江 梅， 何漢林

(海軍工程大學理學院，湖北武漢430033)

1 引 言

1988年由Chua和Yang[1]首次提出的細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(CNNs)模型，是當前最流行、研究最廣泛的人工神經(jīng)網(wǎng)絡之一.由于其神經(jīng)元間局部連接的特點，使得在超大規(guī)模集成電路(VLSI)實現(xiàn)中，能輸出分段函數(shù)信號，且運行速度較快.細胞神經(jīng)網(wǎng)絡在圖像處理、模式識別、優(yōu)化控制、聯(lián)合存儲等諸多領域得到了廣泛應用.細胞神經(jīng)網(wǎng)絡中包括了飽和的非線性單元，因此關于飽和非線性系統(tǒng)的研究更為重要.而神經(jīng)網(wǎng)絡中存在時滯現(xiàn)象是很普遍的，諸如信號傳遞時滯、細胞時滯、突觸時滯等，這些時滯可能會導致神經(jīng)網(wǎng)絡失去穩(wěn)定性.1990年，Chua和Roska提出時滯細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(DCNN)概念，狀態(tài)方程為

(1)

在過去幾十年里，一些學者運用Lyapunov-Krasovskii定理、Lyapunov-Razumikhin定理、線性矩陣不等式(LMI)技巧及隨機分析方法等提出了諸多針對時滯細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定準則[2-4].保性能控制方法就被引用到了其中.保性能控制問題，主要針對具有參數(shù)不確定性的系統(tǒng)，通過控制律的設計，不僅使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，而且使得閉環(huán)系統(tǒng)的性能指標不超過某個確定的上界.運用LMI方法可設計保性能控制器并處理各種附加約束.

LMI憑借其優(yōu)良性質(zhì)廣泛應用于控制系統(tǒng)分析和設計等領域，與Lyapunov方程和Riccati方程[5]相比，LMI不需要調(diào)整任何參數(shù)和對稱正定矩陣，其通用性和可解性對時滯系統(tǒng)以及不確定時滯系統(tǒng)的研究具有十分重要的理論意義和應用價值.隨著LMI的內(nèi)點法的提出以及MATLAB軟件中LMI工具箱的推出，LMI已成為系統(tǒng)與控制領域研究中的熱門工具.LMI控制工具箱提供了在魯棒控制設計中所遇到的凸最優(yōu)化問題的解，同時給出了一個用于求解LMI的集成環(huán)境.用LMI技術求解控制問題，是目前和今后控制理論發(fā)展的一個重要方向.

本文介紹了LMI的相關概念和性質(zhì)，對Schur補引理提出引理，將二次矩陣不等式(QMI)轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式(LMI)，從而更好的應用于控制參數(shù)求解；提出了LMI的基本問題和MATLAB工具箱，并對LMI在細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的保性能控制問題作出了簡要描述.

2 線性矩陣不等式(LMI)的相關概念[6-7]

2.1 LMI描述

定義線性矩陣不等式的一般形式如下：

F(x)=F0+x1F1+…+xnFn<0，

(2)

其中F0，F(xiàn)1,F2，…,Fn是給定的實對稱矩陣,x1,x2,…,xn是n個實數(shù)變量，稱為線性矩陣不等式的決策變量，x=x1,x2,…,xnT∈n是由決策變量構(gòu)成的向量，稱為決策向量.F(x)<0表示F(x)負定，即對所有非零的向量α∈n，αTF(x)α<0.若F(x)≤0，則相應的矩陣不等式稱為非嚴格的線性矩陣不等式.

多個LMI可用一個LMI表示，即F1(x)<0,F2(x)<0,…,Fn(x)<0等價于

diagF1(x),…,Fn(x)<0.

(3)

2.2 LMI性質(zhì)

性質(zhì)1凸性：Φ=x|F(x)<0是一個凸集.

對任意的x1,x2∈Φ，任意α∈(0,1)，由于Fx1<0,Fx2<0，F(xiàn)(x)是一個仿射函數(shù)，因此Fαx1+1-αx2=αFx1+1-αFx2<0.故αx1+1-αx2∈Φ，即Φ是凸的.

性質(zhì)2有限個LMI凸集的交集也是凸集，并可以等價地用一個LMI表示.

設F1(x)<0,F2(x)<0，交集x|F1(x)<0∩x|F2(x)<0，也可表示為

因為一個對稱的塊對角矩陣正定(半正定或負定)當且僅當它的對角塊矩陣正定(半正定或負定).

2.3 引理

引理1(Schur補引理) 考慮一個矩陣X∈n×n，分塊，下列三個條件等價：

(i)X<0;

(4)

其中X11∈r×r，X11和X22是對稱矩陣，X12是變量x的仿射函數(shù)，稱為X11在X中的Schur補.

Schur補引理的特點是可將一類凸非線性不等式轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式，從而更方便進行求解.在控制理論中，主要常使用下列兩種矩陣不等式：

(i) Lyapunov不等式

ATX+XA+Q<0；

(5)

(ii) Riccati不等式

ATX+XA+XBTBX+Q≤0,

(6)

其中X=XT∈n×n.易得式(5)是線性矩陣不等式，式(6)含有二次項XBTBX，故此式是二次線性矩陣不等式.利用Schur補引理，可將其變成線性矩陣不等式.即

(7)

引理2[14]假設X22<0,D>0，下列二次矩陣不等式

(8)

成立當且僅當

(9)

其中X11∈p×p,X12∈p×q,X22∈q×q,H∈d×p,D∈d×d,,,DT=D.

引理2實際上是Schur引理的一個推廣，即對一個含多個未知矩陣的矩陣不等式多次使用Schur引理.當X22<0時，可將一個二次矩陣不等式轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式.

2.4 LMI工具箱的三個標準問題

基于內(nèi)點法，Matlab軟件開發(fā)出功能強大的LMI工具箱算法，這是求解一般線性矩陣不等式問題的一個高性能軟件包.一旦確定線性矩陣不等式問題，即可通過調(diào)用三個標準LMI問題的求解函數(shù)對問題進行數(shù)值求解.

(i) 可行解問題(LMIP)： 給定一個形如(2)式的線性矩陣不等式，判斷是否存在可行解xp使得線性矩陣不等式F(xp)>0成立.如果該LMI凸集非空，即xp存在，稱該線性矩陣不等式是可行的；否則，該線性矩陣不等式不可行.其相應的MATLAB求解器是feasp.

(ii) 特征值問題(EVP)： 在LMI約束下將一個矩陣的最大特征值極小化.當A,B是變量x的對稱矩陣.EVP問題等價于一個帶有不等式約束的凸優(yōu)化問題：

minλ, s.t.λI-A(x)>0,B(x)>0.

(10)

此問題在系統(tǒng)和控制理論中應用較多，相應的MATLAB求解器是mincx.

(iii)廣義特征值最小化問題(GEVP)：在LMI約束下將一對方陣的廣義最大特征值極小化.

形如

minλmaxA(x),B(x), s.t.B(x)>0,C(x)>0.

(11)

此外，該工具箱還可以用于綜合多目標控制器設計，系統(tǒng)魯棒性分析和檢測，系統(tǒng)辨識、濾波、結(jié)構(gòu)設計等問題.

3 LMI在細胞神經(jīng)網(wǎng)絡保性能控制中的應用

LMI方法給出了問題可解的一個凸約束條件，因此可應用求解凸優(yōu)化問題的方法來求解LMI，無需預先調(diào)整任何參數(shù)和正定對稱矩陣，大大降低了求解問題的保守性.基于LMI方法得到的結(jié)果大多是時滯依賴的，與時滯獨立的設計方法相比，保守性較差.目前的研究方向是如何合理選擇Lyapunov函數(shù)，通過適當?shù)牟坏仁阶儞Q，得到一個或者多個LMI來保證閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定，且同時提高系統(tǒng)的性能.

由于LMI方法的高效求解方法，國內(nèi)外學者將其廣泛應用于保性能控制的研究.利用LMI方法，Yu Li[8]針對一類線性不確定時滯系統(tǒng)給出了保性能控制的研究，并給出了無記憶狀態(tài)反饋保性能控制器的存在條件和設計方法.Guan[9]等研究了基于T-S模型的具有時滯依賴的保性能控制問題，Lien[10]研究了基于LMI的中立型變時滯系統(tǒng)的時滯獨立和時滯依賴的保性能控制問題，用LMI求解穩(wěn)定性問題，給出了控制器的設計方法.

由于細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的時滯現(xiàn)象極其常見，且這些時滯很可能導致神經(jīng)網(wǎng)絡失去穩(wěn)定，導致混沌現(xiàn)象，影響細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的性能.在He[11-14]等近期的論文中，根據(jù)細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的特點，將飽和激勵函數(shù)通過大中取大方法轉(zhuǎn)化為若干個頂點的控制問題，并根據(jù)Lyapunov-Krasovskii定理[11-12]、Lyapunov-Razumikhin定理[13-14]、利用引理2及合同變換、LMI技巧等理論提出了變時滯細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的一類新型保性能混沌同步及鎮(zhèn)定控制器，其中利用Razumikhin定理，可以去掉系統(tǒng)對時滯變化率上界的限制.文獻[11-14]進一步利用線性矩陣特征值問題的最小化工具箱提出使細胞神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)二次型性能指標式最小化問題的同步及鎮(zhèn)定控制器的條件.通過仿真實例和計算得出的保性能函數(shù)上界的值及最小化保性能函數(shù)上界的值，文獻[11-14]證實了保性能混沌同步及鎮(zhèn)定控制器及最小化保性能混沌同步及鎮(zhèn)定控制器的有效性.

在解決問題時，一般先將各個性能指標與其相應的LMI可解條件一一對應提出QMI，通過Schur補引理及引理2轉(zhuǎn)化為LMI問題，再利用LMI的線性特性，把與各目標相對應的LMI組合成統(tǒng)一的約束框架，而后考慮二次性能函數(shù)：

(12)

其中Q>0,R>0，J存在上界，主要目標是通過設計保性能控制律u(t)，最終使得細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(1)全局漸近穩(wěn)定.下面簡要敘述保性能控制律的主要設計過程.

對矩陣X=(xij)n×n∈n×n，其第i列可表示為xi=(x1i,x2i,…,xni)T.令

其中vi=0或1.定義集合Φ=v∈n:vi=0或1，則集合Δ(v,X)含有2n個元素.

定理[14]基于(1)和(12)，若存在對稱正定矩陣P∈n×n，矩陣K∈n×n，則對所有v,w滿足

(13)

可找到一個控制律u(t)=-Kx(t)為全局保性能穩(wěn)定控制律，使得(1)全局漸近穩(wěn)定.

4 結(jié) 論

本文對線性矩陣不等式問題作出了簡要描述，介紹了其中細胞神經(jīng)網(wǎng)絡中的保性能控制應用.文章討論了其基本性質(zhì)和幾個標準的LMI問題，運用Schur補引理和引理2，從而將一個二階矩陣不等式問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式問題，介紹了在MATLAB控制工具箱中的功能和應用，并對LMI在細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的保性能控制問題作出了簡要描述.

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