易敏

筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐和研究中發(fā)現(xiàn)，許多高考試題都反映了相關(guān)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)的重要思想方法和一般的解題規(guī)律.對于這類問題，可通過課本例題的挖掘，從簡單開始，從特殊入手，由淺入深，循序漸進(jìn)，采用合理猜想、推理等方法探究新問題并加以解決.本文以《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》（必修2）第122頁的例5來進(jìn)行探究.

【案例】已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)A在圓（x+1）2+y2=4上運(yùn)動.求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

解答本題并不難，教師通過引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生分析題目的已知和所求，較容易找到解題方法.但是，當(dāng)解完此題后感到意猶未盡，于是作如下變式.

變式1已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，0），端點(diǎn)A在圓（x+1）2+y2=4上運(yùn)動.求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

變式2已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，0），端點(diǎn)A在圓（x+1）2+y2=4上運(yùn)動.求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

[反思]可以觀察出不論B點(diǎn)在圓外、圓內(nèi)、圓上，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程還是圓.這一問題是否可以引申推廣？能否找到一般化的解決方法呢？

引申1已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（a，b），端點(diǎn)A在圓（x+1）2+y2=4上運(yùn)動.求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

此問題可歸結(jié)為：已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（a，b），端點(diǎn)A在圓x2+y2=r2上運(yùn)動.求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.不難得出M的軌跡方程是（x-a12）2+（y-b12）2=r214.

于是可以得出：

結(jié)論1已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（a，b），端點(diǎn)A在圓x2+y2=r2上運(yùn)動，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是（x-a12）2+（y-b12）2=r214.

有了以上的思路，于是又可得如下變式：

變式3已知定點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)A在圓x2+y2=1上

（1）菱形的四條邊都相等；

（2）菱形的對角線互相垂直平分，并且每

一條對角線平分一組對角；

（3）菱形的面積等于對角線相乘再除于2；

（4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形.endprint

筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐和研究中發(fā)現(xiàn)，許多高考試題都反映了相關(guān)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)的重要思想方法和一般的解題規(guī)律.對于這類問題，可通過課本例題的挖掘，從簡單開始，從特殊入手，由淺入深，循序漸進(jìn)，采用合理猜想、推理等方法探究新問題并加以解決.本文以《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》（必修2）第122頁的例5來進(jìn)行探究.

【案例】已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)A在圓（x+1）2+y2=4上運(yùn)動.求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

解答本題并不難，教師通過引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生分析題目的已知和所求，較容易找到解題方法.但是，當(dāng)解完此題后感到意猶未盡，于是作如下變式.

變式1已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，0），端點(diǎn)A在圓（x+1）2+y2=4上運(yùn)動.求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

變式2已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，0），端點(diǎn)A在圓（x+1）2+y2=4上運(yùn)動.求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

[反思]可以觀察出不論B點(diǎn)在圓外、圓內(nèi)、圓上，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程還是圓.這一問題是否可以引申推廣？能否找到一般化的解決方法呢？

引申1已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（a，b），端點(diǎn)A在圓（x+1）2+y2=4上運(yùn)動.求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

此問題可歸結(jié)為：已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（a，b），端點(diǎn)A在圓x2+y2=r2上運(yùn)動.求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.不難得出M的軌跡方程是（x-a12）2+（y-b12）2=r214.

于是可以得出：

結(jié)論1已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（a，b），端點(diǎn)A在圓x2+y2=r2上運(yùn)動，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是（x-a12）2+（y-b12）2=r214.

有了以上的思路，于是又可得如下變式：

變式3已知定點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)A在圓x2+y2=1上

（1）菱形的四條邊都相等；

（2）菱形的對角線互相垂直平分，并且每

一條對角線平分一組對角；

（3）菱形的面積等于對角線相乘再除于2；

（4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形.endprint

筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐和研究中發(fā)現(xiàn)，許多高考試題都反映了相關(guān)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)的重要思想方法和一般的解題規(guī)律.對于這類問題，可通過課本例題的挖掘，從簡單開始，從特殊入手，由淺入深，循序漸進(jìn)，采用合理猜想、推理等方法探究新問題并加以解決.本文以《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》（必修2）第122頁的例5來進(jìn)行探究.

【案例】已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)A在圓（x+1）2+y2=4上運(yùn)動.求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

解答本題并不難，教師通過引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生分析題目的已知和所求，較容易找到解題方法.但是，當(dāng)解完此題后感到意猶未盡，于是作如下變式.

變式1已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，0），端點(diǎn)A在圓（x+1）2+y2=4上運(yùn)動.求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

變式2已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，0），端點(diǎn)A在圓（x+1）2+y2=4上運(yùn)動.求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

[反思]可以觀察出不論B點(diǎn)在圓外、圓內(nèi)、圓上，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程還是圓.這一問題是否可以引申推廣？能否找到一般化的解決方法呢？

引申1已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（a，b），端點(diǎn)A在圓（x+1）2+y2=4上運(yùn)動.求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

此問題可歸結(jié)為：已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（a，b），端點(diǎn)A在圓x2+y2=r2上運(yùn)動.求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.不難得出M的軌跡方程是（x-a12）2+（y-b12）2=r214.

于是可以得出：

結(jié)論1已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（a，b），端點(diǎn)A在圓x2+y2=r2上運(yùn)動，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是（x-a12）2+（y-b12）2=r214.

有了以上的思路，于是又可得如下變式：

變式3已知定點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)A在圓x2+y2=1上

（1）菱形的四條邊都相等；

（2）菱形的對角線互相垂直平分，并且每

一條對角線平分一組對角；

（3）菱形的面積等于對角線相乘再除于2；

（4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形.endprint