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        談高中函數(shù)中的奇偶性和對稱性

        2014-09-22 07:08:25湯珠峰
        中學教學參考·理科版 2014年8期
        關鍵詞:題設偶函數(shù)奇函數(shù)

        湯珠峰

        函數(shù)是中學數(shù)學教學的主線,是中學數(shù)學的核心內(nèi)容,也是高中數(shù)學的基礎.函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點與熱點,函數(shù)的性質(zhì)中奇偶性、對稱性則是函數(shù)的兩個基本性質(zhì),也是學生學習的重點.大家知道,函數(shù)的奇偶性具有對稱關系,而對稱關系不僅廣泛存在于數(shù)學問題之中,而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決,對稱關系還充分體現(xiàn)了數(shù)學之美.

        在蘇教版的教材中,關于函數(shù)對稱性的介紹是通過函數(shù)的奇偶性來引入的.這也是在研究這類問題時,要有機地將兩者結(jié)合起來的原因.因此諸如函數(shù)y=f(x)的圖像關于點A(a,b)對稱的充要條件是f(x)+f(2a-x)=2b等類似的結(jié)論都不能直接使用.所以在教學及解題中,就應當引導學生從函數(shù)的奇偶性出發(fā),去判斷一個函數(shù)是否能關于某個點或是某條直線對稱,幫助學生正確面對問題,找到解決問題的有效途徑.

        【例題】(2013年上海市春季高考數(shù)學試題)已知真命題:“函數(shù)y=f(x)的圖像關于點P(a、b)成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f(x+a)-b是奇函數(shù)”.

        (1)將函數(shù)g(x)=x3-3x2的圖像向左平移1個單位,再向上平移2個單位,求此時圖像對應的函數(shù)解析式,并利用題設中的真命題求函數(shù)g(x)圖像對稱中心的坐標;

        (2)求函數(shù)h(x)=log22x14-x圖像對稱中心的坐標;

        (3)已知命題:“函數(shù)y=f(x)的圖像關于某直線成軸對稱圖像”的充要條件為“存在實數(shù)a和b,使得函數(shù)y=f(x+a)-b是偶函數(shù)”.判斷該命題的真假.如果是真命題,請給予證明;如果是假命題,請說明理由,并類比題設的真命題對它進行修改,使之成為真命題(不必證明).

        分析:函數(shù)圖像的平移,對于學生來說是從初中認識二次函數(shù)的圖像就已經(jīng)掌握的一個重要知識點.結(jié)合奇函數(shù)關于原點對稱的特點,學生應該很容易理解題設的正確性.

        解析:(1)通過平移容易得到所求函數(shù)的解析式為y=(x+1)3-3(x+1)2+2.

        由題設可知,對稱中心的研究可以歸結(jié)為研究原來函數(shù)是否為奇函數(shù)或者是如何將原函數(shù)看做某個奇函數(shù)通過適當?shù)钠揭谱儞Q得到的.這就要求學生對于一些常見的奇函數(shù)的例子必須清楚,如僅含奇數(shù)次的多項式函數(shù)、正弦函數(shù)、正切函數(shù)等.由題發(fā)現(xiàn),研究的對象是一個多項式函數(shù),要使其成為奇函數(shù),就必須只留下奇數(shù)次的項.

        因此,假設g(x)=x3-3x2經(jīng)過適當平移后得:g1(x)=(x+a)3-3(x+a)2-b=x3+(3a-3)x2+(3a2-6a)x-3a2-b.

        由以上討論可知:3a-3=0

        a3-3a2-b=0,即a=1

        b=-2.從而g(x)=x3-3x2關于點(1,-2)對稱.

        由上面的證明方法,我們可以得到一個關于三次函數(shù)的重要結(jié)論:

        三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是關于點對稱,且對稱中心為點(-b13a,f(-b13a)).

        (2)同(1),假定經(jīng)過適當平移后得:h1(x)=log22(x+a)14-(x+a)-b,此時要求該函數(shù)為一奇函數(shù).由不等式2x+2a14-a-x>0的解集關于原點對稱,得a=2.此時f(x)=log22(x+2)12-x-b,x∈(-2,2).任取x∈(-2,2),由f(-x)+f(x)=0,得b=1,

        所以函數(shù)h(x)=log22x14-x圖像對稱中心的坐標是(2,1).

        (3)此命題是假命題.

        舉反例說明.因為函數(shù)f(x)=x的圖像關于直線y=-x成軸對稱圖像,但是對任意實數(shù)a和b,函數(shù)y=f(x+a)-b,即y=x+a-b總不是偶函數(shù).

        修改后的真命題“函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=a成軸對稱圖像”的充要條件是“函數(shù)y=(x+a)是偶函數(shù)”.

        接著,我們回到一開始給出的常用結(jié)論,函數(shù)y=f(x)的圖像關于點A(a,b)對稱的充要條件是f(x)+f(2a-x)=2b,這個結(jié)論可以用上面的方法加以證明.

        分析:只需構(gòu)造函數(shù)y=f(x+a)-b,說明它是一個奇函數(shù).

        證明:由條件可知,f(x+a)+f(2a-x-a)=2b,即(f(x+a)-b)+(f(a-x)-b)=0,由奇函數(shù)的定義可知,函數(shù)f(x+a)-b為奇函數(shù).于是函數(shù)y=f(x)關于點A(a,b)對稱.

        關于函數(shù)對稱性問題的考查,在2013年的各省市高考試題中出現(xiàn)很多,應該引起大家重視.

        【例1】(2013年高考新課標1(理))若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖像關于直線x=-2對稱,則f(x)的最大值是.

        解析:因為函數(shù)的圖像關于直線對稱,所以函數(shù)為偶函數(shù)為偶函數(shù),因為函數(shù),

        所以為偶函數(shù),所以,所以,從而,所以.令,得或或,根據(jù)單調(diào)性可得當時,取到最大值為.

        【例2】(2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(理))已知函數(shù),下列結(jié)論中錯誤的是:

        A.的圖像關于中心對稱

        B.的圖像關于直線對稱

        C.的最大值為

        D.既奇函數(shù),又是周期函數(shù).

        解析:對于選項(A):,顯然是個奇函數(shù),所以的圖像關于中心對稱;對于選項(B):是偶函數(shù),所以的圖像關于直線對稱.

        (責任編輯黃桂堅)endprint

        函數(shù)是中學數(shù)學教學的主線,是中學數(shù)學的核心內(nèi)容,也是高中數(shù)學的基礎.函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點與熱點,函數(shù)的性質(zhì)中奇偶性、對稱性則是函數(shù)的兩個基本性質(zhì),也是學生學習的重點.大家知道,函數(shù)的奇偶性具有對稱關系,而對稱關系不僅廣泛存在于數(shù)學問題之中,而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決,對稱關系還充分體現(xiàn)了數(shù)學之美.

        在蘇教版的教材中,關于函數(shù)對稱性的介紹是通過函數(shù)的奇偶性來引入的.這也是在研究這類問題時,要有機地將兩者結(jié)合起來的原因.因此諸如函數(shù)y=f(x)的圖像關于點A(a,b)對稱的充要條件是f(x)+f(2a-x)=2b等類似的結(jié)論都不能直接使用.所以在教學及解題中,就應當引導學生從函數(shù)的奇偶性出發(fā),去判斷一個函數(shù)是否能關于某個點或是某條直線對稱,幫助學生正確面對問題,找到解決問題的有效途徑.

        【例題】(2013年上海市春季高考數(shù)學試題)已知真命題:“函數(shù)y=f(x)的圖像關于點P(a、b)成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f(x+a)-b是奇函數(shù)”.

        (1)將函數(shù)g(x)=x3-3x2的圖像向左平移1個單位,再向上平移2個單位,求此時圖像對應的函數(shù)解析式,并利用題設中的真命題求函數(shù)g(x)圖像對稱中心的坐標;

        (2)求函數(shù)h(x)=log22x14-x圖像對稱中心的坐標;

        (3)已知命題:“函數(shù)y=f(x)的圖像關于某直線成軸對稱圖像”的充要條件為“存在實數(shù)a和b,使得函數(shù)y=f(x+a)-b是偶函數(shù)”.判斷該命題的真假.如果是真命題,請給予證明;如果是假命題,請說明理由,并類比題設的真命題對它進行修改,使之成為真命題(不必證明).

        分析:函數(shù)圖像的平移,對于學生來說是從初中認識二次函數(shù)的圖像就已經(jīng)掌握的一個重要知識點.結(jié)合奇函數(shù)關于原點對稱的特點,學生應該很容易理解題設的正確性.

        解析:(1)通過平移容易得到所求函數(shù)的解析式為y=(x+1)3-3(x+1)2+2.

        由題設可知,對稱中心的研究可以歸結(jié)為研究原來函數(shù)是否為奇函數(shù)或者是如何將原函數(shù)看做某個奇函數(shù)通過適當?shù)钠揭谱儞Q得到的.這就要求學生對于一些常見的奇函數(shù)的例子必須清楚,如僅含奇數(shù)次的多項式函數(shù)、正弦函數(shù)、正切函數(shù)等.由題發(fā)現(xiàn),研究的對象是一個多項式函數(shù),要使其成為奇函數(shù),就必須只留下奇數(shù)次的項.

        因此,假設g(x)=x3-3x2經(jīng)過適當平移后得:g1(x)=(x+a)3-3(x+a)2-b=x3+(3a-3)x2+(3a2-6a)x-3a2-b.

        由以上討論可知:3a-3=0

        a3-3a2-b=0,即a=1

        b=-2.從而g(x)=x3-3x2關于點(1,-2)對稱.

        由上面的證明方法,我們可以得到一個關于三次函數(shù)的重要結(jié)論:

        三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是關于點對稱,且對稱中心為點(-b13a,f(-b13a)).

        (2)同(1),假定經(jīng)過適當平移后得:h1(x)=log22(x+a)14-(x+a)-b,此時要求該函數(shù)為一奇函數(shù).由不等式2x+2a14-a-x>0的解集關于原點對稱,得a=2.此時f(x)=log22(x+2)12-x-b,x∈(-2,2).任取x∈(-2,2),由f(-x)+f(x)=0,得b=1,

        所以函數(shù)h(x)=log22x14-x圖像對稱中心的坐標是(2,1).

        (3)此命題是假命題.

        舉反例說明.因為函數(shù)f(x)=x的圖像關于直線y=-x成軸對稱圖像,但是對任意實數(shù)a和b,函數(shù)y=f(x+a)-b,即y=x+a-b總不是偶函數(shù).

        修改后的真命題“函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=a成軸對稱圖像”的充要條件是“函數(shù)y=(x+a)是偶函數(shù)”.

        接著,我們回到一開始給出的常用結(jié)論,函數(shù)y=f(x)的圖像關于點A(a,b)對稱的充要條件是f(x)+f(2a-x)=2b,這個結(jié)論可以用上面的方法加以證明.

        分析:只需構(gòu)造函數(shù)y=f(x+a)-b,說明它是一個奇函數(shù).

        證明:由條件可知,f(x+a)+f(2a-x-a)=2b,即(f(x+a)-b)+(f(a-x)-b)=0,由奇函數(shù)的定義可知,函數(shù)f(x+a)-b為奇函數(shù).于是函數(shù)y=f(x)關于點A(a,b)對稱.

        關于函數(shù)對稱性問題的考查,在2013年的各省市高考試題中出現(xiàn)很多,應該引起大家重視.

        【例1】(2013年高考新課標1(理))若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖像關于直線x=-2對稱,則f(x)的最大值是.

        解析:因為函數(shù)的圖像關于直線對稱,所以函數(shù)為偶函數(shù)為偶函數(shù),因為函數(shù),

        所以為偶函數(shù),所以,所以,從而,所以.令,得或或,根據(jù)單調(diào)性可得當時,取到最大值為.

        【例2】(2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(理))已知函數(shù),下列結(jié)論中錯誤的是:

        A.的圖像關于中心對稱

        B.的圖像關于直線對稱

        C.的最大值為

        D.既奇函數(shù),又是周期函數(shù).

        解析:對于選項(A):,顯然是個奇函數(shù),所以的圖像關于中心對稱;對于選項(B):是偶函數(shù),所以的圖像關于直線對稱.

        (責任編輯黃桂堅)endprint

        函數(shù)是中學數(shù)學教學的主線,是中學數(shù)學的核心內(nèi)容,也是高中數(shù)學的基礎.函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點與熱點,函數(shù)的性質(zhì)中奇偶性、對稱性則是函數(shù)的兩個基本性質(zhì),也是學生學習的重點.大家知道,函數(shù)的奇偶性具有對稱關系,而對稱關系不僅廣泛存在于數(shù)學問題之中,而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決,對稱關系還充分體現(xiàn)了數(shù)學之美.

        在蘇教版的教材中,關于函數(shù)對稱性的介紹是通過函數(shù)的奇偶性來引入的.這也是在研究這類問題時,要有機地將兩者結(jié)合起來的原因.因此諸如函數(shù)y=f(x)的圖像關于點A(a,b)對稱的充要條件是f(x)+f(2a-x)=2b等類似的結(jié)論都不能直接使用.所以在教學及解題中,就應當引導學生從函數(shù)的奇偶性出發(fā),去判斷一個函數(shù)是否能關于某個點或是某條直線對稱,幫助學生正確面對問題,找到解決問題的有效途徑.

        【例題】(2013年上海市春季高考數(shù)學試題)已知真命題:“函數(shù)y=f(x)的圖像關于點P(a、b)成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f(x+a)-b是奇函數(shù)”.

        (1)將函數(shù)g(x)=x3-3x2的圖像向左平移1個單位,再向上平移2個單位,求此時圖像對應的函數(shù)解析式,并利用題設中的真命題求函數(shù)g(x)圖像對稱中心的坐標;

        (2)求函數(shù)h(x)=log22x14-x圖像對稱中心的坐標;

        (3)已知命題:“函數(shù)y=f(x)的圖像關于某直線成軸對稱圖像”的充要條件為“存在實數(shù)a和b,使得函數(shù)y=f(x+a)-b是偶函數(shù)”.判斷該命題的真假.如果是真命題,請給予證明;如果是假命題,請說明理由,并類比題設的真命題對它進行修改,使之成為真命題(不必證明).

        分析:函數(shù)圖像的平移,對于學生來說是從初中認識二次函數(shù)的圖像就已經(jīng)掌握的一個重要知識點.結(jié)合奇函數(shù)關于原點對稱的特點,學生應該很容易理解題設的正確性.

        解析:(1)通過平移容易得到所求函數(shù)的解析式為y=(x+1)3-3(x+1)2+2.

        由題設可知,對稱中心的研究可以歸結(jié)為研究原來函數(shù)是否為奇函數(shù)或者是如何將原函數(shù)看做某個奇函數(shù)通過適當?shù)钠揭谱儞Q得到的.這就要求學生對于一些常見的奇函數(shù)的例子必須清楚,如僅含奇數(shù)次的多項式函數(shù)、正弦函數(shù)、正切函數(shù)等.由題發(fā)現(xiàn),研究的對象是一個多項式函數(shù),要使其成為奇函數(shù),就必須只留下奇數(shù)次的項.

        因此,假設g(x)=x3-3x2經(jīng)過適當平移后得:g1(x)=(x+a)3-3(x+a)2-b=x3+(3a-3)x2+(3a2-6a)x-3a2-b.

        由以上討論可知:3a-3=0

        a3-3a2-b=0,即a=1

        b=-2.從而g(x)=x3-3x2關于點(1,-2)對稱.

        由上面的證明方法,我們可以得到一個關于三次函數(shù)的重要結(jié)論:

        三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是關于點對稱,且對稱中心為點(-b13a,f(-b13a)).

        (2)同(1),假定經(jīng)過適當平移后得:h1(x)=log22(x+a)14-(x+a)-b,此時要求該函數(shù)為一奇函數(shù).由不等式2x+2a14-a-x>0的解集關于原點對稱,得a=2.此時f(x)=log22(x+2)12-x-b,x∈(-2,2).任取x∈(-2,2),由f(-x)+f(x)=0,得b=1,

        所以函數(shù)h(x)=log22x14-x圖像對稱中心的坐標是(2,1).

        (3)此命題是假命題.

        舉反例說明.因為函數(shù)f(x)=x的圖像關于直線y=-x成軸對稱圖像,但是對任意實數(shù)a和b,函數(shù)y=f(x+a)-b,即y=x+a-b總不是偶函數(shù).

        修改后的真命題“函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=a成軸對稱圖像”的充要條件是“函數(shù)y=(x+a)是偶函數(shù)”.

        接著,我們回到一開始給出的常用結(jié)論,函數(shù)y=f(x)的圖像關于點A(a,b)對稱的充要條件是f(x)+f(2a-x)=2b,這個結(jié)論可以用上面的方法加以證明.

        分析:只需構(gòu)造函數(shù)y=f(x+a)-b,說明它是一個奇函數(shù).

        證明:由條件可知,f(x+a)+f(2a-x-a)=2b,即(f(x+a)-b)+(f(a-x)-b)=0,由奇函數(shù)的定義可知,函數(shù)f(x+a)-b為奇函數(shù).于是函數(shù)y=f(x)關于點A(a,b)對稱.

        關于函數(shù)對稱性問題的考查,在2013年的各省市高考試題中出現(xiàn)很多,應該引起大家重視.

        【例1】(2013年高考新課標1(理))若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖像關于直線x=-2對稱,則f(x)的最大值是.

        解析:因為函數(shù)的圖像關于直線對稱,所以函數(shù)為偶函數(shù)為偶函數(shù),因為函數(shù),

        所以為偶函數(shù),所以,所以,從而,所以.令,得或或,根據(jù)單調(diào)性可得當時,取到最大值為.

        【例2】(2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(理))已知函數(shù),下列結(jié)論中錯誤的是:

        A.的圖像關于中心對稱

        B.的圖像關于直線對稱

        C.的最大值為

        D.既奇函數(shù),又是周期函數(shù).

        解析:對于選項(A):,顯然是個奇函數(shù),所以的圖像關于中心對稱;對于選項(B):是偶函數(shù),所以的圖像關于直線對稱.

        (責任編輯黃桂堅)endprint

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