黃麗云

摘 要： 極限是研究函數(shù)的重要工具，也是高等數(shù)學(xué)中最基本的概念之一.極限計(jì)算是高等數(shù)學(xué)課程要求熟練掌握的一種運(yùn)算.在極限計(jì)算中出錯(cuò)，反映學(xué)生的思維缺乏思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，通過分析和糾正這些錯(cuò)誤，能幫助學(xué)生加深對(duì)極限理論的認(rèn)識(shí)，提升其思維品質(zhì).

關(guān)鍵詞： 極限 計(jì)算方法 錯(cuò)誤剖析

極限是研究函數(shù)的重要工具，也是高等數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，極限計(jì)算是高等數(shù)學(xué)課程要求熟練掌握的一種運(yùn)算，對(duì)于后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)具有重要意義.處于高等數(shù)學(xué)入門階段的學(xué)生，在計(jì)算極限時(shí)常常會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤，究其原因，一方面是由于學(xué)生對(duì)極限理論的嚴(yán)謹(jǐn)性不夠重視，另一方面是由于學(xué)生的思維品質(zhì)有待進(jìn)一步提升.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)高度重視學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，對(duì)學(xué)生在極限計(jì)算中的錯(cuò)誤作分析和訂正，既幫助學(xué)生加深對(duì)極限理論的認(rèn)識(shí)，又能夠提升其思維品質(zhì).

一、對(duì)極限概念理解不透徹導(dǎo)致混淆不同類型的函數(shù)極限

函數(shù)極限刻畫了自變量某個(gè)變化過程中對(duì)應(yīng)函數(shù)的變化趨勢(shì)，因而計(jì)算函數(shù)極限，既要關(guān)注自變量的變化過程，又要關(guān)注函數(shù)的解析式.然而，部分學(xué)生在計(jì)算極限時(shí)，會(huì)忽略自變量的變化過程，只關(guān)注函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)選用方法.

例1：計(jì)算■■.

錯(cuò)誤解法：■■=■■=■=■=0.

正確解法：■■=■■=■■=■.

學(xué)生錯(cuò)用自變量趨于無窮大的極限計(jì)算方法，計(jì)算自變量趨于有限值的函數(shù)極限，并誤認(rèn)為■■=0，■■=0.這表明學(xué)生對(duì)極限概念理解不透徹，不清楚函數(shù)極限所刻畫的函數(shù)變化趨勢(shì)是與自變量的變化過程相聯(lián)系的.教學(xué)中，可通過分析函數(shù)y=■的圖像，讓學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)x→4和x→∞的函數(shù)極限，提醒學(xué)生在計(jì)算極限時(shí)注意自變量的變化過程，正確地選擇計(jì)算方法.

例2：計(jì)算■■.

錯(cuò)誤解法：由重要極限，有■■=1.

正確解法：■■=■■sinx=0.

由于只注意到題目中的函數(shù)與重要極限■■=1中的函數(shù)相同，忽略了自變量的變化過程與公式不符，結(jié)果得出錯(cuò)誤的答案.事實(shí)上，當(dāng)x→∞時(shí)，sinx是有界函數(shù)，■是無窮小，根據(jù)有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小，此題的極限是0.

極限概念體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的學(xué)科，教師應(yīng)該在數(shù)學(xué)教學(xué)中重視培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

二、對(duì)極限理論的認(rèn)識(shí)不足導(dǎo)致主觀臆造公式

函數(shù)的有窮極限與函數(shù)的無窮極限，在性質(zhì)上有所不同[1].當(dāng)函數(shù)的極限為無窮大時(shí)，按照函數(shù)極限的定義，極限是不存在的.涉及無窮大的極限運(yùn)算，其結(jié)果有多種情況，詳見文[1].由于學(xué)生對(duì)有窮極限與無窮極限的認(rèn)識(shí)不足，會(huì)錯(cuò)把有窮極限的運(yùn)算性質(zhì)搬到無窮極限的運(yùn)算中.

1.臆造無窮極限的四則運(yùn)算法則

極限的四則運(yùn)算法則要求其中的每一個(gè)函數(shù)都存在極限，商式的分母極限不能為0，而對(duì)于無窮極限的四則運(yùn)算，上述法則是不成立的.有的學(xué)生不加推理地把它們搬到無窮極限的運(yùn)算中，臆造無窮極限的四則運(yùn)算法則.

例3：計(jì)算■（■-■）.

錯(cuò)誤解法：■（■-■）=■■-■■=∞-∞=0.

正確解法：■（■-■）=■■=■■=1.

學(xué)生在無窮極限的運(yùn)算中使用了函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則，并且主觀臆造了無窮極限的運(yùn)算公式：∞-∞=0.教師在教學(xué)中有必要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)無窮極限與有窮極限的不同，促使學(xué)生以嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的態(tài)度分析問題，從而準(zhǔn)確地計(jì)算極限.

2.臆造無限個(gè)函數(shù)的極限運(yùn)算法則

關(guān)于和、差、積的極限運(yùn)算法則，可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形，部分學(xué)生仿照此法則臆造了無限個(gè)函數(shù)的極限運(yùn)算法則.

例4：計(jì)算■（■+■+…+■）.

錯(cuò)誤解法：

■（■+■+…+■）=■■+■■+…+■■=0+0+…+0=0.

正確解法：因?yàn)椤觥堋?■+…+■≤■，

又■■=■■=1，由夾逼準(zhǔn)則，有

■（■+■+…+■）=1.

對(duì)于無限個(gè)函數(shù)的和的極限，必須先把無限項(xiàng)的和轉(zhuǎn)化為有限項(xiàng)的情形，常用的轉(zhuǎn)化方法有利用數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、夾逼準(zhǔn)則等.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生整理清楚相關(guān)的知識(shí)和方法，促使學(xué)生正確地運(yùn)用公式和方法.

3.臆造冪指函數(shù)的極限公式

文[2]中給出了冪指函數(shù)的一個(gè)極限公式.如果limu（x）=a>0，limv（x）=b，那么Limu（x）■=a■.

公式要求a>0，且a，b都必須是有限實(shí)數(shù).若limu（x）=∞或limv（x）=∞，則limu（x）■是未定式，不能用上述法則.

例5：計(jì)算■（■）■.

錯(cuò)誤解法：■（■）■=（■■）■=1■=1.

正確解法：■（■）■=■（1-■）■=e■.

學(xué)生在未定式中錯(cuò)用了冪指函數(shù)的極限公式，并且自己臆造了公式：1■=1.可見，分清有窮極限與無窮極限的運(yùn)算性質(zhì)，是正確運(yùn)用公式和法則的前提保障.

三、對(duì)極限定理和公式的嚴(yán)謹(jǐn)性不夠重視導(dǎo)致錯(cuò)用公式

與中學(xué)數(shù)學(xué)相比，高等數(shù)學(xué)更嚴(yán)謹(jǐn)深入，初學(xué)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生，由于思維的嚴(yán)謹(jǐn)性不足，在運(yùn)用定理或公式時(shí)，往往會(huì)忽略對(duì)其使用條件的判斷，或誤解定理、公式的結(jié)論.

1.忽略洛必達(dá)法則的條件判斷導(dǎo)致錯(cuò)用公式

洛必達(dá)法則給出了■型未定式與■型未定式的極限計(jì)算法則，其只能用于未定式的極限計(jì)算，如果不符合條件也用法則，則必然導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤.

例6[2]：計(jì)算■■.

錯(cuò)誤解法：■■=■■=■■=■■=1.

正確解法：■■=■■=■■=■.

在此例的錯(cuò)誤解法中，連續(xù)三次使用了洛必達(dá)法則，事實(shí)上，■■已不再是■型未定式，不能再用洛必達(dá)法則，而應(yīng)利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算極限.在用公式法則之前，應(yīng)注意相關(guān)條件的判斷，才能避免犯這樣的錯(cuò)誤.

2.對(duì)等價(jià)無窮小替換理解錯(cuò)誤導(dǎo)致錯(cuò)用公式

求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無窮小來替換，但若分子或分母是和式，就不能將和式中的某一項(xiàng)或某幾項(xiàng)用等價(jià)無窮小替換.

例7：計(jì)算■■.

錯(cuò)誤解法：■■=■■=0.

正確解法：■■=■■=■■=■.

當(dāng)x→0時(shí)，tanx～x，sinx～x，但tanx-sinx與x-x不是等價(jià)無窮小，不能對(duì)分子中的每一項(xiàng)分別作替換，需要將分子改寫為乘積形式.當(dāng)x→0時(shí)，由于1-cosx～■x■，因此tanx（1-cosx）～x·■x■，可以將改造后的分子用x·■x■替換.由于學(xué)生不重視對(duì)公式的深入理解，因此不能正確判斷什么情況下可以替換，什么情況下不能替換，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.教師在教學(xué)中應(yīng)向?qū)W生分析透徹等價(jià)無窮小替換的原理，才能確保學(xué)生準(zhǔn)確靈活地運(yùn)用公式.

以上極限計(jì)算中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，反映出學(xué)生對(duì)極限概念、極限理論，以及公式法則理解不透徹，解題分析缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性.一方面，教師在極限教學(xué)中重視學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，有利于學(xué)生加深對(duì)極限的理解，靈活地掌握好極限的計(jì)算.另一方面，學(xué)生堅(jiān)持以嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的態(tài)度對(duì)待學(xué)習(xí)和解題，能夠進(jìn)一步提升思維品質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

[1]劉玉璉，傅沛仁，林玎，苑德馨，劉寧.數(shù)學(xué)分析講義（上冊(cè)）（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.endprint

摘 要： 極限是研究函數(shù)的重要工具，也是高等數(shù)學(xué)中最基本的概念之一.極限計(jì)算是高等數(shù)學(xué)課程要求熟練掌握的一種運(yùn)算.在極限計(jì)算中出錯(cuò)，反映學(xué)生的思維缺乏思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，通過分析和糾正這些錯(cuò)誤，能幫助學(xué)生加深對(duì)極限理論的認(rèn)識(shí)，提升其思維品質(zhì).

關(guān)鍵詞： 極限 計(jì)算方法 錯(cuò)誤剖析

極限是研究函數(shù)的重要工具，也是高等數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，極限計(jì)算是高等數(shù)學(xué)課程要求熟練掌握的一種運(yùn)算，對(duì)于后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)具有重要意義.處于高等數(shù)學(xué)入門階段的學(xué)生，在計(jì)算極限時(shí)常常會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤，究其原因，一方面是由于學(xué)生對(duì)極限理論的嚴(yán)謹(jǐn)性不夠重視，另一方面是由于學(xué)生的思維品質(zhì)有待進(jìn)一步提升.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)高度重視學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，對(duì)學(xué)生在極限計(jì)算中的錯(cuò)誤作分析和訂正，既幫助學(xué)生加深對(duì)極限理論的認(rèn)識(shí)，又能夠提升其思維品質(zhì).

一、對(duì)極限概念理解不透徹導(dǎo)致混淆不同類型的函數(shù)極限

函數(shù)極限刻畫了自變量某個(gè)變化過程中對(duì)應(yīng)函數(shù)的變化趨勢(shì)，因而計(jì)算函數(shù)極限，既要關(guān)注自變量的變化過程，又要關(guān)注函數(shù)的解析式.然而，部分學(xué)生在計(jì)算極限時(shí)，會(huì)忽略自變量的變化過程，只關(guān)注函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)選用方法.

例1：計(jì)算■■.

錯(cuò)誤解法：■■=■■=■=■=0.

正確解法：■■=■■=■■=■.

學(xué)生錯(cuò)用自變量趨于無窮大的極限計(jì)算方法，計(jì)算自變量趨于有限值的函數(shù)極限，并誤認(rèn)為■■=0，■■=0.這表明學(xué)生對(duì)極限概念理解不透徹，不清楚函數(shù)極限所刻畫的函數(shù)變化趨勢(shì)是與自變量的變化過程相聯(lián)系的.教學(xué)中，可通過分析函數(shù)y=■的圖像，讓學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)x→4和x→∞的函數(shù)極限，提醒學(xué)生在計(jì)算極限時(shí)注意自變量的變化過程，正確地選擇計(jì)算方法.

例2：計(jì)算■■.

錯(cuò)誤解法：由重要極限，有■■=1.

正確解法：■■=■■sinx=0.

由于只注意到題目中的函數(shù)與重要極限■■=1中的函數(shù)相同，忽略了自變量的變化過程與公式不符，結(jié)果得出錯(cuò)誤的答案.事實(shí)上，當(dāng)x→∞時(shí)，sinx是有界函數(shù)，■是無窮小，根據(jù)有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小，此題的極限是0.

極限概念體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的學(xué)科，教師應(yīng)該在數(shù)學(xué)教學(xué)中重視培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

二、對(duì)極限理論的認(rèn)識(shí)不足導(dǎo)致主觀臆造公式

函數(shù)的有窮極限與函數(shù)的無窮極限，在性質(zhì)上有所不同[1].當(dāng)函數(shù)的極限為無窮大時(shí)，按照函數(shù)極限的定義，極限是不存在的.涉及無窮大的極限運(yùn)算，其結(jié)果有多種情況，詳見文[1].由于學(xué)生對(duì)有窮極限與無窮極限的認(rèn)識(shí)不足，會(huì)錯(cuò)把有窮極限的運(yùn)算性質(zhì)搬到無窮極限的運(yùn)算中.

1.臆造無窮極限的四則運(yùn)算法則

極限的四則運(yùn)算法則要求其中的每一個(gè)函數(shù)都存在極限，商式的分母極限不能為0，而對(duì)于無窮極限的四則運(yùn)算，上述法則是不成立的.有的學(xué)生不加推理地把它們搬到無窮極限的運(yùn)算中，臆造無窮極限的四則運(yùn)算法則.

例3：計(jì)算■（■-■）.

錯(cuò)誤解法：■（■-■）=■■-■■=∞-∞=0.

正確解法：■（■-■）=■■=■■=1.

學(xué)生在無窮極限的運(yùn)算中使用了函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則，并且主觀臆造了無窮極限的運(yùn)算公式：∞-∞=0.教師在教學(xué)中有必要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)無窮極限與有窮極限的不同，促使學(xué)生以嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的態(tài)度分析問題，從而準(zhǔn)確地計(jì)算極限.

2.臆造無限個(gè)函數(shù)的極限運(yùn)算法則

關(guān)于和、差、積的極限運(yùn)算法則，可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形，部分學(xué)生仿照此法則臆造了無限個(gè)函數(shù)的極限運(yùn)算法則.

例4：計(jì)算■（■+■+…+■）.

錯(cuò)誤解法：

■（■+■+…+■）=■■+■■+…+■■=0+0+…+0=0.

正確解法：因?yàn)椤觥堋?■+…+■≤■，

又■■=■■=1，由夾逼準(zhǔn)則，有

■（■+■+…+■）=1.

對(duì)于無限個(gè)函數(shù)的和的極限，必須先把無限項(xiàng)的和轉(zhuǎn)化為有限項(xiàng)的情形，常用的轉(zhuǎn)化方法有利用數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、夾逼準(zhǔn)則等.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生整理清楚相關(guān)的知識(shí)和方法，促使學(xué)生正確地運(yùn)用公式和方法.

3.臆造冪指函數(shù)的極限公式

文[2]中給出了冪指函數(shù)的一個(gè)極限公式.如果limu（x）=a>0，limv（x）=b，那么Limu（x）■=a■.

公式要求a>0，且a，b都必須是有限實(shí)數(shù).若limu（x）=∞或limv（x）=∞，則limu（x）■是未定式，不能用上述法則.

例5：計(jì)算■（■）■.

錯(cuò)誤解法：■（■）■=（■■）■=1■=1.

正確解法：■（■）■=■（1-■）■=e■.

學(xué)生在未定式中錯(cuò)用了冪指函數(shù)的極限公式，并且自己臆造了公式：1■=1.可見，分清有窮極限與無窮極限的運(yùn)算性質(zhì)，是正確運(yùn)用公式和法則的前提保障.

三、對(duì)極限定理和公式的嚴(yán)謹(jǐn)性不夠重視導(dǎo)致錯(cuò)用公式

與中學(xué)數(shù)學(xué)相比，高等數(shù)學(xué)更嚴(yán)謹(jǐn)深入，初學(xué)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生，由于思維的嚴(yán)謹(jǐn)性不足，在運(yùn)用定理或公式時(shí)，往往會(huì)忽略對(duì)其使用條件的判斷，或誤解定理、公式的結(jié)論.

1.忽略洛必達(dá)法則的條件判斷導(dǎo)致錯(cuò)用公式

洛必達(dá)法則給出了■型未定式與■型未定式的極限計(jì)算法則，其只能用于未定式的極限計(jì)算，如果不符合條件也用法則，則必然導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤.

例6[2]：計(jì)算■■.

錯(cuò)誤解法：■■=■■=■■=■■=1.

正確解法：■■=■■=■■=■.

在此例的錯(cuò)誤解法中，連續(xù)三次使用了洛必達(dá)法則，事實(shí)上，■■已不再是■型未定式，不能再用洛必達(dá)法則，而應(yīng)利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算極限.在用公式法則之前，應(yīng)注意相關(guān)條件的判斷，才能避免犯這樣的錯(cuò)誤.

2.對(duì)等價(jià)無窮小替換理解錯(cuò)誤導(dǎo)致錯(cuò)用公式

求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無窮小來替換，但若分子或分母是和式，就不能將和式中的某一項(xiàng)或某幾項(xiàng)用等價(jià)無窮小替換.

例7：計(jì)算■■.

錯(cuò)誤解法：■■=■■=0.

正確解法：■■=■■=■■=■.

當(dāng)x→0時(shí)，tanx～x，sinx～x，但tanx-sinx與x-x不是等價(jià)無窮小，不能對(duì)分子中的每一項(xiàng)分別作替換，需要將分子改寫為乘積形式.當(dāng)x→0時(shí)，由于1-cosx～■x■，因此tanx（1-cosx）～x·■x■，可以將改造后的分子用x·■x■替換.由于學(xué)生不重視對(duì)公式的深入理解，因此不能正確判斷什么情況下可以替換，什么情況下不能替換，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.教師在教學(xué)中應(yīng)向?qū)W生分析透徹等價(jià)無窮小替換的原理，才能確保學(xué)生準(zhǔn)確靈活地運(yùn)用公式.

以上極限計(jì)算中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，反映出學(xué)生對(duì)極限概念、極限理論，以及公式法則理解不透徹，解題分析缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性.一方面，教師在極限教學(xué)中重視學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，有利于學(xué)生加深對(duì)極限的理解，靈活地掌握好極限的計(jì)算.另一方面，學(xué)生堅(jiān)持以嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的態(tài)度對(duì)待學(xué)習(xí)和解題，能夠進(jìn)一步提升思維品質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

[1]劉玉璉，傅沛仁，林玎，苑德馨，劉寧.數(shù)學(xué)分析講義（上冊(cè)）（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.endprint

摘 要： 極限是研究函數(shù)的重要工具，也是高等數(shù)學(xué)中最基本的概念之一.極限計(jì)算是高等數(shù)學(xué)課程要求熟練掌握的一種運(yùn)算.在極限計(jì)算中出錯(cuò)，反映學(xué)生的思維缺乏思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，通過分析和糾正這些錯(cuò)誤，能幫助學(xué)生加深對(duì)極限理論的認(rèn)識(shí)，提升其思維品質(zhì).

關(guān)鍵詞： 極限 計(jì)算方法 錯(cuò)誤剖析

極限是研究函數(shù)的重要工具，也是高等數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，極限計(jì)算是高等數(shù)學(xué)課程要求熟練掌握的一種運(yùn)算，對(duì)于后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)具有重要意義.處于高等數(shù)學(xué)入門階段的學(xué)生，在計(jì)算極限時(shí)常常會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤，究其原因，一方面是由于學(xué)生對(duì)極限理論的嚴(yán)謹(jǐn)性不夠重視，另一方面是由于學(xué)生的思維品質(zhì)有待進(jìn)一步提升.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)高度重視學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，對(duì)學(xué)生在極限計(jì)算中的錯(cuò)誤作分析和訂正，既幫助學(xué)生加深對(duì)極限理論的認(rèn)識(shí)，又能夠提升其思維品質(zhì).

一、對(duì)極限概念理解不透徹導(dǎo)致混淆不同類型的函數(shù)極限

函數(shù)極限刻畫了自變量某個(gè)變化過程中對(duì)應(yīng)函數(shù)的變化趨勢(shì)，因而計(jì)算函數(shù)極限，既要關(guān)注自變量的變化過程，又要關(guān)注函數(shù)的解析式.然而，部分學(xué)生在計(jì)算極限時(shí)，會(huì)忽略自變量的變化過程，只關(guān)注函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)選用方法.

例1：計(jì)算■■.

錯(cuò)誤解法：■■=■■=■=■=0.

正確解法：■■=■■=■■=■.

學(xué)生錯(cuò)用自變量趨于無窮大的極限計(jì)算方法，計(jì)算自變量趨于有限值的函數(shù)極限，并誤認(rèn)為■■=0，■■=0.這表明學(xué)生對(duì)極限概念理解不透徹，不清楚函數(shù)極限所刻畫的函數(shù)變化趨勢(shì)是與自變量的變化過程相聯(lián)系的.教學(xué)中，可通過分析函數(shù)y=■的圖像，讓學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)x→4和x→∞的函數(shù)極限，提醒學(xué)生在計(jì)算極限時(shí)注意自變量的變化過程，正確地選擇計(jì)算方法.

例2：計(jì)算■■.

錯(cuò)誤解法：由重要極限，有■■=1.

正確解法：■■=■■sinx=0.

由于只注意到題目中的函數(shù)與重要極限■■=1中的函數(shù)相同，忽略了自變量的變化過程與公式不符，結(jié)果得出錯(cuò)誤的答案.事實(shí)上，當(dāng)x→∞時(shí)，sinx是有界函數(shù)，■是無窮小，根據(jù)有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小，此題的極限是0.

極限概念體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的學(xué)科，教師應(yīng)該在數(shù)學(xué)教學(xué)中重視培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

二、對(duì)極限理論的認(rèn)識(shí)不足導(dǎo)致主觀臆造公式

函數(shù)的有窮極限與函數(shù)的無窮極限，在性質(zhì)上有所不同[1].當(dāng)函數(shù)的極限為無窮大時(shí)，按照函數(shù)極限的定義，極限是不存在的.涉及無窮大的極限運(yùn)算，其結(jié)果有多種情況，詳見文[1].由于學(xué)生對(duì)有窮極限與無窮極限的認(rèn)識(shí)不足，會(huì)錯(cuò)把有窮極限的運(yùn)算性質(zhì)搬到無窮極限的運(yùn)算中.

1.臆造無窮極限的四則運(yùn)算法則

極限的四則運(yùn)算法則要求其中的每一個(gè)函數(shù)都存在極限，商式的分母極限不能為0，而對(duì)于無窮極限的四則運(yùn)算，上述法則是不成立的.有的學(xué)生不加推理地把它們搬到無窮極限的運(yùn)算中，臆造無窮極限的四則運(yùn)算法則.

例3：計(jì)算■（■-■）.

錯(cuò)誤解法：■（■-■）=■■-■■=∞-∞=0.

正確解法：■（■-■）=■■=■■=1.

學(xué)生在無窮極限的運(yùn)算中使用了函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則，并且主觀臆造了無窮極限的運(yùn)算公式：∞-∞=0.教師在教學(xué)中有必要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)無窮極限與有窮極限的不同，促使學(xué)生以嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的態(tài)度分析問題，從而準(zhǔn)確地計(jì)算極限.

2.臆造無限個(gè)函數(shù)的極限運(yùn)算法則

關(guān)于和、差、積的極限運(yùn)算法則，可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形，部分學(xué)生仿照此法則臆造了無限個(gè)函數(shù)的極限運(yùn)算法則.

例4：計(jì)算■（■+■+…+■）.

錯(cuò)誤解法：

■（■+■+…+■）=■■+■■+…+■■=0+0+…+0=0.

正確解法：因?yàn)椤觥堋?■+…+■≤■，

又■■=■■=1，由夾逼準(zhǔn)則，有

■（■+■+…+■）=1.

對(duì)于無限個(gè)函數(shù)的和的極限，必須先把無限項(xiàng)的和轉(zhuǎn)化為有限項(xiàng)的情形，常用的轉(zhuǎn)化方法有利用數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、夾逼準(zhǔn)則等.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生整理清楚相關(guān)的知識(shí)和方法，促使學(xué)生正確地運(yùn)用公式和方法.

3.臆造冪指函數(shù)的極限公式

文[2]中給出了冪指函數(shù)的一個(gè)極限公式.如果limu（x）=a>0，limv（x）=b，那么Limu（x）■=a■.

公式要求a>0，且a，b都必須是有限實(shí)數(shù).若limu（x）=∞或limv（x）=∞，則limu（x）■是未定式，不能用上述法則.

例5：計(jì)算■（■）■.

錯(cuò)誤解法：■（■）■=（■■）■=1■=1.

正確解法：■（■）■=■（1-■）■=e■.

學(xué)生在未定式中錯(cuò)用了冪指函數(shù)的極限公式，并且自己臆造了公式：1■=1.可見，分清有窮極限與無窮極限的運(yùn)算性質(zhì)，是正確運(yùn)用公式和法則的前提保障.

三、對(duì)極限定理和公式的嚴(yán)謹(jǐn)性不夠重視導(dǎo)致錯(cuò)用公式

與中學(xué)數(shù)學(xué)相比，高等數(shù)學(xué)更嚴(yán)謹(jǐn)深入，初學(xué)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生，由于思維的嚴(yán)謹(jǐn)性不足，在運(yùn)用定理或公式時(shí)，往往會(huì)忽略對(duì)其使用條件的判斷，或誤解定理、公式的結(jié)論.

1.忽略洛必達(dá)法則的條件判斷導(dǎo)致錯(cuò)用公式

洛必達(dá)法則給出了■型未定式與■型未定式的極限計(jì)算法則，其只能用于未定式的極限計(jì)算，如果不符合條件也用法則，則必然導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤.

例6[2]：計(jì)算■■.

錯(cuò)誤解法：■■=■■=■■=■■=1.

正確解法：■■=■■=■■=■.

在此例的錯(cuò)誤解法中，連續(xù)三次使用了洛必達(dá)法則，事實(shí)上，■■已不再是■型未定式，不能再用洛必達(dá)法則，而應(yīng)利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算極限.在用公式法則之前，應(yīng)注意相關(guān)條件的判斷，才能避免犯這樣的錯(cuò)誤.

2.對(duì)等價(jià)無窮小替換理解錯(cuò)誤導(dǎo)致錯(cuò)用公式

求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無窮小來替換，但若分子或分母是和式，就不能將和式中的某一項(xiàng)或某幾項(xiàng)用等價(jià)無窮小替換.

例7：計(jì)算■■.

錯(cuò)誤解法：■■=■■=0.

正確解法：■■=■■=■■=■.

當(dāng)x→0時(shí)，tanx～x，sinx～x，但tanx-sinx與x-x不是等價(jià)無窮小，不能對(duì)分子中的每一項(xiàng)分別作替換，需要將分子改寫為乘積形式.當(dāng)x→0時(shí)，由于1-cosx～■x■，因此tanx（1-cosx）～x·■x■，可以將改造后的分子用x·■x■替換.由于學(xué)生不重視對(duì)公式的深入理解，因此不能正確判斷什么情況下可以替換，什么情況下不能替換，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.教師在教學(xué)中應(yīng)向?qū)W生分析透徹等價(jià)無窮小替換的原理，才能確保學(xué)生準(zhǔn)確靈活地運(yùn)用公式.

以上極限計(jì)算中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，反映出學(xué)生對(duì)極限概念、極限理論，以及公式法則理解不透徹，解題分析缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性.一方面，教師在極限教學(xué)中重視學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，有利于學(xué)生加深對(duì)極限的理解，靈活地掌握好極限的計(jì)算.另一方面，學(xué)生堅(jiān)持以嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的態(tài)度對(duì)待學(xué)習(xí)和解題，能夠進(jìn)一步提升思維品質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

[1]劉玉璉，傅沛仁，林玎，苑德馨，劉寧.數(shù)學(xué)分析講義（上冊(cè)）（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.endprint