甘 雨 隋立芬 肖國(guó)銳 段 宇 戚國(guó)賓

(信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，鄭州 450052)

GPS/INS緊組合導(dǎo)航中接收機(jī)鐘差建模*

甘 雨 隋立芬 肖國(guó)銳 段 宇 戚國(guó)賓

(信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，鄭州 450052)

提出利用功率譜密度分析、自相關(guān)函數(shù)分析、Allan方差分析等方法建立可靠的鐘差函數(shù)模型和隨機(jī)模型的思路，并對(duì)比分析了現(xiàn)有的兩種兩參數(shù)鐘差狀態(tài)模型——隨機(jī)游走型狀態(tài)模型和高斯-馬爾可夫型狀態(tài)模型。計(jì)算結(jié)果表明，在GPS/INS緊組合導(dǎo)航應(yīng)用中，應(yīng)使用高斯-馬爾可夫型鐘差狀態(tài)模型，并通過自相關(guān)分析等方法估計(jì)可靠的相關(guān)時(shí)間，方能準(zhǔn)確地描述鐘差狀態(tài)變化。

GPS/INS;接收機(jī)鐘差;自相關(guān)函數(shù);功率譜密度;高斯-馬爾可夫

GPS/INS緊組合導(dǎo)航采用Kalman濾波進(jìn)行信息融合。在非差分組合模式下，一般將GPS接收機(jī)鐘差作為狀態(tài)參數(shù)的一部分參與濾波解算。Kalman濾波需要有可靠的函數(shù)模型及隨機(jī)模型，其中，接收機(jī)鐘差模型的可靠性影響GPS/INS緊組合的實(shí)際效果。許多學(xué)者研究了GPS衛(wèi)星鐘差的建模問題［1－7］，但在接收機(jī)鐘差建模方面的研究較少，且現(xiàn)有的研究大多限于GPS單獨(dú)導(dǎo)航。Filho等［8］提出用一組白噪聲分量之和的形式逼近接收機(jī)鐘差，這種鐘差模型顯然忽略了鐘差中有色噪聲成分的影響;文獻(xiàn)［9］使用兩參數(shù)的鐘差狀態(tài)模型，其中鐘速參數(shù)用隨機(jī)游走模型表示;文獻(xiàn)［10］提出將鐘差、鐘速參數(shù)分為確定性部分和隨機(jī)部分分別進(jìn)行參數(shù)化，增加了參數(shù)個(gè)數(shù)，降低了可觀測(cè)性。在GPS/INS緊組合方面，國(guó)內(nèi)一些學(xué)者［11－12］提出將兩參數(shù)鐘差狀態(tài)模型中的鐘速參數(shù)用高斯-馬爾可夫模型描述，但沒有研究實(shí)際數(shù)據(jù)處理過程中如何精化模型參數(shù)的問題。本文分析了現(xiàn)有兩參數(shù)鐘差狀態(tài)模型的特點(diǎn)，根據(jù)時(shí)頻分析方法精化濾波模型的思路［13］，提出利用功率譜密度分析、自相關(guān)函數(shù)分析、Allan方差分析等方法建立鐘差函數(shù)模型和隨機(jī)模型，重點(diǎn)研究了隨機(jī)模型及鐘差相關(guān)時(shí)間的確定問題，并對(duì)兩種鐘差狀態(tài)模型的實(shí)際效果及鐘差相關(guān)時(shí)間參數(shù)的重要作用進(jìn)行了分析。

1 GPS/INS緊組合導(dǎo)航中的鐘差模型

20 參數(shù)的非差GPS/INS緊組合導(dǎo)航狀態(tài)參數(shù)為:

式中，δt為GPS接收機(jī)鐘差(相位偏差)，δtr為接收機(jī)鐘速(頻率偏差)，其中接收機(jī)鐘差和接收機(jī)鐘速實(shí)用中一般為等效距離和等效距離變化率。

對(duì)于接收機(jī)鐘差參數(shù)，有:

式中，ωt為調(diào)頻白噪聲，具有功率譜密度qωt。

用隨機(jī)游走過程描述的鐘速參數(shù)為:

式中，ξr為調(diào)頻隨機(jī)游走過程δtr的驅(qū)動(dòng)白噪聲，功率譜密度為 qξt。

用一階高斯－馬爾可夫過程描述的鐘速參數(shù)為:

式中，βc=1/Tc，Tc為該過程的相關(guān)時(shí)間，ηr為高斯－馬爾可夫過程的驅(qū)動(dòng)白噪聲，qηt為功率譜密度。

一般而言，兩參數(shù)的鐘差狀態(tài)模型中，鐘差總是如式(1)所示，但鐘速采用隨機(jī)游走或高斯－馬爾可夫過程進(jìn)行建模。本文中，兩種模型分別稱隨機(jī)游走型狀態(tài)模型和高斯－馬爾可夫型狀態(tài)模型。

2 鐘差狀態(tài)模型精化

2.1 調(diào)頻白噪聲模型

2.1.1 Allan 方差法

設(shè)頻率漂移的功率譜密度參數(shù)為 h－2、h－1、h0、h1、h2，則調(diào)頻白噪聲的功率譜密度為［9］:

頻率漂移的Allan方差為［14］:

式中，σt(τ)為Allan標(biāo)準(zhǔn)差。由雙對(duì)數(shù)Allan標(biāo)準(zhǔn)差(logσt(τ)－ logτ)進(jìn)行分段擬合，求出 h－2、h－1、h0、h1、h2功率譜參數(shù)。

2.1.2 功率譜密度法

2.2 調(diào)頻隨機(jī)游走模型

2.2.1 Allan 方差法

由Allan方差和功率譜密度關(guān)系得調(diào)頻隨機(jī)游走過程驅(qū)動(dòng)白噪聲的功率譜密度為［9］:

根據(jù)雙對(duì)數(shù) Allan標(biāo)準(zhǔn)差(logσt(τ)－logτ)擬合斜率為1的部分，由式(5)求取h－2。

2.2.2 方差法

隨機(jī)游走過程驅(qū)動(dòng)白噪聲譜密度所滿足的關(guān)系式為［16］:

可以看出，當(dāng) ΔT很小時(shí)，［δtr(t+ΔT)－δtr(t)］/ΔT實(shí)際上近似為隨機(jī)游走過程的微分——白噪聲 ξr。

2.3 高斯-馬爾可夫過程模型

高斯-馬爾可夫過程驅(qū)動(dòng)白噪聲譜密度qηt為:

式中，σ2為高斯－馬爾可夫過程的方差。

雖然通過Allan方差可以得到一些G-M過程的信息，但是Allan方差對(duì)G-M過程的表達(dá)不夠精確，更理想的分析方法是自相關(guān)函數(shù)法。

利用自相關(guān)函數(shù)估計(jì)結(jié)果，通過式(10)可以求取 σ2及Tc，即可求得驅(qū)動(dòng)白噪聲 ηr的譜密度 qηt。相關(guān)時(shí)間Tc=300 s，方差σ2=1.0的一階G-M過程的自相關(guān)函數(shù)如圖1所示。

3 計(jì)算與分析

3.1 GPS/INS緊組合中兩種鐘差狀態(tài)模型的應(yīng)用

采用的GPS/INS實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)約30 min，IMU采樣頻率100 Hz，GPS采樣頻率1 Hz，對(duì) GPS/INS數(shù)據(jù)進(jìn)行緊組合解算。以載波相位差分獲得的位置作為參考解。

圖1 一階G-M過程的自相關(guān)函數(shù)Fig.1 Autocorrelation function of 1st order G-M process

GPS接收機(jī)時(shí)鐘為溫度補(bǔ)償石英振蕩器，Allan方差計(jì)算的典型數(shù)值［9］h0=2 × 10－19，h－2=2 ×10－20，應(yīng)用中需考慮乘上光速c2進(jìn)行單位轉(zhuǎn)換。對(duì)鐘速數(shù)據(jù)進(jìn)行自相關(guān)分析，得到高斯－馬爾可夫過程模型的相關(guān)時(shí)間為 325.5 s，方差為 1.08 m2/s2，標(biāo)準(zhǔn)化后自相關(guān)函數(shù)如圖2所示。

圖2 鐘速數(shù)據(jù)的自相關(guān)分析結(jié)果Fig.2 Autocorrelation analysis results of clock drift

采用兩種方案進(jìn)行緊組合解算，其中方案1為隨機(jī)游走型狀態(tài)模型，即式(1)和式(2)的鐘差模型;方案2為一階高斯-馬爾可夫型狀態(tài)模型，即式(1)和式(3)的鐘差模型。利用§2的建模方法確定函數(shù)模型和隨機(jī)模型，兩種方案的高程誤差結(jié)果如圖3所示，均方根統(tǒng)計(jì)見表1。

表1 兩種方案的均方根比較Tab.1 RMS comparison of the two schemes

由上述結(jié)果可以看出:

1)受到慣性元件誤差和GPS測(cè)量誤差的影響，不同鐘差模型得到的導(dǎo)航誤差的整體變化趨勢(shì)相近。

圖3 兩種方案的高程誤差Fig.3 Elevation error of the two schemes

2)高斯-馬爾可夫型狀態(tài)模型的結(jié)果優(yōu)于隨機(jī)游走狀態(tài)模型。隨機(jī)游走可以看成是相關(guān)時(shí)間很長(zhǎng)的一階G-M過程，當(dāng)相關(guān)時(shí)間Tc→∞時(shí)，一階G-M過程轉(zhuǎn)化成隨機(jī)游走，這種過長(zhǎng)的相關(guān)時(shí)間與實(shí)際的鐘速變化有所偏差。

3.2 不同模型參數(shù)下的鐘差模型效果比較

為了進(jìn)一步比較兩種狀態(tài)模型的效果并反映高斯-馬爾可夫過程相關(guān)時(shí)間確定的重要性，設(shè)計(jì)4種方案進(jìn)行解算:

方案3:譜密度參數(shù)仍取前述典型數(shù)值，取高斯－馬爾可夫過程的相關(guān)時(shí)間為900 s;

方案4:譜密度參數(shù)同方案3，取高斯-馬爾可夫過程的相關(guān)時(shí)間為1 800 s。

4 個(gè)方案的均方根結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表2。從表2可以看出:

表2 4種方案的均方根比較Tab.2 RMS comparison of the four schemes

1)對(duì)比方案1、2與表1可知，由于隨機(jī)游走函數(shù)模型的固有問題，即使改變其隨機(jī)模型，計(jì)算結(jié)果和高斯-馬爾可夫過程狀態(tài)模型相比仍然較差。

2)對(duì)比方案3、4和表1可知，相關(guān)時(shí)間與真實(shí)情況相差愈大，導(dǎo)航誤差也越大。相關(guān)時(shí)間為高斯-馬爾可夫過程的關(guān)鍵參數(shù)，它確定的準(zhǔn)確與否對(duì)濾波實(shí)際效果影響很大。

4 結(jié)語(yǔ)

高斯-馬爾可夫過程的相關(guān)時(shí)間參數(shù)能夠反映接收機(jī)的時(shí)變特性，是高斯-馬爾可夫過程建模的關(guān)鍵。利用自相關(guān)分析估計(jì)時(shí)鐘頻率偏差數(shù)據(jù)的相關(guān)時(shí)間，可以更加合理地反映接收機(jī)鐘速的實(shí)際變化規(guī)律。在GPS/INS緊組合導(dǎo)航應(yīng)用中，應(yīng)使用高斯-馬爾可夫型鐘差狀態(tài)模型，并通過自相關(guān)分析等方法估計(jì)可靠的相關(guān)時(shí)間，更準(zhǔn)確地描述鐘差狀態(tài)變化。

1 Hutsell S T，et al.Operational use of Hadamard variances in GPS［C］.28th Annu PTTI Syst Applications Meeting，Reston，1996.

2 Epstein M，F(xiàn)reed G，Rajan J.GPS IIR rubidium clocks:Inorbit performance aspects［C］.35th Annual Precise Time and Time Interval(PTTI)Meeting，San Diego，2003.

3 Breakiron L A.A Kalman filter for atomic clocks and timescales［C］.33rd Annual Precise Time and Time Interval(PTTI)Meeting，Long Beach，2001.

4 張清華，隋立芬，賈小林.應(yīng)用Jones-Tryon Kalman濾波器對(duì)在軌GPS Rb鐘進(jìn)行狀態(tài)檢測(cè)［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào):信息科學(xué)版，2012，37(4):436 － 439.(Zhang Qinghua，Sui Lifen，Jia Xiaolin.Monitor state of GPS Rb clock using Jones-Tryon Kalman filter［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan Universit，2012，37(4):436 －439)

5 郭海榮，等.導(dǎo)航衛(wèi)星原子鐘Kalman濾波中噪聲方差-協(xié)方差的確定［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2010，39(3):145 －150.(Guo Hairong，et al.Determination of covariance matrix of Kalman filter used for time prediction of atomic clocks of navigation satellites［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2010，39(3):145－150)

6 王繼剛，等.組合模型預(yù)報(bào)導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差［J］.大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2012(1):84 －88.(Wang Jigang，et al.Combination models for navigation satellite clock prediction［J］.Journal of Ceodesy and Geodynamics，2012(1):84 － 88)

7 鄭作亞，陳永奇，盧秀山.灰色模型修正及其在實(shí)時(shí)GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)中的應(yīng)用研究［J］.天文學(xué)報(bào)，2008，49(3):306 － 320.(Zheng Zuoya，Chen Yongqi，Lu Xiushan.An improved grey model for the prediction of real-time GPS satellite clock bias［J］.Acta Astronomica Sinica，2008，49(3):306－320)

8 Filho E A M，et al.Real time estimation of GPS receiver Clock offset by the Kalman filter［C］.17th International Congress of Mechanical Engineering，2003.

9 Brown R G，Hwang P Y C.Introduction to random signals and applied Kalman filtering(3rd Edition)［M］.USA:John Wiley ＆ Sons，1997.

10 Chan F C，Pervan B.Stochastic modeling of GPS receiver clocks for improved positioning and fault detection performance［C］.ION GNSS 2009，Savannah，GA，2009.

11 袁信，俞濟(jì)祥，陳哲.導(dǎo)航系統(tǒng)［M］.北京:航空工業(yè)出版社，1993.(Yuan Xin，Yu Jixiang，Chen Zhe.Navigation system［M］.Beijing:Aviation Industry Press，1993)

12 吳富梅.GNSS/INS組合導(dǎo)航誤差補(bǔ)償與自適應(yīng)濾波理論的拓展［D］.鄭州:信息工程大學(xué)，2010.(Wu Fumei.Error compensation and extension of adaptive filtering theory in GNSS/INS integrated navigation［D］.Zhengzhou:Information Engineering University，2010)

13 甘雨，等.利用時(shí)頻分析法精化GNSS/INS組合導(dǎo)航先驗(yàn)濾波模型［J］.大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2013(1):108－112.(Gan Yu，et al.Refining prior filtering model of GNSS/INS integrated navigation based on time-frequency analysis［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2013(1):108－112)

14 冀峰，等.GPS接收機(jī)時(shí)鐘頻率漂移誤差分析及模型預(yù)測(cè)［J］.數(shù)據(jù)采集與處理，2010，25(4):544 －548.(Ji Feng，et al.Error analysis and model prediction of GPS receiver clock frequency drift［J］.Journal of Data Acquisition＆ Processing，2010，25(4):544 －548)

15 何正嘉，等.現(xiàn)代信號(hào)處理及工程應(yīng)用［M］.西安:西安交通大學(xué)出版社，2007.(He Zhengjia，et al，Modern signal processing and its application［M］.Xi’an:Xi’an Jiaotong University Press，2007)

16 Maybeck P S.Stichastic models，estimation and control，Volume 1 ［M］.New York:Academic Press，1979.

MODELING RECEIVER CLOCK ERROR IN GPS/INS TIGHTLY INTEGRATED NAVIGATION

Gan Yu，Sui Lifen，Xiao Guorui，Duan Yu and Qi Guobin
(Institute of Geo－Spatial Information，Information Engineering University，Zhengzhou 450052)

A method to constructe a reliable functional model and a stochastic model for clock error based on the theory of refining filter model by time-frequency analysis，power spectral density，autocorrelation and Allan variance was proposed.Comparison of the results calculateed with random walk type and with Gauss-Markov type shows that only by using Gauss-Markov type clock model together with the autocorrelation analysis of correlation time，the variation disciplinarian of clock can be represented properly.

GPS/INS;receiver clock error;autocorrelation function;power spectral density(PSD);Gauss-Markov

P228.41

A

1671-5942(2014)03-0129-04

2013-08-12

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(40974010，41274016，41174006，40971306)。

甘雨，男，1988年生，博士研究生，研究方向?yàn)閯?dòng)態(tài)大地測(cè)量數(shù)據(jù)處理。E－mail:ganyu099@163.com。