孫麗雪， 李永彬， 林 晨

(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川成都611731)

1 引 言

高等代數(shù)中介紹了線性子空間的交與和，對(duì)于線性子空間的并，多數(shù)教材中并未詳細(xì)討論.本文主要討論了特征為零的域上的有限維線性空間中有限個(gè)非平凡子空間的并這個(gè)問(wèn)題，并試圖用更本質(zhì)的方法證明：特征為零的域上的有限維線性空間中互不包含的非平凡子空間的并不能構(gòu)成線性子空間.

文獻(xiàn)[1]中給出了一個(gè)相當(dāng)巧妙的證明，本文一方面結(jié)合商空間的維數(shù)公式給出一個(gè)改進(jìn)證法，另一方面結(jié)合代數(shù)幾何中仿射代數(shù)簇的一個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)給出了另一個(gè)更為簡(jiǎn)潔的證法.

首先，對(duì)于線性空間的子空間，在各版教材(文獻(xiàn)[1],[2],[3])習(xí)題中有下述結(jié)論，設(shè)Fn是數(shù)域F上的全體n維向量構(gòu)成的線性空間，則Fn的任一子空間V1必至少是一個(gè)n元齊次線性方程組的解子空間.而商空間是我們不太熟悉的一個(gè)概念，在文獻(xiàn)[2]中詳細(xì)介紹了這個(gè)概念及商空間的維數(shù)公式.

從上述線性空間中任一子空間與齊次線性方程組解子空間的關(guān)系，及商空間的維數(shù)公式，文中討論了特征為零的域上的有限維空間上有限個(gè)子空間的并集是否是子空間這一問(wèn)題，并且給出否定回答，從而這個(gè)并集不是原來(lái)的線性空間.

其次，由線性子空間與仿射簇概念的相似性，引出仿射簇的定義.從而考慮仿射簇的并，不同的是仿射簇雖與子空間定義類(lèi)似，但仿射簇的定義方程不要求是線性的，從而仿射簇的并與子空間的并的性質(zhì)也不相同，由此可以更好地理解子空間與仿射簇的區(qū)別.

最后，由每個(gè)線性子空間可以找到一個(gè)包含它的仿射簇，從仿射簇的角度，同樣得出，該并集不是原來(lái)的線性空間.

2 特征為零的域上的有限維線性空間V上子空間的并集

在線性空間這一章中，有下述結(jié)論：

為證明上述定理，通常證明V中至少有一個(gè)向量不屬于W1,W2,…,Ws中任何一個(gè)，并用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證.即先證明s=2時(shí)定理成立，然后設(shè)s=k時(shí)成立，證明s=k+1時(shí)定理也成立即可，詳見(jiàn)[2].

下面首先介紹域的特征的概念.

定義1設(shè)F為域，如果存在最小的正整數(shù)n，使得對(duì)所有的a∈F，有na=0，則稱(chēng)n為域F的特征.如果這樣的正整數(shù)不存在，則稱(chēng)域F的特征為零.

注意，特征為零的域一定是無(wú)限域.因?yàn)橛邢抻蚩梢钥醋麝P(guān)于加法運(yùn)算構(gòu)成了一個(gè)群，所以這個(gè)群的階數(shù)就是有限的，從而一定存在最小的正整數(shù)n，使得對(duì)于域中所有的元素a，都有na=0.

再來(lái)介紹商空間的一些知識(shí).

對(duì)于α1,α2∈V,c∈F，在V/W中定義加法和數(shù)乘如下：

定義2[2]設(shè)W是域F上線性空間V的子空間，V/W是V對(duì)模W的同余類(lèi)全體，則V/W是域F上的線性空間，稱(chēng)為商空間.

引理1[2]商空間的維數(shù)公式：dimV/W=dimV-dimW

以下在[1]中證法的基礎(chǔ)上，借助引理1，我們給出定理1的一個(gè)替代的證明.

證法一用反證法.假設(shè)W=W1∪W2∪…∪Ws構(gòu)成子空間，且不妨設(shè)W?Fn.由于任一線性空間的子空間都是一個(gè)齊次線性方程組的解子空間，對(duì)每個(gè)i(i=1,2,…,s)，不妨設(shè)Wi均為n-1維子空間(不然將Wi擴(kuò)大即可)，設(shè)以Wi為解子空間的線性方程分別為

ai1x1+ai2x2+…+ainxn=0，i=1,2,…,s.

由這些方程導(dǎo)出關(guān)于未定元T的多項(xiàng)式

fi(T)=ai1+ai2T+ai3T2+…+ainTn-1，i=1,2,…,s.

對(duì)每一個(gè)i，fi(T)最多有n-1個(gè)根，故這些多項(xiàng)式最多有s(n-1)個(gè)根.而F中有無(wú)限多個(gè)元素，因此存在t∈F，使得fi(t)≠0，即

ai1+ai2t+ai3t2+…+aintn-1≠0，i=1,2,…,s.

注 該以上證法與[1]中給出的證法沒(méi)有太大的差異，但能較好的理解定理1的結(jié)論.下節(jié)給出一種更為簡(jiǎn)潔和本質(zhì)的證法.

3 另一種證法

由線性子空間與仿射簇二者概念的相似性，引入下面仿射簇的概念，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[5].

定義3[5]設(shè)F是一個(gè)域，f1,f2,…,fs是Fx1,x2,…,xn中的多項(xiàng)式.令集合

V(f1,f2,…,fs)=(a1,a2,…,an)∈Fn對(duì)所有的1≤i≤s都有fi(a1,a2,…,an)=0，

則稱(chēng)V(f1,f2,…,fs)是由f1,f2,…,fs定義的仿射簇.

由定義可知，V(f1,f2,…,fs)是使得所有f1,f2,…,fs等于零的點(diǎn)的集合.線性空間的任一子空間對(duì)應(yīng)一個(gè)n元齊次線性方程組的解子空間，而在仿射簇的定義中沒(méi)有要求它的定義方程是線性的，因而子空間可以看作是特殊的仿射簇，仿射簇是子空間的推廣.那么對(duì)應(yīng)子空間的并，仿射簇的并還是仿射簇嗎？下面定理2講述了這個(gè)問(wèn)題.

定理2如果V,W?Fn是仿射簇，證明V∪W也是仿射簇.

證假設(shè)V=V(f1,f2,…,fk)，W=V(g1,g2,…,gl)，其中k和l為正整數(shù).則有V∪W=V(fpgq:1≤p≤k,1≤q≤l).一方面，如果(a1,a2,…,an)∈V，那么所有的fp在這一點(diǎn)為0，也就蘊(yùn)含著所有的fpgq在(a1,a2,…,an)點(diǎn)也等于0.因此V?V(fpgq).類(lèi)似地，有W?V(fpgq).這就證明了V∪W?V(fpgq).

另一方面，取(a1,a2,…,an)∈V(fpgq)，如果該點(diǎn)在V中，那么就完成了證明.如果該點(diǎn)不在V中，那么對(duì)某個(gè)p0，有fp0(a1,a2,…,an)≠0.又因?yàn)閒p0gq對(duì)所有的q，在(a1,a2,…,an)點(diǎn)都等于0，那么gq一定在這個(gè)點(diǎn)為0，這就證明了(a1,a2,…,an)∈W.于是得到V(fpgq)?V∪W.

綜上有V∪W=V(fpgq).因此V∪W也是仿射簇.

從定理2的證明過(guò)程可見(jiàn)下述推論1顯然成立.

推論1設(shè)f,g∈Fx1,x2,…,xn，則有V(f)∪V(g)=V(fg).

定理2蘊(yùn)含著有限個(gè)仿射簇的并集還是仿射簇，只需將這有限個(gè)仿射簇的定義方程寫(xiě)出來(lái)即可證明.

從定理2可以看到子空間的并不同于仿射簇的并，二者既有聯(lián)系又有區(qū)別.

以下從仿射簇的角度證明定理1.

定理1證法二與第一種證法類(lèi)似，對(duì)每個(gè)i，不妨設(shè)Wi均為n-1維子空間(不然將Wi擴(kuò)大即可)，設(shè)以Wi為解子空間的線性方程分別為

ai1x1+ai2x2+…+ainxn=0，i=1,2,…,s.

對(duì)于每個(gè)i，ai1x1+ai2x2+…+ainxn=0表示一個(gè)超平面.

顯然g為s次齊次多項(xiàng)式，現(xiàn)設(shè)h=g(1,t,…,tn-1)∈F[t]，則有h(t)在F上最多有有限個(gè)根. 而F中有無(wú)限多個(gè)元素，因此存在tj∈F(j=0,1,2,…,n-1)，使得h(tj)≠0.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 張賢科,許甫華.高等代數(shù)學(xué) [M]. 2版.北京:清華大學(xué)出版社，2004.

[2] 丘維聲.高等代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書(shū)(上、下冊(cè))[M].北京:清華大學(xué)出版社，2009.

[3] 黃廷祝,何軍華,李永彬.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社，2012.

[4] 韓士安,林磊.近世代數(shù) [M]. 2版.北京:科學(xué)出版社，2009.

[5] David Cox,John Little,Donal o’shea.Ideal Varieties,and Algorithms [M]. 2nd. Ed. New York: Springer，2006.