是雙邊凝聚環(huán),所以R是左和右FP-自內(nèi)射的的當(dāng)且僅當(dāng)R是FC 環(huán),所以1）?9）.

命題得證.

命題2.17FP-內(nèi)射左R-模是弱Gorenstein FP-內(nèi)射左R-模.反之,當(dāng)R是左凝聚環(huán)且l.FP-dim（R）＜∞時,弱Gorenstein FP-內(nèi)射左R-模是FP-內(nèi)射左R-模.

證明由注2.2,只需證當(dāng)R是左凝聚環(huán)且l.FP-dim（R）＜∞時,每個弱Gorenstein FP-內(nèi)射左R-模是FP-內(nèi)射左R-模.不失一般性,設(shè)l.FP-dim（R）＝m＜∞,下對m進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納.

1）若m＝0,則任意左R-模是FP-內(nèi)射的,結(jié)論顯然.

2）假設(shè)m≥1.設(shè)M是弱Gorenstein FP-內(nèi)射左R-模.由命題2.3,存在一個左R-模的正合列,其中每個Ei是FP-內(nèi)射左R-模.設(shè),則有是正合的.因?yàn)镕P-idR（L）≤m,R是左凝聚環(huán),所以由文獻(xiàn)［14］的引理3.1知,M是FP-內(nèi)射左R-模.命題得證.

命題2.18設(shè)R是左凝聚環(huán).如果l.FP-dim（R）＜∞,那么FP-內(nèi)射模類,Gorenstein FP-內(nèi)射模類,弱Gorenstein FP-內(nèi)射模類是同一個類.

證明由命題2.8和命題2.17,結(jié)論顯然.

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