劉 韜，陳 進，董廣明

(1.昆明理工大學(xué) 機電工程學(xué)院，昆明 650500;2.上海交通大學(xué) 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240)

軸承作為旋轉(zhuǎn)設(shè)備的關(guān)鍵部件，其故障是造成旋轉(zhuǎn)機械故障的主要原因之一。因此，對軸承振動信號的狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷一直是設(shè)備維護的重要研究領(lǐng)域［1］。當(dāng)軸承故障發(fā)生時，首先需要從監(jiān)測信號提取特征;然后對特征進行識別，判斷故障類型［2］。

各種特征提取方法從不同角度描述了軸承狀態(tài)的變化，通?？傁Ｍ@取盡可能多的特征參數(shù)，但是特征維數(shù)的增加也會降低故障識別模型的效率。為了降低特征間的相關(guān)性，提高計算效率，很多特征約減方法諸如 PCA［3］、LPP［4］等已被引入軸承的故障診斷。但這些約減算法都屬于線性映射算法，而軸承的振動信號具有非線性［5］，因此本文采用核主成分分析(Kernel Principal Component Analysis，KPCA)對提取的多維特征進行約減，在盡可能保留特征信息的基礎(chǔ)上，降低特征樣本的維數(shù)。隱馬爾可夫模型(Hidden Markov Model，HMM)由于具有的雙隨機特性，因此被廣泛用于軸承和齒輪等設(shè)備的故障診斷［6－7］。Brain等提出的耦合隱馬爾可夫模型(Coupled Hidden Markov model，CHMM)［8］是對HMM的擴展，它描述了兩個或多個相互關(guān)聯(lián)的隨機過程統(tǒng)計特性。本文在KPCA特征約減的基礎(chǔ)上，利用CHMM對多通道數(shù)據(jù)的信息融合能力，研究了多鏈的CHMM在軸承故障診斷中的應(yīng)用。最后通過實驗驗證了提出方法的可行性與有效性。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 核主成分分析

假設(shè)原始數(shù)據(jù)x共有l(wèi)個樣本，可以定義非線性映射 ，:xi→(xi)，i=1，…l，將數(shù)據(jù)從原始空間 Rn映射到高維空間F。然后對高維空間中的數(shù)據(jù)φ(x)進行主成分分析，假設(shè)(x)均值為零，即=0，則(x)的協(xié)方差矩陣可表示為:

根據(jù)主成分分析原理，對矩陣C求解特征值和特征向量，可以得到下式:

式中，λ為C的特征值，V為C的特征向量。

將F空間中的每個樣本與式(2)做內(nèi)積，可以得到:

因為特征向量可以由數(shù)據(jù)集線性表示，所以有:

因此，通過求解(7)能得到K的特征值和對應(yīng)的特征向量，然后就可以根據(jù)式(4)求得C的特征向量V，從而得到映射空間F的主元方向。

將K對角化，特征值為λ1≥λ2≥…≥λl，并將對應(yīng)的特征向量［α1，α2，…αl］ 進行歸一化，定義 p為主分量的數(shù)量。則有:

KPCA在輸入空間僅依賴于輸入樣本空間的距離和內(nèi)積，因此特征值及其約減只依賴于核函數(shù)及參數(shù)的選擇。常用的核函數(shù)包括多項式核函數(shù)、多層感知器核函數(shù)和高斯徑向基核函數(shù)等。由于支持向量對于不同的方法具有不敏感性［9］，即選用不同的核函數(shù)分類結(jié)果互相接近。因此，為簡化計算，本文選用高斯徑向基核函數(shù)(RBF):

式中σ是寬度參數(shù)。在使用RBF進行KPCA分析時，較小的σ會引起過渡擬合，降低分類的泛化性能;而較大的σ會把核簡化為一個常數(shù)函數(shù)，導(dǎo)致核函數(shù)變成平凡分類器。因此，本文引入了基于類內(nèi)類間距離的核函數(shù)優(yōu)選方法［10］，即尋找一個σ使得KPCA分類后的各個特征類的類內(nèi)距離最小并且特征類間的距離最大［11］:

式中，SB是特征類的類間距離，SW各個特征類的類內(nèi)距離。

1.2 耦合隱馬爾耦合可夫模型

HMM是一個雙重隨機過程，即狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移和各狀態(tài)下的觀測值都是隨機的。假定狀態(tài)序列和序列分別S和O，Rabiner［12］將一個HMM可以定義為:

其中，π=P(q1=Si)，1≤i≤N是初始狀態(tài)概率向量，q1是t=1時刻，狀態(tài)為Si的概率。A={aij］是狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，定義了t時刻狀態(tài)為Si轉(zhuǎn)移到t+1時刻狀態(tài)為Sj的概率。B={bj(k)］是觀測值概率矩陣，定義了t時刻，狀態(tài)為Sj時觀測值是vk的概率。

CHMM可以被認為是多個HMM通過在它們的狀態(tài)序列間引入條件概率而得到的一種多鏈模型。圖1描述了一個的雙鏈的CHMM。

圖1 雙鏈的CHMMFig.1 A CHMM with two chains

CHMM同樣可以被記為λ=(π，A，B)，但鏈c在t時刻的狀態(tài)不但依賴于同鏈t－1時刻的狀態(tài)，而且也與耦合鏈t－1時刻的狀態(tài)有關(guān)，即狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率是P(|qt－1)。但是鏈c的觀測值僅與該鏈同一時刻的狀態(tài)有關(guān)，因此有P(|qt－1)。如果CHMM的觀測值序列和隱藏狀態(tài)序列分別是{，，…，］和{，q，…，］，則式(15)中的各個參數(shù)可以定義為:

其中，c是鏈的數(shù)目，qt是時刻t時的狀態(tài)。以雙鏈CHMM 為例，c∈［1，2］，qt={，］。由于振動信號是連續(xù)的，通常使用高斯混合模型來擬合每條鏈在各個狀態(tài)下的觀測值概率密度函數(shù):

式中是鏈c在狀態(tài)的高斯元個數(shù)。和分別是第m個高斯元在狀態(tài)的混合系數(shù)、均值向量和協(xié)方差矩陣。

1.3 基于核主成分分析和耦合隱馬爾可夫模型的軸承故障診斷

基于KPCA特征約減和CHMM的軸承故障診斷過程如圖2所示，具體步驟如下:

(1)對各個通道的訓(xùn)練和測試數(shù)據(jù)分別提取的多維特征。

(2)計算高斯核主元的最優(yōu)參數(shù)并利用KPCA對訓(xùn)練和測試數(shù)據(jù)的特征維數(shù)進行約減，生成新的核主成分訓(xùn)練和測試樣本。

(3)對訓(xùn)練數(shù)據(jù)不同狀態(tài)下的樣本分別訓(xùn)練CHMM并保存到模型庫中。本文利用軸承在正常(NC)、內(nèi)圈故障(IRF)、外圈故障(ORF)和滾動體故障(RBF)下的數(shù)據(jù)分別訓(xùn)練單個CHMM并組成模型庫，即:λNC、λIRF、λORF和 λRBF。

(4)將測試樣本送入CHMM模型庫，分別計算樣本在不同模型下的概率P(O|λi)，其中概率最大者就是測試樣本的狀態(tài)，即

其中L=4，表示軸承有四種狀態(tài)。

圖2 基于KPCA和CHMM軸承故障診斷流程圖Fig.2 Scheme of bearing fault diagnosis using KPCA and CHMM

2 實驗分析

2.1 實驗裝置

為驗證KPCA和CHMM在軸承故障診斷中的效果，本文利用圖3所示的ZST－1軸承試驗臺分別采集了不同狀態(tài)下的軸承振動信號。

試驗軸承安裝在轉(zhuǎn)軸上，內(nèi)圈隨轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，外圈被裝夾裝置固定，軸承在水平和垂直方向的振動信號分別被兩個Kistler8791A250加速度傳感器獲取，然后通過NI 9234數(shù)據(jù)采集卡同步采集這兩個通道的振動信號，采集程序使用NI LabVIEW編寫。兩個通道數(shù)據(jù)的采樣頻率都是25.6 kHz。實驗軸承的型號是GB203深溝球軸承，具體參數(shù)如表1所示。試驗?zāi)M了軸承在正常狀態(tài)和三種局部點蝕故障:內(nèi)圈故障、外圈故障和滾動體故障的運行狀況。其中，三種故障利用電火花在相應(yīng)的表面上分別加工得到。試驗一共采集了120組數(shù)據(jù)，每種狀態(tài)各30組，每一組數(shù)據(jù)的時長是0.8 s。以通道一的一組數(shù)據(jù)為例，各種狀態(tài)下軸承的時域波形如圖4所示。

表1 GB203單列深溝球軸承的主要參數(shù)和工作條件Tab.1 Parameters and operating conditions of bearing GB203

圖4 軸承四種狀態(tài)下的時域波形Fig.4 Time wave of bearing in four status

2.2 特征提取和約減

為了識別軸承故障，本文提取了11個時域和頻域的特征并進行特征約減，包括:有效值、峰峰值、零峰值、歪度指標、峭度指標、峰值指標、裕度指標、脈沖指標、波形指標、譜總值和幅值譜熵。

以通道一的數(shù)據(jù)為例，將采集到的120組數(shù)據(jù)分為訓(xùn)練和測試數(shù)據(jù)。各狀態(tài)下隨機選擇40%的數(shù)據(jù)作為該狀態(tài)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，其余60%作為測試數(shù)據(jù)。對各組數(shù)據(jù)提取11個特征，可以得到訓(xùn)練特征矩陣和測試特征矩陣。然后利用KPCA對訓(xùn)練特征和測試特征進行約減，核函數(shù)寬度參數(shù)σ的選擇如式(14)所述，以0.1為步長，對 σ∈［0.1，10］內(nèi)的100 點進行優(yōu)化計算，選取最優(yōu)的=1.6。利用KPCA對訓(xùn)練特征和測試特征進行約減，為保證約減后的特征主元貢獻率超過90%，保留了了前3階主元進行分析。圖5(a)和(b)分是訓(xùn)練特征和測試特征約減后的前3個主元的分布?？梢钥吹?，約減后的特征能夠有效的辨識軸承4種不同狀態(tài)下的樣本，可以用于軸承故障的診斷。

圖5 KPCA特征約減結(jié)果Fig.5 The KPCA analysis of bearing data

2.3 診斷結(jié)果

利用KPCA約減后的訓(xùn)練特征分別訓(xùn)練4種狀態(tài)下的CHMM模型，然后對測試特征進行診斷。訓(xùn)練和測試特征進行KPCA約減后的結(jié)果分別記為選取CHMM的參數(shù)如下:耦合鏈數(shù)目c=2，各鏈的狀態(tài)數(shù)N=2，各狀態(tài)下高斯元數(shù)目M=2。為了比較，本文也對利用PCA方法約減后的特征利用單鏈HMM模型進行診斷，其中 HMM的 N=2，M=2。HMM和CHMM的計算結(jié)果用對數(shù)似然率(Log-Likelihood)表示。不同狀態(tài)的測試樣本診斷的準確率如表2所示。為避免單次診斷可能導(dǎo)致的結(jié)果過于樂觀或悲觀，本文采用了5折交叉驗證(Five-fold cross-validation)來估計診斷的準確率。每次隨機選擇各狀態(tài)40%的樣本訓(xùn)練模型，剩余60%的樣本則作為測試樣本計算診斷準確率，一共運行5次，取5次計算平均值作為最終診斷結(jié)果。任一狀態(tài)的樣本單次診斷的準確率可用式(21)進行計算:

其中一次診斷的效果如圖6所示，圖中a－d分別表示測試樣本原本的狀態(tài)分別是 NC，IRF，ORF和RBF。由圖6(a)中可知，NC的測試樣本(編號1－18)除編號3外，其余樣本都是在模型λNC下得到了最大對數(shù)似然率輸出，因此判斷這些樣本為正常狀態(tài)，而編號3的樣本則出現(xiàn)了誤分。同理，IRF和ORF狀態(tài)的樣本全都能被正確診斷，RBF的樣本則出現(xiàn)了兩次誤分(編號63和67)。圖6(b)是利用通道一的KPCA特征和HMM診斷的結(jié)果，除了NC的測試樣本出現(xiàn)了一次誤分(編號3)，其余樣本都能被正確診斷。圖6(c)是利用兩個通道的KPCA約減特征和CHMM的診斷結(jié)果，其中通道一和通道二優(yōu)化后的寬度參數(shù)分別取=1.6 和=1.2。

圖6 不同特征和模型的診斷結(jié)果Fig.6 Diagnosis results using different feature and models

表2 診斷結(jié)果比較Tab.2 Comparison of diagnosis results

表2給出了各種方法對軸承4種狀態(tài)樣本的診斷準確率。可以看到，KPCA的對特征約減的效果好于PCA，通過優(yōu)化KPCA的寬度參數(shù)，可以獲得比較理想的約減特征。由于軸承振動信號的非平穩(wěn)性［13］，利用單通道數(shù)據(jù)和HMM進行分類時，KPCA特征分類的準確率除RBF樣本略低于PCA外，對其余三種狀態(tài)樣本的診斷準確率都高于PCA特征，對全部樣本診斷的平均診斷率也從94.2%提高到了96.9%。這也與KPCA特征約減后聚類效果優(yōu)于PCA一致。同樣使用KPCA特征進行訓(xùn)練和測試，CHMM診斷的準確率明顯高于單通道的HMM(從96.9%提高到了98.9%)，這是由于雙通道數(shù)據(jù)包含更豐富的信息，而CHMM能更準確的描述多通道數(shù)據(jù)間的統(tǒng)計特性。診斷準確率的大幅提高也證明了利用CHMM進行軸承故障診斷的有效性。

3 結(jié)論

由于KPCA可進行隱式的空間映射，省略了空間映射計算的復(fù)雜性，同時可進行非線性的復(fù)雜映射，解決了傳統(tǒng)PCA只能線性映射，無法反應(yīng)數(shù)據(jù)的非線性關(guān)系的缺陷。而CHMM的多鏈結(jié)構(gòu)使得模型能有效的融合多通道數(shù)據(jù)信息，從而獲得比單通道HMM獲取更加準確和可靠的診斷結(jié)果。

本文提出一種基于KPCA和CHMM的軸承故障診斷方法，KPCA能有效的降低特征維度，增強特征的可分能力，而CHMM則充分利用軸承多通道數(shù)據(jù)的豐富信息。實驗結(jié)果表明，所提出的方法比傳統(tǒng)的PCA和HMM能更加有效的診斷軸承的故障。

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