傅 平，胡錫幸，郭吉豐

（1，福州大學(xué) 電氣工程學(xué)院，福州 350108；2，閩江學(xué)院 物理學(xué)與電子信息工程系，福州 350121；3，國(guó)網(wǎng)浙江省電力公司杭州供電公司，杭州 310009；4，浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院，杭州 310027）

二自由度球形超聲波電機(jī)低速大力矩、定位精度高的特性非常適合做多自由度機(jī)器人的執(zhí)行機(jī)構(gòu)。但是二自由度超聲波電機(jī)［1－9］具有非線性、時(shí)變、強(qiáng)耦合的特性，使得它的轉(zhuǎn)速、位置檢測(cè)比較困難。目前，國(guó)內(nèi)外關(guān)于二自由度球形超聲波電機(jī)性能測(cè)試的報(bào)道較少。

二自由度球形超聲波電機(jī)的輸出變量主要是轉(zhuǎn)速、位置。目前在二自由度球形超聲波電機(jī)中最常用的位置檢測(cè)機(jī)構(gòu)［4］如圖1所示，在電機(jī)的x軸和y軸方向上分別安裝光電編碼器，在每個(gè)編碼器的軸上安裝一個(gè)圓弧帶槽框架，球轉(zhuǎn)子輸出軸通過(guò)兩條圓弧帶槽框架的相交點(diǎn)。通過(guò)兩個(gè)編碼器所測(cè)得的轉(zhuǎn)角就能得到輸出軸的空間位置。這種檢測(cè)方式需要在球轉(zhuǎn)子上安裝一個(gè)輸出軸，轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)范圍會(huì)受到限制。文獻(xiàn)［10］給出了轉(zhuǎn)速和電壓的關(guān)系圖。文獻(xiàn)［11］給出了電機(jī)繞各軸的最高轉(zhuǎn)速，但其輸出轉(zhuǎn)矩因太小而難以檢測(cè)。文獻(xiàn)［12］給出了多自由度球形超聲波電機(jī)的空載轉(zhuǎn)速和最大輸出轉(zhuǎn)矩。文獻(xiàn)［13］使用調(diào)心軸承和連桿機(jī)構(gòu)來(lái)檢測(cè)球轉(zhuǎn)子姿態(tài)角，其運(yùn)動(dòng)范圍仍受制約。除此之外則是采用視覺(jué)識(shí)別測(cè)量系統(tǒng)，在球轉(zhuǎn)子表面噴涂網(wǎng)格圖，并從中提取特征點(diǎn)以識(shí)別網(wǎng)格的位置。Lee等［13］使用雙光學(xué)傳感器在2個(gè)方向檢測(cè)球轉(zhuǎn)子的表面變化量，進(jìn)而測(cè)量出球體三自由度的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)。采用光學(xué)傳感器有助于提高檢測(cè)精度，但是增加了控制系統(tǒng)的運(yùn)算量。Mashimo等［14］提出用激光檢測(cè)球轉(zhuǎn)子的位置，激光的應(yīng)用進(jìn)一步提高了檢測(cè)精度，但也使得成本提高以及檢測(cè)范圍受限。

圖1 常用的位置檢測(cè)機(jī)構(gòu)Fig．1 Position detectingmechanism in common use

二自由度球形超聲波電機(jī)［15］是通過(guò)3個(gè)定子的相互協(xié)調(diào)控制來(lái)實(shí)現(xiàn)球轉(zhuǎn)子的運(yùn)行，因此研究球轉(zhuǎn)子在單個(gè)定子不同頻率、相位、幅值以及驅(qū)動(dòng)方式（駐波、行波）下的運(yùn)行特性是分析二自由度球形超聲波電機(jī)的基礎(chǔ)。實(shí)驗(yàn)中，首先進(jìn)行單定子驅(qū)動(dòng)球轉(zhuǎn)子特性的測(cè)試。測(cè)試系統(tǒng)采用光電編碼器測(cè)定球轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)矩測(cè)試模塊測(cè)量球轉(zhuǎn)子的輸出力矩，并通過(guò)壓緊螺母調(diào)整加載預(yù)緊力的大小。最后再進(jìn)行二自由度球形超聲波電機(jī)的軌跡控制。

1 單定子電機(jī)的輸出特性

電機(jī)轉(zhuǎn)速和驅(qū)動(dòng)頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖2（a）所示。從圖中可以知道，電機(jī)的穩(wěn)定工作區(qū)一般選取在諧振點(diǎn)右側(cè)一段較小的區(qū)間，該區(qū)間帶寬大約為400 Hz，即49．1－49．5 kHz。在工作區(qū)間內(nèi)對(duì)應(yīng)的機(jī)械特性如圖2（b）所示，可以看到隨著驅(qū)動(dòng)頻率的增加，電機(jī)空載轉(zhuǎn)速和堵轉(zhuǎn)力矩都有所下降。

圖3是電機(jī)轉(zhuǎn)速隨相位差的變化曲線。從圖3可以看到，定子兩相輸入電壓的相位差在過(guò)零點(diǎn)附近存在一個(gè)轉(zhuǎn)速死區(qū)。當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻率為49．2 kHz時(shí)，死區(qū)約為 ±20°。

圖4是電機(jī)轉(zhuǎn)速隨輸入電壓變化曲線。圖中可以看到輸入電壓與轉(zhuǎn)速之間存在一個(gè)死區(qū)，只有當(dāng)輸入電壓的峰峰值超過(guò)30 V后，轉(zhuǎn)子才開(kāi)始運(yùn)轉(zhuǎn)。

圖2 頻率－速度特性Fig．2 Speed-driving frequency characteristics

2 軌跡運(yùn)行控制

對(duì)于2自由度超聲波球電機(jī)而言，平面任意方向的角速度ω都可以通過(guò)兩個(gè)相互垂直的角速度ω1、ω2合成，如圖5所示。

圖5 角速度分解Fig．5 Decomposition of angular velocity

圖3 轉(zhuǎn)速－相位差特性Fig．3 Speed-driving phase-difference characteristics

圖4 轉(zhuǎn)速－輸入電壓特性Fig．4 Speed-input voltage characteristics

圖5中β表示ω1與ω之間的夾角，它們的關(guān)系為

2自由度球形超聲波電機(jī)包含3個(gè)定子，空間呈120°對(duì)稱分布［15］。假設(shè)3個(gè)定子表面行波波峰點(diǎn)沿定子周向的角速度分別為 ωs1，ωs2，ωs3，可以得到 ωs1，ωs2，ωs3與 ω1和 ω2之間滿足

上式中nx和ny分別為x和y軸的單位向量。

由式（1）、（2）和（3），并以極小范數(shù)解作為優(yōu)化目標(biāo)，冗余性及其控制策略具體見(jiàn)文獻(xiàn)［15］。當(dāng)控制球轉(zhuǎn)子的空載轉(zhuǎn)速在單位圓內(nèi)時(shí)，可以得到ωs1、ωs2、ωs3滿足以下關(guān)系

其中k是常數(shù)，滿足

式（5）中 φ＝arccos（r／R），r是定子有效半徑，R是球轉(zhuǎn)子半徑。

因此，通過(guò)配置3個(gè)定子表面的角速度就能完成轉(zhuǎn)子在x，y坐標(biāo)軸內(nèi)沿任意角度運(yùn)行。

2.1 轉(zhuǎn)速控制方法

通過(guò)合理配置定子表面的角速度就能完成轉(zhuǎn)子在x，y坐標(biāo)軸內(nèi)沿任意角度運(yùn)行。而定子表面的角速度可以通過(guò)改變定子輸入電壓的頻率、幅值和相位差進(jìn)行調(diào)整。由單定子電機(jī)的輸出特性可以知道主要有以下幾種方法實(shí)現(xiàn)：

（1）調(diào)頻控制

調(diào)頻控制是最常用的控制方式，但是2自由度球形超聲波電機(jī)通過(guò)調(diào)諧實(shí)現(xiàn)三個(gè)定子的諧振頻率一致。通過(guò)調(diào)頻調(diào)速，電機(jī)輸入頻率一旦遠(yuǎn)離諧振區(qū)，就會(huì)產(chǎn)生較大的轉(zhuǎn)速波動(dòng)，影響電機(jī)的控制效果。因此不適合采用調(diào)頻的方式進(jìn)行控制。

（2）調(diào)壓控制

調(diào)壓控制可以實(shí)現(xiàn)定子振幅的平穩(wěn)變化。對(duì)于超聲波電機(jī)而言，調(diào)壓控制可調(diào)節(jié)的范圍較小。

（3）相位差控制

采用相位差控制可以實(shí)現(xiàn)電機(jī)轉(zhuǎn)速大小和方向的平穩(wěn)調(diào)整。對(duì)于電機(jī)而言，相位差控制在降低電機(jī)轉(zhuǎn)速的同時(shí)，不會(huì)帶來(lái)負(fù)載轉(zhuǎn)速的增加。因此運(yùn)行過(guò)程中，通過(guò)改變相位差對(duì)電機(jī)進(jìn)行轉(zhuǎn)速調(diào)整，可以在調(diào)速時(shí)保證電機(jī)平穩(wěn)運(yùn)行。為了確定單個(gè)定子驅(qū)動(dòng)時(shí)電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和定子兩相相位差之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，需要對(duì)圖3的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。由圖3可以看出電機(jī)轉(zhuǎn)速和相位差之間呈現(xiàn)較強(qiáng)的非線性關(guān)系，大大增加了實(shí)際控制過(guò)程的運(yùn)算量。通過(guò)分段線性擬合，可以得到電機(jī)轉(zhuǎn)速n與定子兩相相位差θ之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

單定子驅(qū)動(dòng)時(shí)相位差θ與轉(zhuǎn)速n對(duì)應(yīng)關(guān)系的實(shí)測(cè)點(diǎn)與式（6）擬合曲線的對(duì)比如圖6所示，從圖中可以看到擬合曲線和實(shí)際測(cè)試點(diǎn)基本接近，能夠反映電機(jī)轉(zhuǎn)速隨相位差的變化規(guī)律。

聯(lián)立式（4）和（6），并采用歸一化處理，可以得到β與定子1相位差θ1之間滿足

圖6 定子相位差與轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)關(guān)系Fig．6 Relation between speed of rotor and phase difference of each stator

其中nmax＝300 r／min。同理 θ2和 θ3也可以通過(guò)同樣的方法得到。通過(guò)式（7）以及定子相位差的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以得到β與各個(gè)定子的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖7所示。由圖7可以看到，定子相位差θ與β角的對(duì)應(yīng)關(guān)系并不連續(xù)，這是由于調(diào)相時(shí)電機(jī)存在運(yùn)行死區(qū)。

2.2 驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)

2自由度超聲波電機(jī)驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)由PWM控制電路、驅(qū)動(dòng)電路、位置檢測(cè)和信號(hào)處理電路這四部分構(gòu)成。其中PWM控制電路主要完成反饋信號(hào)的采集，以及PWM波形的輸出。驅(qū)動(dòng)電路通過(guò)光耦和推挽電路將PWM信號(hào)放大并驅(qū)動(dòng)電機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)。位置檢測(cè)把球轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)角度通過(guò)光柵轉(zhuǎn)化為正弦信號(hào)輸出。信號(hào)處理電路將光電編碼器輸出的信號(hào)濾波、放大、整形，使電機(jī)的位置輸出信號(hào)能被控制電路采集。

（1）PWM控制電路

PWM控制電路采用TI公司的TMS320F28335作為PWM發(fā)生和反饋信號(hào)采集的控制芯片。

（2）驅(qū)動(dòng)電路

驅(qū)動(dòng)電路將PWM信號(hào)放大，輸入到推挽電路中，再對(duì)電機(jī)進(jìn)行阻抗匹配，關(guān)于驅(qū)動(dòng)電路，可參考文獻(xiàn)［13］，這里就不再作相應(yīng)介紹。

（3）位置檢測(cè)

電機(jī)的位置檢測(cè)包括電機(jī)本體、柵輪、膠質(zhì)滾球等組成，如圖8所示。位置檢測(cè)機(jī)構(gòu)上的碼盤齒數(shù)n＝45，碼盤細(xì)桿直徑d＝2 mm，球轉(zhuǎn)子直徑D＝40 mm。因此位置檢測(cè)機(jī)構(gòu)x、y兩個(gè)方向上的精度δ可以達(dá)到

光電信號(hào)輸出電路輸出四路方波，通過(guò)測(cè)量方波信號(hào)及其順序就可以得到電機(jī)轉(zhuǎn)子的相應(yīng)位置。

圖8 檢測(cè)機(jī)構(gòu)示意圖Fig．8 Diagram of detection mechanism

（4）信號(hào)處理電路

光電編碼器輸出方波信號(hào)，幅值只有1 V左右，而且還伴隨著大量的諧波干擾。為此需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行放大、濾波和整形。電路如圖9所示。

圖9 信號(hào)處理電路Fig．9 Circuit of signal processing

若只采用相位差控制，當(dāng)β為60°時(shí)，3個(gè)定子兩相的相位差分別為45°、45°和 －90°。圖 10（a）是 x軸和y軸編碼器的運(yùn)行轉(zhuǎn)速。從圖10（a）可以看到，編碼器運(yùn)行較為平穩(wěn)，其中x軸編碼器的轉(zhuǎn)速波動(dòng)在8．5%以內(nèi)，而y軸的轉(zhuǎn)速波動(dòng)在5%以內(nèi)。通過(guò)x軸和y軸編碼器的轉(zhuǎn)速可以得到β的實(shí)際值。圖10（b）是β的設(shè)定值和實(shí)際值，可以看到β設(shè)定值和實(shí)際值之間最大相差 8°。

表1是設(shè)定β后對(duì)應(yīng)的3個(gè)定子的角速度ωs1、ωs2、ωs3的比例關(guān)系和每個(gè)定子的相位差。圖11是設(shè)定β和3個(gè)定子兩相的相位差后電機(jī)的開(kāi)環(huán)運(yùn)動(dòng)軌跡。

實(shí)驗(yàn)時(shí)，球轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)用轉(zhuǎn)子表面某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡描述，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，具體的運(yùn)動(dòng)位置直接采用光電編碼器的脈沖數(shù)表示，如設(shè)定沿直線運(yùn)動(dòng)，直線的邊界位置分別為（60，100），（－60，100），（－60，－100）和（60，－100），實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡如圖11所示，圖中虛線表示設(shè)定軌跡，實(shí)線為電機(jī)實(shí)際運(yùn)行軌跡。由圖11可以得到，不同β下實(shí)際運(yùn)行軌跡與設(shè)定值之間存在一定誤差，其中β為60°時(shí)，誤差較大，達(dá)到8°；β為180°時(shí)，誤差較小，只有4°。

圖10 轉(zhuǎn)速與β情況Fig．10 Speed and changing ofβ

表1 不同β下定子1、2、3的相位差Tab．1 Phase-difference of stator 1、2、3 with differentβ

圖11 電機(jī)開(kāi)環(huán)運(yùn)動(dòng)軌跡Fig．11 Trajectory ofmotion by open loop control

2．3 閉環(huán)控制方法

從前面的結(jié)果可以知道，開(kāi)環(huán)控制中β誤差較大。對(duì)于軌跡控制而言，需要對(duì)電機(jī)進(jìn)行閉環(huán)控制，才能實(shí)現(xiàn)良好的軌跡跟蹤。

圖12 軌跡閉環(huán)控制原理圖Fig．12 Diagram of trajectory by closeloop control

如圖12所示，假設(shè)電機(jī)轉(zhuǎn)子上某點(diǎn)初始位置為O，目標(biāo)位置設(shè)為P，通過(guò)前面的結(jié)果可以知道，使用開(kāi)環(huán)控制達(dá)不到理想的控制效果，為此采用分段逐點(diǎn)比較法來(lái)實(shí)現(xiàn)電機(jī)的軌跡控制。

假設(shè)在初始位置，O點(diǎn)與電機(jī)圓心重合，運(yùn)行到目標(biāo)位置P所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)矢量與x軸的夾角為β。通過(guò)式（7）可確定3個(gè)定子的兩相相位差。由于開(kāi)環(huán)控制的誤差，當(dāng)電機(jī)運(yùn)行到P1點(diǎn)，其中圓心到P1點(diǎn)與x軸的夾角為 α1，則

當(dāng)e（k）≤0，需要減少轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)矢量與x軸之間的夾角，并通過(guò)式（7）確定各定子的兩相相位差。當(dāng)e（k）＞0時(shí)，需要增加轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)矢量與x軸之間的夾角，并通過(guò)式（7）確定各定子的兩相相位差。當(dāng)目標(biāo)位置P坐標(biāo)與電機(jī)實(shí)際運(yùn)動(dòng)位置Pi坐標(biāo)符合（ε為設(shè)定閾值）時(shí)認(rèn)為電機(jī)到達(dá)指定位置，完成閉環(huán)軌跡控制。

由于超聲波電機(jī)運(yùn)行時(shí)存在一定的非線性，傳統(tǒng)的PID控制效果較差，我們采用了文獻(xiàn)［16］的神經(jīng)元PID算法對(duì)電機(jī)進(jìn)行控制。神經(jīng)元學(xué)習(xí)控制所需要的狀態(tài)量為 x1（k）、x2（k）、x3（k）。這里，x1（k）、x2（k）、x3（k）分別定義為

神經(jīng)元輸出u（k）

上式中 k為神經(jīng)元的比例系數(shù)，k＞0，w1（k）、w2（k）、w3（k）為神經(jīng)元對(duì) x1（k）、x2（k）、x3（k）的權(quán)重系數(shù)。權(quán)重系數(shù)的調(diào)整規(guī)則見(jiàn)文獻(xiàn)［16］。

通過(guò)式 （11）和式（7）相位差的計(jì)算公式可以求得電機(jī)兩相的相位差，對(duì)應(yīng)的主程序流程如圖13所示。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

由于電機(jī)運(yùn)行過(guò)程中容易產(chǎn)生位移抖動(dòng)現(xiàn)象，會(huì)產(chǎn)生較大的誤差變化率，因此在神經(jīng)元PID控制算法里假定w3＝0，即采用PI調(diào)節(jié)。

圖13 主程序流程圖Fig．13 Themain program flow chart of software

圖14是閉環(huán)控制下β與相位差的變化情況，其中β設(shè)定為60°。從圖14（a）可以看到，閉環(huán)控制下，穩(wěn)定后的β為59．88°，穩(wěn)定時(shí)間大約為0．8 s。其中各定子兩相相位差的變化情況如圖14（b）所示。隨著時(shí)間的增加，定子1兩相相位差先增大后減少，定子2兩相相位差先減少后增加，定子3兩相相位差基本保持不變。

圖14 電機(jī)閉環(huán)運(yùn)行情況Fig．14 Case when closeloop control

圖15是設(shè)定目標(biāo)位置后電機(jī)的閉環(huán)控制曲線。從圖中可以看到，在閉環(huán)控制中，電機(jī)運(yùn)行曲線基本上能夠跟蹤設(shè)定曲線，從而實(shí)現(xiàn)較好的軌跡跟蹤控制。

圖15 閉環(huán)控制曲線Fig．15 Trajectory ofmotion when closeloop control

表2是軌跡閉環(huán)控制時(shí)的情況。從表2可以看出，閉環(huán)控制下電機(jī)x軸和y軸的脈沖位置誤差控制分別控制在2個(gè)脈沖以內(nèi)，由于我們使用的碼盤齒數(shù)較少，使得對(duì)應(yīng)x軸和y軸的角度誤差絕對(duì)值在0．8°以內(nèi)。若使用碼盤齒數(shù)更多的編碼器，則可以達(dá)到更高的精度。

表2 閉環(huán)控制情況Tab．2 Closeloop control

若設(shè)定電機(jī)沿四邊形直線運(yùn)動(dòng)，四邊形的位置（以脈沖計(jì)數(shù)）分別為（－100，－100），（100，－100），（100，100），（－100，100），電機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí)實(shí)際的位置分別為（－99，－98），（99，－98），（99，99），（－98，98），得到的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡如圖16所示。圖中可以看到實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡的位置誤差控制在2個(gè)脈沖以內(nèi)，誤差不超過(guò)2%，可實(shí)現(xiàn)較好的軌跡跟蹤。

圖16 四邊形軌跡Fig．16 Quadrilateral trajectory ofmotion

4 結(jié) 論

本文通過(guò)分析轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)矢量和x軸夾角β與定子相位差的對(duì)應(yīng)關(guān)系，提出了一種二自由度超聲波電機(jī)的軌跡控制策略。實(shí)驗(yàn)證明使用神經(jīng)元PID控制方法對(duì)電機(jī)實(shí)行軌跡閉環(huán)控制后，電機(jī)運(yùn)行曲線對(duì)應(yīng)的x軸和y軸的角度誤差控制在2個(gè)脈沖以內(nèi)。

本文提出的軌跡控制方法不僅為多自由度超聲波球電機(jī)的姿態(tài)控制奠定了基礎(chǔ)，而且為多自由度超聲波球電機(jī)的位置／速度伺服研究提供了一種思路。

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