李明峰 歐江霞 王永明 解 晨 王 春

1)南京工業(yè)大學(xué)地球空間信息研究中心，南京 210009

2)武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，武漢 430079

基于改進(jìn)小波閾值去噪法的變形預(yù)測(cè)研究*

李明峰1)歐江霞1)王永明2)解 晨1)王 春1)

1)南京工業(yè)大學(xué)地球空間信息研究中心，南京 210009

2)武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，武漢 430079

針對(duì)傳統(tǒng)小波閾值去噪算法的不足，根據(jù)變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)特點(diǎn)及噪聲在小波變換各尺度上的傳播特性，提出新的門(mén)限閾值估計(jì)方法與閾值處理函數(shù)，并應(yīng)用于建筑物變形觀測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)間序列建模。算例表明，改進(jìn)后算法的去噪效果及預(yù)測(cè)值精度均優(yōu)于常規(guī)方法。

小波閾值去噪;閾值函數(shù);小波變換;時(shí)間序列;變形預(yù)測(cè)

變形預(yù)測(cè)通?？刹捎脮r(shí)間序列［1］、線性回歸［2］、灰色系統(tǒng)［3］、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［4］等數(shù)學(xué)方法，在建立預(yù)測(cè)模型之前雖可通過(guò)穩(wěn)健估計(jì)［5］、假設(shè)檢驗(yàn)等方法剔除測(cè)量粗差，但未顧及數(shù)據(jù)采集過(guò)程中所受的噪聲干擾，模型可信度較低。小波閾值去噪在信號(hào)處理領(lǐng)域的優(yōu)越性可較好地彌補(bǔ)這一缺陷。小波閾值去噪的效果很大程度上取決于門(mén)限閾值及閾值處理函數(shù)的選取，常用的固定閾值隨著小波分解尺度的增加易將有用信號(hào)去除，造成信號(hào)丟失;軟閾值函數(shù)［6－7］處理后的估計(jì)小波系數(shù)與含噪小波系數(shù)之間存在恒定偏差;硬閾值函數(shù)［6－7］則不具備連續(xù)性。本文根據(jù)變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，提出與噪聲傳播特性相一致的新的門(mén)限閾值估計(jì)方法，針對(duì)軟閾值函數(shù)及硬閾值函數(shù)的不足構(gòu)建新閾值處理函數(shù)，并將改進(jìn)后的小波閾值去噪法應(yīng)用于變形預(yù)測(cè)建模過(guò)程中。

1 小波閾值去噪原理與方法

信號(hào)在小波域內(nèi)的能量主要集中在有限的系數(shù)中，而噪聲能量分布于整個(gè)小波域內(nèi)。經(jīng)小波變換后，信號(hào)的小波系數(shù)大于噪聲的小波系數(shù)，可通過(guò)設(shè)定相應(yīng)的門(mén)限閾值，將小于該閾值的小波系數(shù)舍去，進(jìn)而進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，達(dá)到去噪的目的。

1.1 小波變換

設(shè)φ(t)為平方可積函數(shù)，即φ(t)∈L2(R)，若其傅里葉變換(ω)滿足:

則稱φ(t)為基本小波。常用為基本小波函數(shù)有Haar、Daubechies(dbN)、Mexican Hat(mexh)、Morlet及Meyer等。設(shè)長(zhǎng)度為N的觀測(cè)信號(hào)為:

式中，s(t)為原始信號(hào)，n(t)為服從N(0，σ2)的高斯白噪聲。對(duì)f(t)連續(xù)作J次小波變換，可得小波系數(shù) ωj，k(j=1，…，J，k=1，…，N)［8］:

1.2 閾值及閾值函數(shù)

固定閾值按經(jīng)驗(yàn)可?。?－7］:

固定閾值可能將有用高頻信號(hào)去除。因此，趙瑞珍［9］、任超［10］等依據(jù)噪聲在小波變換各尺度上的傳播特性，對(duì)固定閾值估計(jì)方法進(jìn)行了改進(jìn)(稱ZR法)，但未顧及變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)受噪聲干擾相對(duì)較小的特點(diǎn)，易造成信號(hào)失真。本文提出新的門(mén)限閾值估計(jì)公式:

由式(6)可知，新門(mén)限閾值估計(jì)方法降低了首層門(mén)限閾值，且與噪聲在小波變換各尺度上的傳播特性相一致，即隨著分解尺度j的增加而減小。因此，新的門(mén)限閾值降低了有用高頻系數(shù)被舍去的風(fēng)險(xiǎn)。

傳統(tǒng)的閾值處理方法有硬閾值法和軟閾值法［6－7］。軟閾值函數(shù)的估計(jì)小波系數(shù)與含噪小波系數(shù)之間存在恒定偏差，硬閾值函數(shù)在定義域上的不連續(xù)會(huì)導(dǎo)致間斷點(diǎn)。故構(gòu)建新的閾值函數(shù):

由以上分析可知，式(8)的漸近線為y=x，即新的閾值函數(shù)是以=ωj，k為漸近線。因此，新閾值函數(shù)既克服了硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性，又減小了軟閾值函數(shù)估計(jì)小波系數(shù)與含噪小波系數(shù)之間的恒定偏差。

2 算例分析

以某建筑物沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)25期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為例，其監(jiān)測(cè)頻率為每天一次。對(duì)前20期數(shù)據(jù)(表1)進(jìn)行小波閾值去噪處理，建立時(shí)間序列模型［11－12］，并預(yù)測(cè)未來(lái)5期的高程值。

表1 用于建模的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)Tab.1 Measurement data used for model establishment

采用db2小波對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行2層小波分解。表2為經(jīng)4種小波閾值處理后的信噪比和均方差。對(duì)比表2中的信噪比及均方差可知，改進(jìn)法的信噪比最高，均方差最小，具有更好的去噪效果。

表2 小波閾值去噪信噪比與均方差對(duì)比Tab.2 Comparison of SNR and MSE among four kinds of wavelet thresholding

圖1中，軟閾值法由于舍去了較多有用的信號(hào)，造成信號(hào)失真，數(shù)據(jù)曲線過(guò)于平滑;硬閾值法與ZR法的處理結(jié)果反映了原始數(shù)據(jù)的基本特征，但在觀測(cè)期數(shù)18～20處其數(shù)據(jù)變化呈上升趨勢(shì)，與原始數(shù)據(jù)變化規(guī)律不符;改進(jìn)法的處理結(jié)果曲線比原始數(shù)據(jù)光滑，且與原始數(shù)據(jù)的變化規(guī)律相一致，去噪效果明顯優(yōu)于其他方法。

令{x1}、{x2}、{x3}、{x4}分別代表由軟閾值法、硬閾值法、ZR法及改進(jìn)法處理過(guò)的數(shù)據(jù)序列，分別建立時(shí)序模型。預(yù)測(cè)方程如下:

利用式(11)預(yù)測(cè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)未來(lái)5期的高程值，如表3所示。由表3可知，改進(jìn)法時(shí)序模型最大預(yù)測(cè)誤差的絕對(duì)值及其絕對(duì)值的平均值最小，預(yù)測(cè)精度最高，而其他模型的預(yù)測(cè)值波動(dòng)比較大、精度較低。同時(shí)，預(yù)測(cè)精度與小波閾值的去噪效果相一致，即數(shù)據(jù)序列的去噪效果越好，其建立的預(yù)測(cè)模型可信度越高，模型預(yù)測(cè)值越精確，在一定程度上彌補(bǔ)了其精度隨預(yù)測(cè)步數(shù)增加而降低的缺陷。

圖1 去噪效果對(duì)比Fig.1 Comparison of de-noised effects of four kinds of wavelet thresholding

步數(shù) 實(shí)測(cè)值/m 軟閾值時(shí)序模型 硬閾值時(shí)序模型 ZR 55 75 －0.61 10.455 67 －0.54 2 10.455 06 10.454 99 －0.07 10.454 93 0.13 10.454 97 －0.09 10.455 21 －0.15 3 10.454 98 10.454 16 0.82 10.454 41 0.57 10.454 43 0.55 10.454 95 0.03 4 10.454 65 10.454 57 0.08 10.454 97 －0.32 10.454 94 －0.29 10.454 97 －0.32 5 10.454 78 10.456 06 －1.28 10.455 85 －1.07 10.455 88 －1.10 10.455 02 －0.24誤差指標(biāo)/mm/mm 1 10.455 14 10.455 84 －0.70 10.455 75 －0.61 10.4法時(shí)序模型 改進(jìn)法時(shí)序模型預(yù)測(cè)值/m 誤差/mm 預(yù)測(cè)值/m 誤差/mm 預(yù)測(cè)值/m 誤差/mm 預(yù)測(cè)值/m 誤差最大絕對(duì)值 1.28 1.07 1.10 0.54平均絕對(duì)值0.59 0.54 0.53 0.26

由圖2可知，軟閾值時(shí)序模型、硬閾值時(shí)序模型、ZR法時(shí)序模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值差距很大，而改進(jìn)法時(shí)序模型在較好地去除觀測(cè)噪聲的情況下，得到更接近真實(shí)值的數(shù)據(jù)，具有較高的預(yù)測(cè)精度。

圖2 各模型預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值對(duì)比Fig.2 Comparison of predicted values and measured values

3 結(jié)語(yǔ)

變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)不可避免地含有觀測(cè)噪聲，利用小波閾值去噪法建立數(shù)據(jù)分析模型，去除噪聲影響，可提高預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度。顧及門(mén)限閾值及閾值函數(shù)選取對(duì)去噪效果的影響，并根據(jù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)及噪聲在小波變換各尺度上的傳播特性，提出了新的門(mén)限閾值估計(jì)方法與閾值處理函數(shù)，通過(guò)對(duì)比現(xiàn)有小波閾值算法信噪比與均方差，驗(yàn)證了所提方法的優(yōu)越性。

依據(jù)經(jīng)驗(yàn)及信噪比確定的小波分解層數(shù)會(huì)對(duì)去噪效果產(chǎn)生不利影響，而現(xiàn)有的小波系數(shù)白噪聲檢驗(yàn)僅適合于大樣本數(shù)據(jù)，因此，利用小波閾值去噪處理變形監(jiān)測(cè)小樣本數(shù)據(jù)時(shí)，其最優(yōu)分解層數(shù)的確定有待進(jìn)一步研究。

1 黃聲享，尹暉，黃征.變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2010.(Huang Shengxiang，Yin Hui，Huang Zheng.Data processing for deformation monitoring［M］.Wuhan:Wuhan University Press，2010)

2 李明峰，等.基于雙參數(shù)線性化回歸的基坑變形分析與預(yù)報(bào)［J］.大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2012(2):64 －67.(Li Mingfeng，et al.Deformation monitoring analysis and prediction for foundation pit based on two-parameter linearized regression［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2012(2):64－67)

3 焦明連，蔣延臣.基于小波分析的灰色預(yù)測(cè)模型在大壩安全監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用［J］.大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2009，(4):115 －117.(Jiao Minglian，Jiang Yanchen.Application of grey model based on wavelet analysis in dam safety monitoring［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2009(4):115－117)

4 潘國(guó)榮，谷川.變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)方法［J］.大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2007(8):47 －50.(Pan Guorong，Gu Chuan.Wavelet neural network prediction method of deformation montoring data［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2007(8):47 －50)

5 王新洲，陶本藻，邱衛(wèi)寧.高等測(cè)量平差［M］.北京:測(cè)繪出版社，2006.(Wang Xinzhou，Tao Benzao，Qiu Weining.Advanced surveying adjustment［M］.Beijing:Survey and Mapping Press，2006)

6 Donoho D L，Johnstone I M.Ideal spatial adaptation via wavelet shrinkage［J］.Biometrika，1994，81:425 －455.

7 Donoho D L.De-noising by soft-thresholding ［J］.IEEE Trans on Information Theory，1995，41(3):613 －627.

8 張維強(qiáng)，宋國(guó)鄉(xiāng).基于一種新的閾值函數(shù)的小波域信號(hào)去噪［J］.西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2004，31(2):296 － 303.(Zhang Weiqiang，Song Guoxiang.Signal de-noising in wavelet domain based on a new kind of thresholding function ［J］.Journal of Xidian University，2004，31(2):296－303)

9 趙瑞珍，宋國(guó)鄉(xiāng)，王紅.小波系數(shù)閾值估計(jì)的改進(jìn)模型［J］.西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，19(4):625 －628.(Zhao Ruizhen，Song Guoxiang，Wang Hong.Better threshold estimation of wavelet coefficients for improving de-noising ［J］.Journal of Northwestern Polytechnical University，2001，19(4):625－628)

10 任超，沙磊，盧獻(xiàn)健.一種改進(jìn)小波閾值算法的變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)濾波方法［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào):信息科學(xué)版，2012，37(7):873 － 875.(Ren Chao，Sha Lei，Lu Xianjian.An adaptive wavelet thresholding de-noising for deformation analysis［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2012，37(7):873 －875)

11 趙燕榮，袁寶遠(yuǎn).基于小波的時(shí)序改進(jìn)法在深基坑監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用［J］.巖土力學(xué)，2008，29(12):3 381 －3 386.(Zhao Yanrong，Yuan Baoyuan.A method based on time series improvement method of wavelet applied to deep foundation pit monitoring［J］.Rock and Soil Mechanics，2008，29(12):3 381－3 386)

12 隋銘明，陳健，史玉峰.時(shí)間序列分析與頻譜分析聯(lián)合用于變形監(jiān)測(cè)分析與預(yù)報(bào)［J］.工程勘察，2011(11):77－80.(Sui Mingming，Chen Jian，Shi Yufeng.Integration of time series analysis and spectrum analysis and its application in deformation data processing and forecasting［J］.Geotechnical Investigation and Surveying，2011(11):77 －80)

STUDY ON DEFORMATION PREDICTION BASED ON IMPROVED WAVELET THRESHOLD DE-NOISING METHOD

Li Mingfeng1)，Ou Jiangxia1)，Wang Yongming2)，Xie Chen1)and Wang Chun1)
1)Institute of Geo-Spatial Information，Nanjing University of Technology，Nanjing 210009
2)School of Geodesy and Geomatics，Wuhan University，Wuhan430079

According to the characteristics of deformation data and noise propagation on wavelet transforming in various scales，a new threshold estimation method and threshold processing function are proposed，and applied to establishment of time series model for deformation observation data.The advantage of improved wavelet de-noising method is demonstrated，and the precision of prediction value is higher than that with the conventional methods.

wavelet threshold de-noising;threshold function;wavelet transform;time series;deformation prediction

P207

A

1671-5942(2014)03-0068-04

2013-09-09

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41274009);江蘇省研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目(CXLX13_422);南京市科技計(jì)劃項(xiàng)目(201101069);江蘇省測(cè)繪科研項(xiàng)目(JSCHKY201108)。

李明峰，男，1964年生，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)樽冃伪O(jiān)測(cè)與災(zāi)害預(yù)測(cè)理論與方法，E－mail:njuter@163.com。