黃開志 陳小亮 鄭安節(jié)

(重慶科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，重慶 401331)

一些文獻(xiàn)［1－4］采用了統(tǒng)一的計(jì)算模型，得到了傳統(tǒng)意義上常見的各種細(xì)長壓桿臨界壓力計(jì)算公式。工程實(shí)際中，為了增加壓桿的穩(wěn)定性，常在壓桿中部適當(dāng)位置附加某些約束。對(duì)這類壓桿，材料力學(xué)教材僅針對(duì)在壓桿中點(diǎn)加固的某些特殊情況，予以了極為簡單有限的介紹，沒有建立各種常見約束情況下，在壓桿中部任意位置加固時(shí)，臨界壓力的統(tǒng)一求解方法，給工程應(yīng)用帶來諸多不便。文獻(xiàn)［5－6］雖有研究，但研究的類型也極單一，難以為工程實(shí)際提供更高的使用價(jià)值。

本文擬對(duì)中部任意位置增加一個(gè)鉸支加固的9種細(xì)長壓桿，建立臨界壓力特征方程，求解長度因數(shù)的數(shù)值解，并確定中部支承的合理位置及最小長度因數(shù)。

1 公式推導(dǎo)

設(shè)長為l、中部任意位置x處鉸支加固的細(xì)長壓桿的抗彎剛度為EI，其處于微彎曲平衡狀態(tài)，其受力和變形情況如圖1所示。

圖1 整體微彎曲平衡狀態(tài)

1.1 變形關(guān)系

1.1.1 變形方程

AB段即0≤x1≤x時(shí)，彎矩方程:

撓曲線近似微分方程:

1.1.2 變形邊界條件

令式(1)、(2)中的x1=0，則壓桿A端的變形滿足

壓桿在B點(diǎn)滿足w1(x)=0，即令式(1)中的x1=x，得:

壓桿在B點(diǎn)轉(zhuǎn)角連續(xù)，即w′1(x)-w′2(x)=0，由式(2)、(4)得:

壓桿在B點(diǎn)滿足w2(x)=0，即令式(3)中的x2=x，得:

令式(3)、(4)中的x2=l，則壓桿C端的變形滿足

各種支承情況下的變形約束條件見表1。

1.2 靜力學(xué)關(guān)系

1.2.1 靜力平衡方程

1.2.2 靜力約束條件

各種支承情況下的靜力約束條件見表1。

表1 各種支承情況下的變形約束條件和靜力約束條件

1.3 特征方程

根據(jù)表 1所述的不同約束情況，a、b、c、d和表1中的4個(gè)“?”共8個(gè)初參數(shù)，可由式(5)—(12)求解，在求解時(shí)應(yīng)注意表1中為零的條件。

1.3.1 固支 —鉸支 —固支

結(jié)合表1，由式(5)—(12)確定了一個(gè)關(guān)于初參數(shù) a、b、c、d、FA/F、MeA/F、FC/F、MeC/F 的齊次線性方程組，其有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零，即求解壓桿臨界壓力的特征方程為:

1.3.2 固支 —鉸支 —鉸支

結(jié)合表1，由式(5)—(12)確定了一個(gè)關(guān)于初參數(shù) a、b、c、d、FA/F、MeA/F、FC/F、w′2(l) 的齊次線性方程組，其有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零，即求解壓桿臨界壓力的特征方程為:

1.3.3 固支 —鉸支 —定向

定向支承僅對(duì)壓桿在支承處的轉(zhuǎn)角作剛性約束，即在該支承處壓桿的轉(zhuǎn)角必為零，而不限制壓桿的撓度和軸向位移。

結(jié)合表1，由式(5)—(12)確定了一個(gè)關(guān)于初參數(shù) a、b、c、d、FA/F、MeA/F、MeC/F、w2(l) 的齊次線性方程組，其有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零，即求解壓桿臨界壓力的特征方程為:

1.3.4 固支 —鉸支 —自由

結(jié)合表1，由式(5)—(12)確定了一個(gè)關(guān)于初參數(shù) a、b、c、d、FA/F、MeA/F、w2(l) 、w′2(l) 的齊次線性方程組，其有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零，即求解壓桿臨界壓力的特征方程為:

1.3.5 鉸支 —鉸支 —鉸支

結(jié)合表1，由式(5)—(12)確定了一個(gè)關(guān)于初參數(shù) a、b、c、d、FA/F、FC/F、w′1(0)、w′2(l) 的齊次線性方程組，其有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零，即求解壓桿臨界壓力的特征方程為:

1.3.6 鉸支 —鉸支 —定向

結(jié)合表1，由式(5)—(12)確定了一個(gè)關(guān)于初參數(shù) a、b、c、d、FA/F、MeC/F、w′1(0)、w2(l) 的齊次線性方程組，其有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零，即求解壓桿臨界壓力的特征方程為:

1.3.7 鉸支 —鉸支 —自由

結(jié)合表1，由式(5)—(12)確定了一個(gè)關(guān)于初參數(shù) a、b、c、d、FA/F、w′1(0)、w2(l) 、w′2(l) 的齊次線性方程組，其有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零，即求解壓桿臨界壓力的特征方程為:

1.3.8 定向 —鉸支 —定向

結(jié)合表1，由式(5)—(12)確定了一個(gè)關(guān)于初參數(shù) a、b、c、d、MeA/F 、MeC/F、w1(0) 、w2(l) 的齊次線性方程組，其有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零，即求解壓桿臨界壓力的特征方程為:

借助軟件化簡得:sin kl=0

1.3.9 定向 —鉸支 —自由

結(jié)合表1，由式(5)—(12)確定了一個(gè)關(guān)于初參數(shù) a、b、c、d、MeA/F 、w1(0) 、w2(l) 、w′2(l) 的齊次線性方程組，其有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零，即求解壓桿臨界壓力的特征方程為:

借助軟件化簡得:cos kl=0

1.4 長度因數(shù)及臨界壓力

對(duì)1.3.1 —1.3.7節(jié)中的支承情況處理如下:

(a)在上述的特征方程中令x=ml，用軟件如maple12等展開，得到僅含參數(shù)m和kl的隱式方程f(m，kl)=0。

(b)繪制f(m，kl)=0曲線，則0≤m≤1且kl為最小正數(shù)段曲線即為所求m－kl曲線，結(jié)果見圖2。

圖2 特征方程曲線

顯然，1.3.8 節(jié)、1.3.9 節(jié)中的長度因數(shù)與 m 取值無關(guān)，分別為1和2。

表2 不同m值對(duì)應(yīng)的長度因數(shù)μ

2 結(jié)語

壓桿的臨界狀態(tài)本質(zhì)是微彎曲平衡狀態(tài)，在推導(dǎo)上述特征方程時(shí)，把約束反力和相應(yīng)的變形同時(shí)作為初參數(shù)，對(duì)整個(gè)壓桿建立了統(tǒng)一的變形方程和靜力平衡方程，符合壓桿處于臨界狀態(tài)的真實(shí)情況。

本文全面系統(tǒng)地給出了在中部任意位置增加一個(gè)鉸支加固時(shí)，共9種常見細(xì)長壓桿的臨界壓力的特征方程。借助軟件，求得了長度因數(shù)的數(shù)值解，確定了中部支承的合理位置及最小長度因數(shù)。

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