張立卓

(對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京 100029)

眾所周知，在復(fù)數(shù)域C上，若設(shè)n階矩陣A的不同的特征值為λ1,λ2,…,λt，其重?cái)?shù)分別為ki(i=1,2,…,t)，則k1+k2+…+kt=n.關(guān)于矩陣A與對(duì)角矩陣相似有下列等價(jià)命題：

(i)n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似(即A可對(duì)角化)的充分必要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.

(ii)n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是A的對(duì)應(yīng)于特征值λi(i=1,2,…,t)的線性無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)都恰好等于其重?cái)?shù)ki.

(iii)n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是A的對(duì)應(yīng)于ki重特征值λi(i=1,2,…,t)，秩r(λiE-A)=n-ki.

下面通過示例介紹上述關(guān)于矩陣對(duì)角化的判別方法在具體問題中的使用.

例1設(shè)實(shí)數(shù)域上n維向量空間n(n≥3)中的向量α，且αTα=a，矩陣A=ααT，求可逆矩陣P，使P-1AP=Λ，并寫出該對(duì)角矩陣Λ.

分析 要找出A的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，可先考查α，再考查與α正交的向量.

解由題設(shè)，AT=(ααT)T=ααT=A，A為實(shí)對(duì)稱矩陣，必相似于對(duì)角矩陣.

(i) 如果αTα=a=0，即α=0，則A=ααT=O. 于是取任一n階可逆矩陣P，有

(ii) 如果αTα=a>0，即α≠0，則

Aα=(ααT)α=α(αTα)=aα，

所以λ1=a為A的一個(gè)特征值，α為對(duì)應(yīng)λ1=a的線性無關(guān)的特征向量.設(shè)β=(x1,x2,…,xn)T∈n，建立齊次線性方程組，

αTβ=0.

因r(αT)=1可知，其基礎(chǔ)解系應(yīng)含n-1個(gè)解向量，設(shè)其分別為β2,β3,…,βn，滿足

αTβ2=αTβ3=…=αTβn=0，

從而

Aβi=(ααT)βi=α(αTβi)=0=0βi(i=2,3,…,n)，

所以λ2=0為A的又一特征值，β2,β3,…,βn為對(duì)應(yīng)λ2=0的線性無關(guān)的特征向量，因此特征值λ2=0的重?cái)?shù)應(yīng)為n-1.又因?yàn)榫仃嚨膶儆诓煌卣髦档木€性無關(guān)特征向量必線性無關(guān)，即α,β2,β3,…,βn線性無關(guān)，令矩陣P=(α，β2，β3，…，βn)，則P為n階可逆矩陣，且使

拓展 如果設(shè)矩陣B=kE+lA=kE+lααT，E為n階單位矩陣，k,l為任意非零實(shí)常數(shù)，αTα=a(a>0)，則同理可推得B可對(duì)角化，且

P1為本例所求的可逆矩陣.

注 事實(shí)上，若n階矩陣A相似于對(duì)角矩陣，即存在一個(gè)可逆矩陣P，使

A的多項(xiàng)式為φ(A)=a0Am+a1Am-1+…+am-1A+amE(m為正整數(shù))，則矩陣φ(A)可對(duì)角化，且

這是因?yàn)?/p>

其中k=1,2,…,m. 于是

P-1φ(A)P=P-1(a0Am+a1Am-1+…+am-1A+amE)P

=a0P-1AmP+a1P-1Am-1P+…+am-1P-1AP+amP-1EP

=a0Λm+a1Λm-1+…+am-1Λ+amE

這表明若n階矩陣A可對(duì)角化，則A的多項(xiàng)式φ(A)也可對(duì)角化.

例2設(shè)向量空間n(n≥3)的向量α與β正交，且αTα=a,βTβ=b，矩陣A=ααT+ββT，求可逆矩陣P，使P-1AP=Λ，并寫出該對(duì)角矩陣Λ.

分析 可驗(yàn)證α與β是特征向量. 再由|A|=0，求出A的其余線性無關(guān)的特征向量.

證由題設(shè)，AT=(ααT+ββT)T=ααT+ββT=A，A為實(shí)對(duì)稱矩陣，必相似于對(duì)角矩陣，

(i) 如果αTα=a=0,βTβ=b=0，即α=0,β=0，則A=O. 于是取任一n階可逆矩陣P，有

(ii) 如果αTα=a≠0,βTβ=b=0，即α≠0,β=0，則A=ααT. 據(jù)上例結(jié)論，存在n階可逆矩陣P1，使

(iii) 如果αTα=a=0,βTβ=b≠0，即α=0,β≠0，則A=ββT. 同理存在n階可逆矩陣P2，使

(iv) 如果αTα=a≠0,βTβ=b≠0，即α≠0,β≠0. 由已知αTβ=0=βTα，于是

Aα=(ααT+ββT)α=aα.

所以λ1=a是A的一個(gè)特征值，α為對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量，

Aβ=(ααT+ββT)β=bβ，

λ2=b是A的又一個(gè)特征值，β為對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量. 又因?yàn)?/p>

r(A)=r(ααT+ββT)≤r(ααT)+r(ββT)≤r(α)+r(β)=1+1=2

Aγi=(ααT+ββT)γi=O=0γi(i=3,4,…,n)，

即γ3,γ4,…,γn為A的對(duì)應(yīng)于特征值λ3=0的線性無關(guān)的特征值向量，于是特征值λ3=0的重?cái)?shù)應(yīng)為n-2，且α,β,γ3,γ4,…,γn線性無關(guān). 令矩陣P3=(αβγ3γ4…γn)，則P3為n階可逆矩陣，使

拓展 如果設(shè)矩陣B=kE+lααT+mββT，E為n階單位矩陣，k為任意實(shí)常數(shù)，l,m為任意非零實(shí)常數(shù)，αTα=a>0,βTβ=b>0，則同理可推得B可對(duì)角化，且

P3為本例所求的可逆矩陣.

例3設(shè)向量空間n(n≥3)的非零向量α,β，矩陣A=βαT，問A是否可對(duì)角化？如果A可對(duì)角化？求出可逆矩陣P，使P-1AP為對(duì)角矩陣，并寫出對(duì)角矩陣.

分析 可依α與β是否正交分別討論.

解(i) 若αTβ=0，則A2=(βαT)(βαT)=β(αTβ)αT=O，A為冪零矩陣. 設(shè)λ為A的特征值，則

Aγ=λγ(γ≠0),A2γ=λ2γ=0，λ=0，

即冪零矩陣A的特征值全為零. 又α,β是非零向量，即A=βαT≠O，r(A)≥1，同時(shí)r(A)=r(βαT)≤r(β)=1，即r(A)=1，于是方程組AX=0的基礎(chǔ)解系含n-1個(gè)解向量，表明矩陣A沒有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故A不可對(duì)角化.

(ii) 若αTβ=a≠0，由題設(shè)，β≠0，

Aβ=(βαT)β=β(αTβ)=aβ，

λ1=a是A的特征值，β為對(duì)應(yīng)λ1=a的線性無關(guān)的特征向量.由(1)知，r(A)=1，于是方程組AX=0的基礎(chǔ)解系含n-1個(gè)解向量，設(shè)其為β2,β3,…,βn，滿足

Aβi=0=0βi(i=2,3,…,n)，

β2,β3,…,βn為A的屬于特征值λ2=0的線性無關(guān)的特征向量，因此特征值λ2=0重?cái)?shù)應(yīng)為n-1，且β,β2,β3,…,βn線性無關(guān)，即A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故A可對(duì)角化.令矩陣P=(β，β2，β3，…，βn)，則P為n階可逆矩陣，使

拓展 如果設(shè)矩陣B=kE+lA=kE+lβαT，E為n階單位矩陣，k,l為任意實(shí)常數(shù)，αTα=a>0，則同理可推得B可對(duì)角化，且

P為本例所求的可逆矩陣.

例4設(shè)向量空間n(n≥3)的向量α與β正交，且αTα=a,βTβ=b，矩陣A=αβT+βαT，求可逆矩陣P，使P-1AP=Λ，并寫出該對(duì)角矩陣Λ.

分析 若α,β之一為零向量，則A=O.若α,β均不為零向量，則可驗(yàn)證α-β，α+β是特征向量，再由r(A)=2求出其余線性無關(guān)的特征向量.

證因?yàn)锳T=(αβT+βαT)T=βαT+αβT=A，所以A為實(shí)對(duì)稱矩陣，必可相似于對(duì)角矩陣，

(i) 如果αTα=a=0=βTβ，即α=0，β=0，此時(shí)A=O. 于是取任一n階可逆矩陣P，有

(ii) 如果αTα=a≠0且βTβ=a≠0，即α≠0,β≠0. 由已知α,β是正交向量組，α與β必線性無關(guān)，因此α+β≠0,α-β≠0，

Aα=(αβT+βαT)α=aβ，Aβ=(αβT+βαT)β=aα，

A(α-β)=aβ-aα=-a(α-β)，

所以λ1=-a為A的一個(gè)特征值，α-β為λ1=-a對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量，

A(α+β)=aβ+aα=a(α+β)，

所以λ2=a為A的又一個(gè)特征值，α+β為λ2=a對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量. 又因?yàn)锳可對(duì)角化，所以A的秩等于A的非零特征值的個(gè)數(shù)，因此r(A)≥2. 又

r(A)=r(αβT+βαT)≤r(αβT)+r(βαT)≤r(α)+r(β)=1+1=2，

于是r(A)=2，即|A|=0=|0E-A|，λ3=0為A的特征值，方程組AX=0的基礎(chǔ)解系應(yīng)含有n-2個(gè)解向量，設(shè)其為γ3,γ4,…,γn，滿足

Aγi=0=0γi(i=3,4,…,n)，

即γ3,γ4,…,γn為A的對(duì)應(yīng)于特征值λ3=0的線性無關(guān)的特征值向量. 因此特征值λ3=0的重?cái)?shù)為n-2，且α-β,α+β,γ3,γ4,…,γn線性無關(guān)，令矩陣P=(α-β,α+β,γ3,γ4,…,γn)，則P為n階可逆矩陣，使

拓展 如果設(shè)矩陣B=kE+l(αβT+βαT)，E為n階單位矩陣，k,l為任意非零實(shí)常數(shù),αTα=βTβ=a>0，則同理可推得B可對(duì)角化，且

P為本例所求的可逆矩陣.

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