王緒虎，陳建峰，韓 晶，張群飛

（1．青島理工大學(xué) 通信與電子工程學(xué)院，山東 青島 266520；2．西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，西安 710072）

在水下信息的感知和測(cè)量系統(tǒng)中，聲壓水聽(tīng)器是最常使用的傳感器，它測(cè)量某點(diǎn)的聲壓，獲取聲場(chǎng)的標(biāo)量信息。矢量水聽(tīng)器（AVS：Acoustic Vector Sensor）可以同時(shí)測(cè)量聲場(chǎng)中某點(diǎn)的聲壓和三個(gè)正交的振速分量（或聲壓梯度），高階水聽(tīng)器可以獲取聲場(chǎng)中的高階差分量，理論上它們獲取了更多的聲場(chǎng)信息，因而也具有更高的處理增益和空間指向性，近年來(lái)受到水聲工作者的關(guān)注。

矢量水聽(tīng)器的優(yōu)勢(shì)在于它具有與頻率無(wú)關(guān)的偶極子指向性，單個(gè)矢量水聽(tīng)器便可實(shí)現(xiàn)三維空間的無(wú)模糊定向［1－2］。近幾十年來(lái)，矢量水聽(tīng)器技術(shù)獲得了快速的發(fā)展，一批性能穩(wěn)定的矢量水聽(tīng)器已經(jīng)成功的應(yīng)用到聲納浮標(biāo)［3－4］、聲納潛標(biāo)［5］、拖曳線列陣［6－7］、輻射噪聲測(cè)量與識(shí)別系統(tǒng)［8－9］地震監(jiān)測(cè)系統(tǒng)［1］、魚(yú)探儀［3］等水下信息感知系統(tǒng)中［10－11］。

聲場(chǎng)高階信息量的幅度相對(duì)于零階信息的（聲壓）幅度來(lái)說(shuō)比較小，且階數(shù)越高，幅度衰減越快。除此之外，高階信息量測(cè)量系統(tǒng)中具有自噪聲，且對(duì)環(huán)境噪聲比較敏感，因而聲場(chǎng)高階信息的獲取具有很大的挑戰(zhàn)性。近十幾年來(lái)，一些研究者針對(duì)二階組合傳感器進(jìn)行了相關(guān)研究。D’Spain［12］提出了二階聲場(chǎng)的概念，并分析了單點(diǎn)零階、一階和二階信息的波束形成原理；Cray等［13］提出了二階組合水聽(tīng)器的概念，并分析了單個(gè)二階組合水聽(tīng)器的指向性和處理增益；Cray等［14－15］制作出幾種不同類(lèi)型的二階組合水聽(tīng)器；Cox等［16－17］針對(duì)二階組合水聽(tīng)器的波束形成、陣列增益和方位估計(jì)等內(nèi)容進(jìn)行了探索研究。

二階組合水聽(tīng)器有多種組合方式，本文針對(duì)一種十通道的二階組合水聽(tīng)器進(jìn)行研究，分析它在各向同性噪聲場(chǎng)中輸出的自相關(guān)特性，在此基礎(chǔ)上分析它的的工作性能，從波束指向性和處理增益兩個(gè)角度上來(lái)定量的分析二階組合水聽(tīng)器的工作性能。為二階組合水聽(tīng)器的工程應(yīng)用提供理論支持。

1 二階組合水聽(tīng)器的測(cè)量模型

二階組合水聽(tīng)器可以同時(shí)測(cè)量聲壓、振速和振速梯度（二階聲場(chǎng)信息）信息［13］。圖1為三維空間的坐標(biāo)系，根據(jù)平面波聲場(chǎng)中聲壓與質(zhì)點(diǎn)振速的關(guān)系，質(zhì)點(diǎn)振速的三個(gè)正交分量可分別表示為

式中，p為聲壓，c為介質(zhì)中的聲傳播速度，ρ0為介質(zhì)密度，Ф為方位角，ψ為俯仰角。由上式可知，三個(gè)振速分量的橫向振速梯度可表示為

式中，j表示虛數(shù)單位，ω為信號(hào)的角頻率。三振速分量的縱向振速梯度可表示為

圖1 振速在三維空間坐標(biāo)系中的投影關(guān)系Fig．1 Projection relation of vibration velocities in different coordinate system

2 環(huán)境噪聲場(chǎng)中二階組合傳感器的輸出相關(guān)性

評(píng)估指向性水聽(tīng)器的工作性能，首先要確定水聽(tīng)器輸出噪聲的自相關(guān)特性。為了敘述簡(jiǎn)單，本文假定環(huán)境噪聲場(chǎng)為各向同性的。非各向同性噪聲可以采用類(lèi)似的方法進(jìn)行分析，但計(jì)算過(guò)程更加復(fù)雜。

各向同性噪聲場(chǎng)可認(rèn)為是來(lái)自四面八方的平面波噪聲共同作用的結(jié)果，每個(gè)方向來(lái)的噪聲是互不相關(guān)的［18］。因而，二階組合傳感器輸出的自相關(guān)矩陣R可表示為

式中表示某固定方向上的平面波噪聲的自相關(guān)系數(shù)，且在所有的方向上都相等。U為二階組合傳感器的方向矢量，具體形式為

M表示歸一化的自相關(guān)矩陣，其值為

將式（5）代入式（6）可得（為了保持?jǐn)⑹龅倪B貫性，這里直接給出結(jié)果，附錄中進(jìn)行了詳細(xì)分析）

3 二階組合傳感器的波束形成

波束形成是陣列信號(hào)處理常用的一種方法，它將基陣各陣元輸出經(jīng)過(guò)處理（如加權(quán)、延時(shí)、求和等）形成空間指向性。其目的之一是濾除噪聲，提高系統(tǒng)輸出的信噪比。二階組合傳感器有10個(gè)輸出通道，可以類(lèi)比于10陣元基陣進(jìn)行波束形成處理，來(lái)濾除噪聲，提高其輸出信噪比。

3.1 常規(guī)波束形成

二階組合水聽(tīng)器的輸出用矩陣形式表描述，可以寫(xiě)成

式中，X（t）為二階組合水聽(tīng)器的輸出信號(hào)矢量，x（t）為二階組合水聽(tīng)器等效中心點(diǎn)處的聲壓信號(hào)波形，U（Ω）為其方向矢量（具體形式如式（5）所示），Ω＝（Ф，ψ）表示信號(hào)的方位矢量，N（t）為組合水聽(tīng)器的噪聲信號(hào)矢量。

利用方向矢量對(duì)二階組合水聽(tīng)器的接收信號(hào)進(jìn)行匹配處理，其處理過(guò)程如圖2所示，則其輸出功率可表示為

式中，W＝U為波束形成的權(quán)向量，N為快拍數(shù)。為二階組合水聽(tīng)器接收信號(hào)的自協(xié)方差矩陣，具體形式為

式（9）表示的處理過(guò)程成為二階組合水聽(tīng)器的常規(guī)波束形成（CBF：Conventional Beamforming）。

圖2 二階組合水聽(tīng)器常規(guī)波束形成原理圖Fig．2 Function diagram of the CBF based on single ADS

3.2 MVDR波束形成

對(duì)二階組合水聽(tīng)器的輸出進(jìn)行加權(quán)處理，使其滿(mǎn)足兩個(gè)準(zhǔn)則：無(wú)失真準(zhǔn)則和最小方差準(zhǔn)則，這樣的處理過(guò)程稱(chēng)為二階組合水聽(tīng)器的最小方差無(wú)失真響應(yīng)波束形成（MVDR：Minimum Variance Distortionless Response beam forming）。

無(wú)失真準(zhǔn)則即要權(quán)矢量W在入射波方向上的響應(yīng)系數(shù)滿(mǎn)足

式中為入射波的方位，其中 Фs表示方位角，ψs表示俯仰角。最小方差準(zhǔn)則即使波束形成器的輸出功率P最小。上述問(wèn)題利用最優(yōu)化理論可以描述為

利用拉格朗日乘子法可以得出最佳權(quán)向量

將式（13）代入式（12）可得二階組合水聽(tīng)器的輸出方位譜為

式中U（Ω）為二階組合水聽(tīng)器的方向矢量為它的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣。通過(guò)式（14）計(jì)算出方位譜，對(duì)方位譜進(jìn)行極值搜索便可求得目標(biāo)的方位。二階組合水聽(tīng)器的MVDR波束形成處理過(guò)程如圖3所示。

圖3 MVDR波束形成原理圖Fig．3 Function diagram of the MVDR based on single ADS

注意，式（14）所表示的空間譜跟信號(hào)的輸出功率沒(méi)有直接關(guān)系；式（9）描述的是系統(tǒng)的輸出功率，兩者的物理涵義有本質(zhì)的區(qū)別。

3．3 增益分析

處理增益是衡量系統(tǒng)性能的一個(gè)重要參數(shù)，它定義為系統(tǒng)輸出信噪比與系統(tǒng)輸入信噪比的比值。下面通過(guò)分析二階組合水聽(tīng)器的兩種處理方法的增益來(lái)分析其性能。

假定在二階組合水聽(tīng)器接收端信噪比為SNRin＝Ps／Pn，其中Ps表示信號(hào)功率，Pn為噪聲功率。常規(guī)波束形成器的輸出端信噪比為

式中，M為二階組合水聽(tīng)器噪聲的歸一化協(xié)方差矩陣。根據(jù)處理增益的定義，二階組合水聽(tīng)器常規(guī)波束形成的處理增益為

由上式可以看出，二階組合水聽(tīng)器的常規(guī)波束形成器的處理增益由二階組合水聽(tīng)器的輸出噪聲相關(guān)特性和方向矢量共同決定。

由于二階組合水聽(tīng)器MVDR波束形成器滿(mǎn)足無(wú)失真準(zhǔn)則，因而其輸出的信號(hào)功率為Ps；其輸出的噪聲功率部分可以表示為

所以，其處理增益為

從上式可以看出，二階組合水聽(tīng)器MVDR波束形成器的處理增益與輸入信號(hào)有關(guān)為二階組合水聽(tīng)器接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣估計(jì)值）。

從上的分析過(guò)程可以看出，波束形成的權(quán)值W不同，會(huì)有不同的處理增益。

4 仿真及結(jié)果分析

為了評(píng)估二階組合水聽(tīng)器的性能，對(duì)它的兩種波束器進(jìn)行了仿真分析，為了比較，同時(shí)給出了單個(gè)矢量水聽(tīng)器的仿真結(jié)果。

仿真條件：信號(hào)頻率為1 kHz，采樣頻率為25 kHz，快拍數(shù)取1 024點(diǎn)，噪聲為數(shù)值模擬的各向同性噪聲噪聲。

圖4為信噪比為10 dB時(shí)，二階組合水聽(tīng)器波束形成的三維波束等高線圖。圖4（a）是二階組合水聽(tīng)器MVDR波束圖；圖4（b）是矢量水聽(tīng)器的MVDR波束圖；圖4（c）是二階組合水聽(tīng)器的CBF波束圖；圖4（d）是矢量水聽(tīng)器的CBF波束圖。通過(guò)觀察和對(duì)比我們可以看出：相比于矢量水聽(tīng)器，二階組合水聽(tīng)器的波束圖具有更好的性能，它的波束寬度更窄，旁瓣級(jí)更低。這說(shuō)明二階組合水聽(tīng)器在較小的孔徑下可以獲得更好的指向性。

圖4 三維波束等高線線圖Fig．4 The contourmap of three-dimensional beampattern

圖5為信噪比為10 dB，俯仰角ψ＝0°時(shí)，目標(biāo)方位角分別為Ф＝180°和Ф＝135°兩種情況的二維波束圖。圖中實(shí)線為二階組合水聽(tīng)器的波束圖，點(diǎn)實(shí)線為矢量水聽(tīng)器的波束圖。圖5（a）和（b）為目標(biāo)Ф＝180°時(shí)的CBF和MVDR波束圖。圖5（c）和（d）為目標(biāo)Ф＝135°時(shí)的CBF和MVDR波束圖。從圖中可以看出，二階組合水聽(tīng)器的波束性能優(yōu)于矢量水聽(tīng)器輸出波束，且它在180°方向的優(yōu)勢(shì)大于在135°方向上的優(yōu)勢(shì)。

圖5 ψ＝0°時(shí)二維波束圖Fig．5 Two-dimensional beampattern whenψ＝0°

文獻(xiàn)［3］中分析了矢量水聽(tīng)器常規(guī)波束形成處理增益為4．8 dB，且它在各個(gè)方向上都是相等的。圖6給出了二階組合水聽(tīng)器常規(guī)波束形成的處理增益圖，從圖上可以看出，二階組合水聽(tīng)器的常規(guī)處理增益在各個(gè)方向上是不同的，其最高增益約為6．12 dB，最小增益約為5．23 dB。由此我們可以看出，二階組合水聽(tīng)器獲得了比矢量水聽(tīng)器更大的處理增益。

圖6 二階組合水聽(tīng)器常規(guī)波束形成的處理增益Fig．6 The processing gain of the CBF based on single ADS

在方向 Ωs＝（180°，0°）上，二階組合水聽(tīng)器的常規(guī)增益為最大值6．12 dB，高于矢量水聽(tīng)器處理增益1．32 dB；在方向 Ωs＝（135°，0°）上二階組合水聽(tīng)器的常規(guī)處理增益約為5．46 dB，高于矢量水聽(tīng)器約為0．66 dB。這一點(diǎn)解釋了二階組合水聽(tīng)器波束相對(duì)于矢量水聽(tīng)器波束在180°方向的優(yōu)勢(shì)大于在135°方向上的優(yōu)勢(shì)的內(nèi)在原因。

圖7為二階組合水聽(tīng)器MVDR波束形成器的處理增益分布圖。從圖中可以看出，在不同方向上，其增益值是相同的，處理增益值約為在9．54 dB（注意，計(jì)算增益時(shí)用到噪聲協(xié)方差矩陣的求遞，即對(duì)式（7）所示的矩陣求逆，該矩陣條件數(shù)差，不能直接求逆矩陣，可以通過(guò)求廣義等矩陣的方法計(jì)算）。對(duì)比圖6和圖7可以看出，在權(quán)值與信號(hào)方向準(zhǔn)確匹配的情況下，MVDR波束形成器的處理增益高于CBF約4 dB左右。

圖7 二階組合水聽(tīng)器MVDR波束形成的處理增益Fig．7 The processing gain of the MVOR beamforming based on single ADS

5 結(jié) 論

本文推導(dǎo)了各向同性噪聲場(chǎng)中二階組合水聽(tīng)器的輸出協(xié)方差矩陣。分析了兩種基于單個(gè)二階水聽(tīng)器的波束形成方法，常規(guī)波束形成和最小方差無(wú)失真響應(yīng)波束形成，并推導(dǎo)了兩種處理方法的增益公式。仿真結(jié)果表明，單個(gè)二階組合水聽(tīng)器可以獲得更好的指向性和更大的處理增益。其常規(guī)波束形成器的處理增益在不同的方向上不同，分布在5．23－6．12 dB之間；二階組合水聽(tīng)器MVDR波束形成器的增益在各個(gè)方向上是相同的，增益值約為9．54。在工程中，二階組合水聽(tīng)器的MVDR波束形成依然具有陣列信號(hào)處理中所具有的穩(wěn)健性差的缺點(diǎn)。

［1］Nehorai A，Paldi E．Acoustic vector-sensor array processing［J］．IEEE Transactions on Signal Processing，1994，42（9）：2481－2491．

［2］Hawkes M，Nehorai A．Acoustic vector-sensor beamforming and capon direction estimation［J］．IEEE Transactions on Signal Processing，1998，46（9）：2291－2304．

［3］楊德森，洪連進(jìn)．矢量水聽(tīng)器原理及應(yīng)用引論［M］．北京：科學(xué)出版社，2009．

［4］賈志富．全面感知水聲信息的新傳感器技術(shù)－矢量水聽(tīng)器及其應(yīng)用［J］．物理，2009，38（3）：157－168．JIA Zhi-fu． Novel sensor technology for comprehensive underwater acoustic information—vector hydrophones and their applications［J］．Physics，2009，38（3）：157－168．

［5］陳曉昭，陳建峰，王緒虎，等．矢量水聽(tīng)器的工程局限性剖析［J］．聲學(xué)技術(shù)，2012，31（5）：490－496．CHEN Xiao-zhao，CHEN Jian-feng，WANG Xu-hu，et al．Limitations of acoustic vector in engineering application［J］．Technical Acoustics，2012，31（5）：490－496．

［6］D’Spain G L，Luby JC，Wilson GR etal．Vector sensors and vector sensor line arrays：Comments on optimal array gain and detection［J］．J．Acoust．Soc．Am．，2006，120（1）：171－185．

［7］Rouquette R E et al．Towed streamer deghosting［P］．USA：7167413B1，2007．

［8］孫貴青，楊德森，張攬?jiān)拢谑噶克?tīng)器的水下目標(biāo)低頻輻射噪聲測(cè)量方法研究［J］．聲學(xué)學(xué)報(bào)，2002，27（5）：429－434．SUN Gui-qing，YANG De-sen，ZHANG Lan-yue．Research on themethod formeasuring radiated nosie by an underwater target in low ferquency band based on the vector hydrophone［J］．Acta Acustica，2002，27（5）：429－434．

［9］胡博，楊德森．基于矢量陣測(cè)量的局部近場(chǎng)全息技術(shù)研究［J］．振動(dòng)與沖擊，2011，30（8）：225－229．HU Bo， YANG De-sen． Patch near-field acoustical holography study based onmeasurement of vector hydrophone array［J］．Journal of Vibration and Shock，2011，30（8）：225－229．

［10］孟洪，葛輝良，李冰茹．舷側(cè)陣殼體平臺(tái)近場(chǎng)聲矢量場(chǎng)分析［J］．聲學(xué)技術(shù)，2009，28（6）：4－7．MENG Hong，GE Hui-liang，LIBing-ru．Analysis of the near vector-field of cylindrical shell’s sound radiation of flank array［J］．Technical Acoustics，2009，28（6）：4－7．

［11］楊德森，朱中銳，時(shí)勝?lài)?guó)．球形殼體障板聲散射近場(chǎng)矢量特性［J］．振動(dòng)與沖擊，2013，32（2）：135－139．YANG De-sen，ZHU Zhong-rui，SHI Sheng-guo．Acoustic vector characteristics of near fields scattered by a spherical shell baffle［J］．Journal of Vibration and Shock，2013，32（2）：135－139．

［12］D’Spain G L，HodykissW S．Array processing with acoustic measurements at a single point in the ocean［J］．J．Acoust．Soc．Am．，1992，91（4）：2364．

［13］ Cray B A，Evora V M，Nuttall A H．Highly directional acoustic receiver［J］．J．Acoust．Soc．Am．，2003，113（3）：1526－1532．

［14］Cray B A，Evora V．F．Highly directive underwater acoustic receive［P］．USA：6697302B1，2004．

［15］楊德森，孫心毅，洪連進(jìn)，等．基于矢量水聽(tīng)器的振速梯度水聽(tīng)器［J］．哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，34（1）：7－14．YANG De-shen，SUN Xin-yi，HONG Lian-jin，et al．The velocity gradient sensor based on the vector sensor［J］．Journal of Harbin Engineering University，2013，34（1）：7－14．

［16］Cox H，Lai，H．Performance of line arrays of vector and higher order sensors［C］／／Proceeding of the 41th Asilomar Conference on Signals， Systems and Computers． Pacific Grove，CA，USA，2007，1231－1236．

［17］LaiH，Bell K．Cramer-Rao Lower Bound for DOA Estimation Using Vector and Higher-Order Sensor Arrays［C］／／Proceeding of the 41th Asilomar Conference on Signals，Systems and Computers．Pacific Grove，CA，USA，2007，1262－1266．

［18］Hawkes M，Nehorai A．Acoustic vector-sensor correlations in ambient noise［J］．IEEE Journal of Oceanic Engineering，2001，26（3）：337－347．

附 錄

求解式（6）所示矩陣M的各元素的過(guò)程中主要應(yīng)用了下述的個(gè)等式

式中n＝0，1，2，…，則In可以根據(jù)下述的遞推關(guān)系求解。

下面列出了求解矩陣M的五個(gè)元素的過(guò)程，做類(lèi)比推導(dǎo)可以求解出其他的元素。