王元生，任興民，鄧旺群，楊永鋒

(1.西北工業(yè)大學(xué) 振動工程研究所，西安 710072;2.中國航空動力機械研究所，湖南 株洲 412002)

在機械故障信號分析中，常常由于實驗條件的限制，使得收集到的混合信號過于復(fù)雜導(dǎo)致在頻域分析中的困難，或者在時域分析中應(yīng)用盲源分離時導(dǎo)致欠定問題的出現(xiàn)。針對從頻域的故障診斷到時域的盲源分離所存在的問題，國內(nèi)外學(xué)者作了眾多工作。Abrard等［1］提出基于多種歸一化峭度的欠定信號盲源分離方法;Araki等［2］針對稀疏源欠定盲源分離，提出了一種新的超過三個非線性傳感器陣信號的聚類算法;Jayaraman等［3］提出兩種算法進(jìn)行聚類的混合信號的估計混合矩陣，來進(jìn)行稀疏信號的欠定盲源分離;Farid等［4］針對欠定的卷積盲分離，提出一種通過估算混合矩陣的技術(shù)實現(xiàn)盲分離，但聚類的求解中對信號的稀疏性要求比較好;李志農(nóng)等［5］提出了一種基于局域均值分解的欠定信號盲源分離方法，但其只檢驗該方法在模擬信號中的效果;程軍勝等［6］提出了一種基于VPMCD和EMD的齒輪故障診斷方法，但EMD技術(shù)還在進(jìn)一步完善。

YAN等［7－8］提出了一種時頻分析的新方法頻率切片小波變換(Frequency Slice Wavelet Transformation，F(xiàn)SWT)，可靈活地實現(xiàn)信號的濾波和分割。可作為一種類“盲源分離”的方法，在處理復(fù)雜信號時還存在不足;段晨東等［9］將FSWT作為時頻分析手段來處理煉油廠齒輪箱摩擦故障信號。對FSWT的分析僅僅在于故障特征，并未對源信號進(jìn)行探究。本文將FSWT與DSS相結(jié)合，首先應(yīng)用FSWT變換和反變換，重構(gòu)出新的混合信號，有效解決欠定盲分離維數(shù)不足的問題，再應(yīng)用DSS分離得到源信號，解決了欠定盲分離問題，同時解決了單獨應(yīng)用FSWT時進(jìn)行時頻分析的不足。算法仿真和應(yīng)用實例驗證了FSWT－DSS方法在實測故障信號分析中的有效性。

1 理論分析

1.1 DSS

去噪源分離(DSS)是 SREL 等［10］提出的一種逐次提取獨立分量的盲分離算法。相對于盲源分離中同時求出分量的期望最大值算法，DSS方法運用預(yù)白化的方法逐次提取混合信號的分量，計算如下:

在算法中，式(1)計算源信號的噪聲估計，w為混合矢量，也為分離矢量;式(2)通過s+定義去噪函數(shù);式(3)完成信號的重估;式(4)完成歸一化。式(2)去噪函數(shù)的選擇是DSS［10］的關(guān)鍵。

譜移動技術(shù)可以提高DSS算法的收斂速度，定義如下:

變量s引入函數(shù)f(s)中，由于XsT∝w，雖然譜移動不會影響函數(shù)固定點，但是影響特征值的速率和加快收斂速度，f(s)從而可被替換為:

式中，α(s)和β(s)為信號標(biāo)量。

由式(5)和式(6)可得出:

譜移動通過β(s)來修改特征值的比率，由|［λ1+β(s)］/［λ2+β(s)］|＞ |λ1/λ2|可知，這個步驟可以加快收斂的速度。

算法中采用正切去噪函數(shù)［10］，根據(jù)不同源信號，采用兩種選擇:(1)當(dāng)源信號為亞高斯時，此時β(s)=0，f(s)=tanh［s(t)］;(2) 當(dāng)源信號為超高斯時，此時β(s)= －1，f(s)=s(t) －tanh［s(t)］。

1.2 FSWT理論

1.2.1 FSWT 原理

假設(shè)p(t)的傅里葉變換為p^(ω)，對于任意信號f(t)∈L2(R)，其FSWT在頻域定義為:

式中，σ為尺度因子(σ≠0)，可為常數(shù)或為ω和t的函數(shù)，u為估值頻率。在FSWT中，p(ω)為頻率切片函數(shù)，p^*(u)是母小波函數(shù) p(t)的共軛形式，小波函數(shù)φ((u－ω)/σ)是其在頻域伸縮平移的結(jié)果。從式(8)可以看出，F(xiàn)SWT其實就是通過引入尺度和平移因子，獲得了可變的時頻窗。

采用parseval方程，如果σ不是估計頻率u的函數(shù)，則可將式(8)轉(zhuǎn)換到時域:

其實，即使p(t)及(ω)已知，式(9)也難以在頻域上進(jìn)行分析，因此，在信號分析時僅關(guān)注(ω)(ω)定義為頻率切片函數(shù)，它滿足下列條件:

當(dāng)與之相反，若0≤|p(t)|≤p(0)，則(ω)≤(0)。基于以上條件，可設(shè)計出如下幾種頻域內(nèi)的頻率切片函數(shù)(FSF)作為濾波器，分別為:

1.2.2 FSWT 的反變換

使用FSWT實現(xiàn)信號在時域與頻域中的分解，其求解過程是可逆，從而實現(xiàn)對信號濾波或分段。FSWT反變換采用一種簡單的形式來重構(gòu)源信號，算法如下所示:

式(7)表明重構(gòu)變換與頻率切片函數(shù)p(t)或p(ω)以及σ無關(guān)，重構(gòu)信號可直接用快速傅里葉變換算法求得。而傳統(tǒng)的連續(xù)小波變換，其信號的重建取決于選擇的小波基，并且需要大量的計算，同時選取的小波基是非稀疏的，定義和計算也非常復(fù)雜的。

2 基于FSWT和DSS信號分析

FSWT方法可實現(xiàn)信號在頻域中的分解，再通過反變換后可得到混合信號的源信號。但是，在信號的頻率比較接近的情況下，很難分離出源信號。為了解決復(fù)雜信號分離問題，提出一種FSWT-DSS方法，即可任選一頻率區(qū)間進(jìn)行反變換，重構(gòu)出新的混合信號，相當(dāng)于增加混合信號數(shù)以滿足盲源分離維數(shù)的要求，進(jìn)而應(yīng)用DSS分離出源信號:

(1)選擇合適的頻率切片函數(shù)，計算初步的時頻分辨系數(shù);

(2)在全時間域內(nèi)對混合信號進(jìn)行FSWT變換，實現(xiàn)對信號的頻率分段;

(3)對每個頻率段進(jìn)行FSWT反變換，得到多個信號，判斷是否分離出源信號;

(4)若未分離出源信號，則選若干頻率段進(jìn)行反變換，得到相應(yīng)的混合信號，與源信號組成新的混合矩陣，以滿足欠定盲分離的維數(shù)要求;

(5)應(yīng)用DSS方法對新的混合信號進(jìn)行分離，求出源信號。

3 仿真分析

機械模擬源信號如下所示:

其模擬測量所獲得的混合信號的波形及功率譜，如圖1所示:

圖1 混合信號波形及功率譜圖Fig.1 The mixed signals and power spectral density(PSD)

選取式(8)所組成的混合信號進(jìn)行分析，取時間切片區(qū)間為［0，1 s］，取 η =0.025，對混合信號的頻率［0－300 Hz］區(qū)間進(jìn)行切片分析，根據(jù)信號主要頻率分布，從而分成三個頻率區(qū)間，分別是:［0－150 Hz］、［50－300 Hz］、［0－300 Hz］。圖2和圖3分別是頻率區(qū)間［0－150 Hz］FSWT反變換重構(gòu)信號及功率譜圖、時頻及幅值圖。

圖2 FSWT重構(gòu)信號及功率譜圖Fig.2 The reconstruction signals and PSD by FSWT

圖3 FSWT重構(gòu)信號的時頻及幅值圖Fig.3Time-frequency and amplitude of the FSWT reconstruction signals

由圖2和圖3可知，在頻率區(qū)間［0－150 Hz］未分離出源信號。在頻率區(qū)間［50－300 Hz］、［0 －300 Hz］同樣未分離出源信號，在此不在贅述。

圖4 重構(gòu)新混合信號波形及功率譜圖Fig.4 The new reconstruction mixed signals and PSD by FSWT

圖5 DSS分離后信號波形及功率譜圖Fig.5 The separated signals and PSD by DSS

為實現(xiàn)對復(fù)雜信號的分離，任意選取混合矩陣的一條信號的頻率區(qū)間［0－150 Hz］、［50－300 Hz］分別進(jìn)行FSWT反變換得到兩個混合信號，并與選取的信號組成新的混合矩陣?；旌闲盘柌ㄐ渭肮β首V圖，如圖4所示。隨后，應(yīng)用DSS方法對新的混合信號進(jìn)行分離，得到源信號波形及頻率圖，如圖5所示。從而說明FSWT-DSS方法可有效解決復(fù)雜混合信號的欠定盲分離問題。

4 工程應(yīng)用

實驗中具有故障的軸承轉(zhuǎn)子在電機的帶動下，以恒定角加速度升速，最終轉(zhuǎn)子越過二階臨界轉(zhuǎn)速。轉(zhuǎn)子的一階臨界轉(zhuǎn)速為1 600 r/min，二階臨界轉(zhuǎn)速為6 080 r/min。采用傳感器測量轉(zhuǎn)子附近軸承下的振動，采集其徑向振動信號。數(shù)據(jù)采樣頻率為512 Hz，采樣數(shù)據(jù)點為16 384，測得觀察信號由圖6所示。取時間切片區(qū)間為［0，30 s］，取 η 為 0.025，信號的頻率主要分布在［0－150 Hz］的范圍內(nèi)。對于觀測信號，可設(shè)成［0－150 Hz］、［0 －250 Hz］兩個頻率段進(jìn)行 FSWT反變換進(jìn)行重構(gòu)信號，增加混合信號的維數(shù)，滿足DSS分離的要求。圖6為觀測信號的波形和功率譜圖，圖7為對觀測信號進(jìn)行FSWT反變換從而重構(gòu)出的混合信號。

圖6 觀測信號波形及功率譜圖Fig.6 The original signals and PSD

由圖7和圖8可知，對觀測信號和由FSWT反變換重構(gòu)的信號組成的混合信號組進(jìn)行求解，轉(zhuǎn)子觀察信號中主要存在的一階臨界轉(zhuǎn)速頻率26.5 Hz、81.6 Hz和二階臨界轉(zhuǎn)速的頻率101.5 Hz。通過DSS分離后，振動較為明顯的一階臨界轉(zhuǎn)速附近響應(yīng)信號和二階臨界轉(zhuǎn)速附近響應(yīng)信號得到很好的分離。因此，F(xiàn)SWTDSS方法能很好的分析實驗室轉(zhuǎn)子的故障信號。

圖7 觀測信號及其FSWT重構(gòu)信號及功率譜Fig.7 The signals and PSD of FSWT reconstruction and original

圖8 DSS分離后的信號波形及功率譜圖Fig.8 The separated signals and PSD by DSS

5 結(jié)論

應(yīng)用FSWT變換可靈活地實現(xiàn)信號的分割及時頻分析功能，F(xiàn)SWT反變換可重構(gòu)出新的混合信號。為此將FSWT方法與DSS理論相結(jié)合，有效解決了欠定盲分離問題。最后將FSWT－DSS方法應(yīng)用于實測故障信號分析中，分析出信號的故障特征，驗證了方法的有效性，為旋轉(zhuǎn)機械的故障分析提供了一種新的手段。

［1］ Abrard F，Deville Y，Thomas J.Blind partial separation of underdetermined convolutive mixtures of complex sources based on differential normalized kurtosis ［J］.Neurocomputing，2008，71(10 －12):2071 －2086.

［2］ Araki S，Sawada H，Mukai R，et al.Underdetermined blind sparse source separation for arbitrarily arranged multiple sensors［J］.Signal Processing，2007，87:1833 －1847.

［3］ Jayaraman J，Thiagarajan，Natesan Ramamurthy K，et al.Mixing matrix estimation using discriminative clustering for blind source separation［J］.Digital Signal Processing，2013，23(1):9－18.

［4］ Movahedi Naini F，Hosein Mohimani G，Babaie-Zadeh M，et al.Estimating the mixing matrix in Sparse Component Analysis(SCA)based on partial k-dimensional subspace clustering［J］.Neurocomputing，2008，71(10 － 12):2330－2343.

［5］李志農(nóng)，劉衛(wèi)兵，易小兵.基于局域均值分解的機械故障欠定盲源分離方法研究［J］.機械工程學(xué)報，2011，47(7):97－102.LI Zhi-nong，LIU Wei-bing，YI Xiao-bing.Underdetermined blind source separation method of machine faults based on local mean decomposition［J］. Journal of Mechanical Engineering，2011，47(7):97 －102.

［6］程軍勝，馬興偉，楊宇.基于VOMCD和EMD的齒輪故障診斷方法［J］.振動與沖擊，2013，32(20):9－13.CHENG Jun-sheng，MA Xing-wei，YANG Yu.Gear fault diagnosis method based on VPMCD and EMD［J］.Journal of Vibration and Shock，2013，32(20):9 －13.

［7］ YAN Zhong-hong，Miyamoto A，JIANG Zhong-wei.Frequency slice wavelet transform for transient vibration response analysis［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2009，23(5):1474 －1489.

［8］ YAN Zhong-hong，Miyamoto A，JIANG Zhong-wei.Frequency slice algorithm for modal signal separation and damping identification ［J］.Computers and Structures，2011，89(1 －2):14－26.

［9］段晨東，高強.基于時頻切片分析的故障診斷方法及應(yīng)用［J］.振動與沖擊，2011，30(9):1 －5.DUAN Chen-dong，GAO Qiang. Noval fault diagnosis approach using time-frequency slice analysis and its application［J］.Journal of Vibration and Shock，2011，30(9):1－5.

［10］ SREL J，Valpola H.Denoising source separation ［J］.Journal of Machine Learning Research，2005，6:233 －272.