趙小艷， 李換琴

(西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西西安710049)

當(dāng)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的需求越來(lái)越深、越來(lái)越廣、越來(lái)越現(xiàn)代化，而高等數(shù)學(xué)是大學(xué)生進(jìn)入大學(xué)必修的第一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，它對(duì)學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)概念的理解和對(duì)數(shù)學(xué)思想和所學(xué)內(nèi)容的可應(yīng)用性的掌握以及數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)起著至關(guān)重要的作用.然而，我國(guó)國(guó)內(nèi)的高等數(shù)學(xué)教材內(nèi)容是比較抽象的.學(xué)生普遍認(rèn)為“高等數(shù)學(xué)是神圣的、高高在上的”，也是“望而生畏”的，很難主動(dòng)的帶著興趣去學(xué)習(xí). 因此，如何幫助學(xué)生直觀、形象的理解高等數(shù)學(xué)中的概念和結(jié)論，是教師在教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn).考慮到幾何圖形簡(jiǎn)單直觀，如果能將高等數(shù)學(xué)的一些概念和結(jié)論與幾何圖形緊密的結(jié)合，必有助于加深學(xué)生對(duì)抽象數(shù)學(xué)概念結(jié)論的理解，激發(fā)學(xué)生的興趣.國(guó)家教育發(fā)展綱要[1]中指出：“……(四)探索多樣化人才培養(yǎng)新模式……，探索學(xué)生自主學(xué)習(xí)模式, 創(chuàng)新教育教學(xué)方法，開(kāi)展啟發(fā)式、探究式、討論式、參與式教學(xué)，……”.如果能在教學(xué)中讓學(xué)生主動(dòng)思考、動(dòng)手去做，一方面加深學(xué)生對(duì)這些概念結(jié)論的理解，另一方面，亦可提高學(xué)生的計(jì)算機(jī)能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想.本文通過(guò)幾個(gè)具體案例說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題.

1 用幾何圖形從兩個(gè)方面加深對(duì)重要極限的理解

圖1 函數(shù)f(x)=sinx/x的圖形 圖2 函數(shù)y=sinx和y=x的圖形

2 利用圖形理解微分概念

在講函數(shù)的微分時(shí)，傳統(tǒng)的教學(xué)方式是通過(guò)例子給出微分的定義，討論導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系得出微分的表達(dá)式，后面就關(guān)注于微分的計(jì)算及應(yīng)用，比如突出微分形式的不變性等.學(xué)生對(duì)于微分的理解不夠透徹，不能理解dx與dy的真正意義.微分是微分學(xué)轉(zhuǎn)向積分學(xué)的一個(gè)關(guān)鍵概念.繪制微分的幾何圖形有助于直觀的理解微分思想.事實(shí)上，微分的思想就是線性近似計(jì)算，即在局部范圍，用線性函數(shù)近似代替非線性函數(shù).下面通過(guò)一個(gè)例子說(shuō)明.

設(shè)f(x)=x3,一階導(dǎo)數(shù)為f′(x)=3x2,函數(shù)f(x)在x=1處的切線為

y=f(1)+f′(1)(x-1)=3x-2.

用matlab軟件分別繪制f(x)=x3和切線y=3x-2的圖形，如圖3(a). 可以看到，在點(diǎn)(1,1)附近曲線和切線非?？拷?，但是離開(kāi)x=1誤差就比較大了.圖3(b)和圖3(c)在越來(lái)越小的區(qū)間上展示了函數(shù)f(x)和切線y的圖形，圖3(d)顯示在包含1的很小的區(qū)間上，曲線和切線非常靠近，這時(shí)用計(jì)算機(jī)繪圖已經(jīng)不能區(qū)分這兩條曲線了.這表明，在局部范圍內(nèi)，可微函數(shù)的性態(tài)就像一條直線.多元函數(shù)的微分思想和一元情形類似，我們舉個(gè)更直觀的例子來(lái)說(shuō)明.大家都知道地球是圓的，但是為什么感覺(jué)我們所站的地方是平面，而不是想象中的曲面呢？這是因?yàn)榈厍虮砻婵梢钥醋鍪强臻g中的曲面，在其可微點(diǎn)的局部領(lǐng)域，地球的表面和它在這點(diǎn)處的切平面是近似重合的.

圖3 函數(shù)f(x)=x3在可微點(diǎn)(1,1)處的性態(tài)

3 利用圖形理解積分公式

在積分學(xué)中有很多公式結(jié)論，如果不加理解的直接死記硬背，恐怕是記不住的.教師可以通過(guò)圖形等有效方法使學(xué)生記住這些有用的結(jié)論.下面舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)明.

在一元積分學(xué)中大部分學(xué)生都可以很容易的利用Newton-Leibniz公式證明下面積分成立

但是，很少學(xué)生認(rèn)真考慮這個(gè)結(jié)論的意義.為了增強(qiáng)學(xué)生對(duì)此結(jié)論的記憶，教師可以結(jié)合數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生先畫此積分的被積函數(shù)的幾何圖形，既可以加強(qiáng)matlab繪圖軟件的操作，又對(duì)此函數(shù)有所了解，進(jìn)一步對(duì)積分結(jié)果有直觀上的理解，可謂一舉兩得.然后再通過(guò)嚴(yán)格的證明論證這個(gè)結(jié)論.比如，不妨設(shè)f(x)=sin2xsin3x,g(x)=sin22x，通過(guò)matlab軟件繪制曲線如圖4(a)和圖4(b).

(a) 函數(shù)f(x)的曲線 (b) 函數(shù)g(x)的曲線圖4 函數(shù)f(x)和g(x)的曲線

利用函數(shù)圖形的對(duì)稱性，及定積分的幾何意義，在函數(shù)非負(fù)時(shí)定積分值為與x軸圍成的區(qū)域的面積，在函數(shù)小于零時(shí)，定積分值為與x軸圍成的區(qū)域的面積的負(fù)值，所以

而最后一個(gè)積分很容易通過(guò)三角變換積分出來(lái).我們相信，有了上面的兩個(gè)圖形，學(xué)生一定對(duì)定積分的幾何意義有很深刻的了解，也很容易的記住一些積分結(jié)論.

4 分別利用通俗的語(yǔ)言和圖形理解函數(shù)的凹凸性與極值

在講到函數(shù)的凹凸性及函數(shù)的極值時(shí)，幾乎所有教材都是先給出凸函數(shù)的定義，然后再用函數(shù)的一階導(dǎo)函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)增或單調(diào)減來(lái)判斷原函數(shù)是凸函數(shù)或凹函數(shù)，也可以用函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)是否大于零來(lái)判斷，學(xué)生對(duì)此理解不深，記不住哪個(gè)是哪個(gè)，很容易搞混.

圖5

我們可以用下面的很通俗的語(yǔ)言來(lái)描述凹凸函數(shù)，比如①學(xué)生每月的花費(fèi)以越來(lái)越快的速度在上漲；②學(xué)生每月的花費(fèi)繼續(xù)增長(zhǎng)，但是速度越來(lái)越慢.首先讓學(xué)生琢磨這兩句話，理解其表達(dá)的意思，然后繪制相應(yīng)的函數(shù)圖形，如圖5(a)和圖5(b).教師再分別解釋，①其實(shí)是說(shuō)明花費(fèi)函數(shù)曲線的切線斜率在增加，花費(fèi)函數(shù)是凸函數(shù)，而②的花費(fèi)函數(shù)曲線的切線斜率在減少，花費(fèi)函數(shù)是凹函數(shù).函數(shù)的凹凸性就比較容易區(qū)分清楚了.

當(dāng)然，也會(huì)有教師說(shuō)，仍然有部分學(xué)生在判斷函數(shù)極值和凹凸性時(shí)，左顧右盼的，拿不定主意.那么，我們也可以用下面簡(jiǎn)單有趣但是很形象的“臉譜圖案”來(lái)表示，如圖6.圖6(a)是一個(gè)哭臉，兩個(gè)減號(hào)表示眼睛閉著，代表函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，下彎的嘴形就代表局部極大值，相應(yīng)函數(shù)就是凹函數(shù)，圖6(b)是一個(gè)笑臉，兩個(gè)加號(hào)當(dāng)做眼睛，微笑的嘴形當(dāng)然就代表局部極小值，當(dāng)然原函數(shù)是凸函數(shù)了.我們相信，有這兩個(gè)可愛(ài)的“臉譜圖案”，學(xué)生一定能將函數(shù)的極值和凹凸性記清楚.

(a) 極大值和凹函數(shù) (b) 極小值和凸函數(shù)圖6 臉譜圖案表示函數(shù)凹凸性和極值

5 結(jié)束語(yǔ)

本文探討了如何借助幾何圖形理解高等數(shù)學(xué)中一些抽象的結(jié)論.通過(guò)案例說(shuō)明，借助幾何圖形，可以直觀、形象的理解高等數(shù)學(xué)中的一些概念和結(jié)論，把“令人生畏”的高等數(shù)學(xué)的教學(xué)變得“生動(dòng)有趣”.特別是在探索教學(xué)改革的今天， 在教學(xué)中盡量把一些比較抽象、較難記住、難理解的知識(shí)結(jié)論，通過(guò)學(xué)生自己繪圖，自己觀察結(jié)論，以學(xué)生最容易接受的形式表達(dá)出來(lái)，對(duì)于減少學(xué)生的理解障礙，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣有著重要積極的意義.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要(2010-2020年)[DB]. http:∥www.gov.cn/jrzg/2010-07/29/content_1667143.htm.

[2] 王綿森，馬知恩. 工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)(上冊(cè))[M]. 北京：高等教育出版社，2006:51-52.

[3] 李繼成. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M]. 北京：高等教育出版社，2006: 13-21.

[4] Dale Varberg, Edwin J Purcell, Steven E Rigdon. 微積分[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2009: 148-149.

[5] Colin Adams, Joel Hass, Abigail Thompson, 微積分之屠龍寶刀[M]. 長(zhǎng)沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2004: 102-103.