郭 進(jìn)，王君杰，董正方

（同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點實驗室，上海 200092）

基于性能的抗震設(shè)計理論是Bertero等［1－2］首先提出的。這種思想已廣泛被接受，并得到日益深入的研究和應(yīng)用，在實踐中也已取得巨大的成功。基于性能的抗震設(shè)計要求較為準(zhǔn)確地計算結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)，并對結(jié)構(gòu)各構(gòu)件的性能做出合理的評價。但是目前國內(nèi)外規(guī)范［3－6］一般都將鋼筋混凝土橋墩的地震反應(yīng)計算和性能評估分開，其基本設(shè)計思想是D＜C，即需求小于能力。這種不考慮地震反應(yīng)與能力相互作用，強行將反應(yīng)與能力獨立開來的設(shè)計方法是不準(zhǔn)確的，與鋼筋混凝土的材料特性和基本的力學(xué)知識不符。導(dǎo)致這種不符原因有未考慮動軸力現(xiàn)象、未考慮雙向彎曲現(xiàn)象、未考慮強度退化現(xiàn)象。針對這一問題，本文著重考慮損傷導(dǎo)致的強度退化現(xiàn)象。

鋼筋混凝土橋墩是帶損傷工作的，基于性能的抗震設(shè)計方法允許結(jié)構(gòu)在較大地震作用下產(chǎn)生損傷。一般情況下，其能力（強度等）會隨著損傷的發(fā)展而降低。強度退化程度與地震反應(yīng)大小是相關(guān)的，在反應(yīng)計算中，需要不斷地根據(jù)反應(yīng)確定強度退化的大小，即不斷地對能力進(jìn)行修正。能力的改變又會繼續(xù)影響反應(yīng)的大小，因此，能力與反應(yīng)是相互耦合的。

從以上可以看出，為了準(zhǔn)確地反映構(gòu)件在地震作用時的特性，需要考慮損傷導(dǎo)致的強度退化，即考慮地震反應(yīng)對構(gòu)件能力的影響。本文將給出具體的考慮強度退化方法，提出鋼筋混凝土橋墩考慮反應(yīng)與能力相互作用的方法和設(shè)計流程，最后通過算例說明所提方法的可行性。

1 強度退化的考慮方法

可以采用兩種方式考慮強度退化［7］，它們均以再加載曲線指向峰值點的滯回模型為基礎(chǔ)。第一種通過改變滯回模型的骨架曲線（圖1（a）），第二種通過改變再加載指向點的承載力或變形來反映強度退化（圖1（b））。圖1中F是橫向力，u是橫向位移。圖1（a）中是正向再指向點的屈服力，2）是負(fù)向向再指向點的屈服力。圖1（b）中是正向力再加載指向點的位移增量，p是正向力的退化大小是負(fù)向力的退化大小。從現(xiàn)有研究文獻(xiàn)來看，第一種方式應(yīng)用較多，如Wang等［8］提出的強度退化模型便屬于第一種方式。

圖1 指向峰值點的滯回模型的強度退化示意圖Fig．1 Strength deterioration in peak oriented model

本文采用圖1（a）所示的通過改變滯回模型的骨架曲線的方式考慮強度退化現(xiàn)象。

1.1 強度退化的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式

鋼筋混凝土強度退化的機理較為復(fù)雜，但一般可以認(rèn)為鋼筋混凝土的強度退化與其損傷緊密相關(guān)。所以從邏輯來講，可以建立強度退化與損傷指標(biāo)之間的關(guān)系。文獻(xiàn)［9］中通過已有的強度退化模型，總結(jié)出了一般的改變骨架曲線的強度退化滯回模型（圖1（a））的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

式中，S為退化后的強度值，可以是力或彎矩等；S0為發(fā)生強度退化前的強度；f（D）為強度退化函數(shù)，與構(gòu)件的特征有關(guān)。

損傷尚未發(fā)生時，不發(fā)生強度退化，即當(dāng)D＝0時，ΔS＝0，代入式（2）可得

另外，退化后的強度不能超過初始強度，也不能為負(fù)值，即有0≤S≤S0，代入式（1）可得

式（4）是強度退化函數(shù)f（D）的邊界條件。

從式（2）可以看出，確定強度退化本質(zhì)上歸結(jié)為確定強度退化函數(shù)f（D）。

1.2 強度退化模型的建立

目前廣泛用于模擬鋼筋混凝土的滯回模型有：雙線型模型、Clough模型［10］、Takeda模型［11］等。以上 3種模型都沒有考慮強度退化現(xiàn)象，其中雙線型模型不能考慮剛度退化。Clough模型相對簡單，本文以Clough模型為基礎(chǔ)，通過改變滯回模型的骨架線來體現(xiàn)強度退化，如圖2所示，M為彎矩，θ為轉(zhuǎn)角，k1、k2分別是初始剛度和強化剛度。圖 2中，Myi（i＝1，2，3，4）是考慮強度退化后的屈服彎矩。My為屈服彎矩。

圖2 考慮強度退化的Clough滯回模型Fig．2 Cloughmodel considering strength degradation

滯回模型的滯回規(guī)則為：① 首次加載時按骨架曲線前進(jìn)；② 任何時候的卸載剛度與屈服前加載剛度相同；③ 在卸載階段再加載時，將沿著卸載線加載，直至卸載開始點，如圖2中，當(dāng)從點13加載至點14后卸載至點15，再加載路徑為15→14→16；④ 反向加載指向點為所指方向的最大位移點。如圖2中，由點9反向加載時，指向最大位移點10，點10與點5的曲率相同，是點5考慮強度退化后的點。但是有一個例外，當(dāng)所指方向尚未屈服時，則指向屈服點。如圖2中3→4，其中4點為考慮強度退化后的屈服點。

將式（1）應(yīng)用于此處考慮強度退化的Clough滯回模型，其強度退化關(guān)系為：

式中，Di是指向Myi某一時刻的損傷值。在確定式（5）中強度退化關(guān)系之前，需要確定彎矩－轉(zhuǎn)角層面的損傷指標(biāo)。

2 累積損傷模型

評價鋼筋混凝土構(gòu)件的損傷模型可以分為4種：① 非累積損傷模型；② 基于變形的累積損傷模型；③基于能量的累積損傷模型；④ 基于變形和能量的混合損傷模型。試驗現(xiàn)象表明，鋼筋混凝土構(gòu)件的損傷與耗能和變形都有關(guān)系，而且損傷具有累積效應(yīng)，因此第4種類型的損傷模型具有更好的適用性。其中廣為應(yīng)用的是Park等［12－13］提出的變形與能量混合的損傷模型：

式中，δm為最大位移，δu為構(gòu)件的極限位移，β為組合系數(shù)，d E為耗能增量，F(xiàn)y為屈服力。Park-Ang模型有兩個缺點：① 上下界不收斂；② 沒有考慮不同變形幅值下相同耗能所造成的損傷不同的試驗現(xiàn)象。針對這兩個問題，王東升等［14］提出了改進(jìn)的Park-Ang模型：

其中βi是能量加權(quán)因子，與加載路徑有關(guān)，δy為屈服位移。

Park-Ang模型是以力－位移關(guān)系為基礎(chǔ)的。Kun-nath等［15］以 Park-Ang模型為基礎(chǔ)，去掉可恢復(fù)變形，建立了彎矩－曲率損傷模型：

式中，θm是最大轉(zhuǎn)角反應(yīng)，θr是可恢復(fù)的轉(zhuǎn)角變形，θu是極限轉(zhuǎn)角變形，My是屈服彎矩，ET是耗能，β是強度退化函數(shù)。

文獻(xiàn)［16］中以Park-Ang模型為基礎(chǔ)，參考王東升等人的改進(jìn)，提出了彎矩－轉(zhuǎn)角層面的損傷模型為：

式（9）在文獻(xiàn)［16］中可以被用于評價考慮三維受力（動軸力和雙向彎曲）構(gòu)件。本文考慮定軸力和單向彎曲的情況，式（9）各參量的計算可以由文獻(xiàn)［16］中的計算方法簡化得來。式（9）中，第一項為位移項損傷，第二項為耗能項損傷。β為組合系數(shù)。μ—θ，max是最大規(guī)格化轉(zhuǎn)角延性系數(shù)。按式（10）計算，其中 θy、θu、θm分別為屈服轉(zhuǎn)角、極限轉(zhuǎn)角和最大轉(zhuǎn)角（取絕對值）：

式（9）中d Ep是塑性耗能增量，按式（11）計算，其中是彎矩－轉(zhuǎn)角關(guān)系的彈性剛度：

式（9）中Emon（θ）是單調(diào)加載至破壞時的塑性耗能。本文不考慮強化剛度，按理想彈塑性計算，Emon（θ）可以簡化為：

式（9）中 αmax是耗能修正項，按式（13）計算：

式（13）中，β1∈［0，＋∞）為耗能修正項的指數(shù)，為常數(shù)；β2∈［0，＋∞），為常數(shù)。

至此，可以看出，式（9）有三個模型參數(shù) β、β1、β2，其中 β1、β2滿足下式［16］：

參數(shù)的取值如下：β＝0．1，β1＝1．5，β2＝2．5。性能狀態(tài)的劃分如表1所示：

表1 性能狀態(tài)的劃分Tab．1 Classification of performance state

與Park-Ang模型相比，式（9）所示的損傷模型解決了上下界收斂問題，保證了損傷值單調(diào)不減的特征。因此本文采用此模型作為式（5）所示強度退化函數(shù)中的損傷指標(biāo)。

3 地震反應(yīng)與能力相互作用

國內(nèi)外規(guī)范［3－6］中規(guī)定的地震反應(yīng)計算和驗算并未考慮反應(yīng)與能力的相互作用。延性驗算時，要求構(gòu)件的變形延性滿足既定的性能要求，并未考慮強度退化對構(gòu)件能力的影響。其地震反應(yīng)計算和驗算流程如圖3所示。

不考慮能力與反應(yīng)相互作用的方法并不能準(zhǔn)確地計算構(gòu)件的地震反應(yīng)，也不能準(zhǔn)確地評價構(gòu)件的損傷程度。第1節(jié)建立了強度退化的考慮方法，這可以用于計算過程中根據(jù)反應(yīng)的大小，確定由于強度退化導(dǎo)致的構(gòu)件能力的降低。第2節(jié)確定了累積損傷模型，這一指標(biāo)可以用在強度退化函數(shù)中以評價強度退化的程度，同時也可以用于評估構(gòu)件的破壞程度，為性能設(shè)計提供直接的定量標(biāo)準(zhǔn)?？梢钥偨Y(jié)出考慮能力與反應(yīng)相互作用的地震反應(yīng)計算與驗算流程，如圖4所示。

圖3 不考慮能力與反應(yīng)相互作用的設(shè)計方法Fig．3 Design method without consideration of interaction between ability and response

圖4 考慮能力與反應(yīng)相互作用的設(shè)計方法Fig．4 Designmethod with consideration of interaction between ability and response

從上圖可以看出，考慮能力與反應(yīng)相互作用時，能力會隨著地震反應(yīng)的變化而變化。在考慮能力與反應(yīng)相互作用的方法中，性能評價需要在計算反應(yīng)的過程中同步進(jìn)行，因為能力的降低是與損傷程度相關(guān)的。計算完成時，構(gòu)件的損傷值也已計算完成，進(jìn)而可以直接評估構(gòu)件的性能。

上述過程可以在有限元程序中實現(xiàn)，若非線性迭代計算采用Newton-Raphson方法，其實現(xiàn)的基本流程如圖5所示。其中灰底斜體字方框為考慮能力與反應(yīng)相互作用方法所特有的。若采用的是彎矩－轉(zhuǎn)角（例如式（9）所示的形式）或彎矩－曲率層面的損傷模型，那么這些特有的步驟都是在單元內(nèi)部實現(xiàn)的，對整個有限元程序的框架沒有影響，這將給有限元程序的編寫或者二次開發(fā)帶來方便。

圖5 考慮能力與反應(yīng)相互作用的有限元流程圖（修正的Newton-Raphson方法）Fig．5 Finite-Element Process with consideration of interaction between ability and response（Modified Newton-Raphson Mathod）

4 方法驗證

第3節(jié)介紹了考慮地震反應(yīng)與能力相互作用的考慮方法和有限元程序?qū)崿F(xiàn)途徑。這一節(jié)將介紹上述方法進(jìn)行驗證。在Opensees2．0．0版本源代碼基礎(chǔ)上進(jìn)行二次開發(fā)，增加了能夠考慮強度退化的塑性鉸單元。

4．1 骨架曲線下降段的實現(xiàn)

以一個懸臂柱為例，柱頂施加單調(diào)增加的位移荷載，柱底設(shè)置一個塑性鉸。其彎矩－轉(zhuǎn)角骨架曲線如圖6所示，其強化系數(shù)約為1%。

圖6 彎矩轉(zhuǎn)角骨架曲線Fig．6 Skeleton curve of Moment-Rotation

若其強度退化函數(shù)的定義為：

強度退化函數(shù)的圖示如下圖所示：

圖7 強度退化函數(shù)的取值Fig．7 Value of strength degradation function

計算得到的損傷值D和強度退化函數(shù)值f（D）與轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系如圖8所示：

計算得到的彎矩－轉(zhuǎn)角關(guān)系如圖9所示：

圖8 損傷值D和強度退化函數(shù)值f（D）與轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系Fig．8 The relationship between damage，strength degradation function and rotation

圖9 彎矩－轉(zhuǎn)角關(guān)系Fig．9 The relationship ofmoment-rotation

比較圖6和圖9可以發(fā)現(xiàn)，雖然骨架曲線是雙線性的，沒有負(fù)剛度段，但是考慮反應(yīng)與能力的相互作用，通過定義合適的強度退化函數(shù)也可以實現(xiàn)類似于考慮強度退化的骨架曲線。在數(shù)值計算中，骨架曲線的負(fù)剛度段可能帶來非線性求解方面的困難，本文所提的這種方式從一定程度上可以避免這種困難。

4．2 試驗驗證

Takemura和 Kawashima（1997）［17］進(jìn)行的一組試驗（試件編號為TP001～TP006）。該組試驗6個試件的尺寸與配筋構(gòu)造均完全相同。試件為鋼筋混凝土懸臂柱。如圖10所示，截面尺寸為400 mm×400 mm，截面有效高度h0＝360 mm，加載點至地梁頂面距離L＝1 245 mm，剪跨比為3．46?；炷翉姸燃s為35 MPa，縱筋采用D13鋼筋，屈服強度363 MPa，全部縱筋配筋率為1．58%。箍筋采用D6鋼筋屈服強度為368 MPa，箍筋間距為70 mm，配箍率為0．57%。試驗時柱頂施加157 kN的軸壓力，軸壓比約為2．89%。

圖10 試件和斷面Fig．10 Test specimen and cross section

6個試件的加載路徑均不相同，均采用位移控制，其加載模式如圖11所示。

針對這組試驗，文獻(xiàn)［9］中確定了強度退化函數(shù)的簡單形式：

式（16）中，λ為強度退化系數(shù)，取為 0．8。式（16）所示的強度退化函數(shù)采用了簡單的線性形式，只有一個參數(shù)，易于確立。

各試件的試驗結(jié)果與本文的數(shù)值模擬結(jié)果比較如圖12所示，為了顯示是否考慮反應(yīng)與能力相互耦合對數(shù)值模擬結(jié)果的影響，分別列出了考慮強度退化和不考慮強度退化的數(shù)值計算結(jié)果。其中“數(shù)值模擬結(jié)果1”是考慮強度退化的結(jié)果，“數(shù)值模擬結(jié)果2”是不考慮強度退化的結(jié)果。圖中的彎矩－轉(zhuǎn)角的試驗結(jié)果是根據(jù)力－位移的試驗結(jié)果轉(zhuǎn)化而來。

圖11 加載路徑Fig．11 Loading Hystereses

從圖12中可以看出：

（1）雖然TP001～TP006的加載方式各異，但是總體來說，數(shù)值模擬結(jié)果1即考慮強度退化的結(jié)果與試驗結(jié)果較為接近，這說明，對于試件TP001～TP006來說，式（16）所示的強度退化函數(shù)式是合適的，同時也說明本文考慮反應(yīng)與能力相互作用的方式是可行的。

（2）數(shù)值模擬結(jié)果2即不考慮強度退化的結(jié)果與試驗結(jié)果差別較大，這說明在某些情況下，不考慮損傷導(dǎo)致的強度退化將給數(shù)值模擬帶來較大的誤差。

5 結(jié) 論

本文首先說明了計算鋼筋混凝土橋墩地震反應(yīng)中考慮反應(yīng)與能力相互作用的必要性，建立了考慮強度退化的方法。然后提出了考慮地震反應(yīng)與能力相互作用的初步的設(shè)計流程和有限元程序的實現(xiàn)流程。最后通過兩個方面的實例對本文方法進(jìn)行了驗證，主要成果有：

（1）提出了計算鋼筋混凝土橋墩地震反應(yīng)中考慮反應(yīng)與能力相互作用的初步的設(shè)計流程和有限元程序的實現(xiàn)流程。

（2）結(jié)果表明，本文方法能夠?qū)崿F(xiàn)鋼筋混凝土橋墩骨架曲線的負(fù)剛度段，從而避免數(shù)值計算上的困難；

圖12 文獻(xiàn)［17］中試驗結(jié)果和本文數(shù)值模擬結(jié)果Fig．12 Experimental results in Literature［17］and numerical results in this paper

（3）與試驗結(jié)果的比較可以發(fā)現(xiàn)，本文方法能夠較好地模擬鋼筋混凝土橋墩不同加載模式下的試驗現(xiàn)象。

以上結(jié)論表明，針對鋼筋混凝土橋墩，本文所提出的考慮地震反應(yīng)與能力相互作用的辦法是可行的。

反應(yīng)對能力的影響是多方面，除了本文重點討論的強度退化現(xiàn)象之外，還有動軸力和雙向彎曲現(xiàn)象。對于沿兩個主軸方向的彎曲特性不相同的截面來說，空間轉(zhuǎn)動的方向也會影響其能力的大小。另外，橋墩的非線性轉(zhuǎn)動能力會隨著軸力的變化而變化。因此全面地考察反應(yīng)對能力的影響，還需要進(jìn)一步考慮雙向彎曲和動軸力的因素，本文的考慮辦法和流程對這兩種因素也是適用的。

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