錢 江, 王 凡, 吳云標(biāo)

(1.河海大學(xué)理學(xué)院, 南京210098； 2.南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院基礎(chǔ)課部，南京210031; 3.河海大學(xué)文天學(xué)院基礎(chǔ)部, 安徽馬鞍山243031)

1 引 言

“一致收斂性”是函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)更強(qiáng)意義下的收斂性，強(qiáng)調(diào)的是所尋找的N=N(ε),與普通意義下的收斂性所尋求的N=N(ε,x)有本質(zhì)的區(qū)別，這是初學(xué)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析[1]或高等數(shù)學(xué)A課程時(shí)容易困惑的一個(gè)知識(shí)點(diǎn). 近年來，從教學(xué)目的出發(fā)，人們對(duì)函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性問題進(jìn)行了一些研究. 葛仁福[2]結(jié)合函數(shù)列與函數(shù)一致連續(xù)的性質(zhì)，得到了函數(shù)列一致收斂的新判別法. 傅湧[3]利用函數(shù)列的等度連續(xù)性, 得出了若干有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)列一致收斂的充要條件, 推廣了Dini定理. 張麗君[4]利用Abel變換等方法, 獲得了復(fù)空間中三角級(jí)數(shù)在滿足一定條件下一致收斂的充要條件. 周項(xiàng)平[5]給出了關(guān)于具有微少改變系數(shù)的三角級(jí)數(shù)一致收斂性的本質(zhì)推廣結(jié)果.

然而，函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性所發(fā)揮的作用應(yīng)不限于數(shù)學(xué)分析，如徐業(yè)基[6]改進(jìn)和推廣了平穩(wěn)隨機(jī)過程的采樣定理，并求出了它的一致收斂速度及誤差估計(jì).這些關(guān)于一致收斂性與其它學(xué)科相聯(lián)系的理論研究值得我們思考，這樣不論是數(shù)學(xué)分析等基礎(chǔ)課程還是其它課程教學(xué)都能讓學(xué)生感受到這一概念的重要性. 故而，作者根據(jù)自身實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與學(xué)生學(xué)習(xí)困惑，考慮有關(guān)函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)“一致收斂性”在說明計(jì)算方法、數(shù)值分析[7]與數(shù)值逼近[8,9]課程中相關(guān)知識(shí)點(diǎn)起著怎樣的作用？這些相關(guān)知識(shí)點(diǎn)主要包括Lagrange插值多項(xiàng)式序列是否一致收斂于被插函數(shù)、與插值型求積公式序列是否收斂于積分的真值等？本文主要研究分段低次插值序列一致收斂性問題，圍繞如下問題展開.

問題1怎樣條件下，插值多項(xiàng)式序列

pn(x)→→f(x),n→∞,x∈[a,b]？

問題2如何選取插值節(jié)點(diǎn)，使得

|w(x)|=|(x-x0)(x-x1)…(x-xn)|=min？

問題3設(shè)互異插值節(jié)點(diǎn)a=x0

2 一致收斂與插值序列

定義2.1[1]設(shè)函數(shù)列fn(x)與函數(shù)f(x),x∈D,若?ε>0,?N(ε)∈, 使得當(dāng)n>N時(shí)，對(duì)一切x∈D,都有

|fn(x)-f(x)|<ε,

則稱函數(shù)列fn(x)在D上一致收斂于f(x), 記作

數(shù)值逼近[8，9]或數(shù)值分析[7]中，我們首先學(xué)習(xí)到的是完善的一元多項(xiàng)式插值理論. 由于考慮插值序列的一致收斂性，因此先給出插值余項(xiàng).

定理2.1[7，9]設(shè)f(x)∈Cn+1[a,b],pn(x)為n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)諸xi上的n次Lagrange插值多項(xiàng)式，則有插值余項(xiàng)

其中w(x)=(x-x0)…(x-xn),ξ∈(a,b).

由于插值多項(xiàng)式序列未必總是一致收斂于被插函數(shù)[8，9]，如Runge現(xiàn)象，因此人們自然思考怎樣條件下，插值多項(xiàng)式序列一致收斂于被插函數(shù).

這問題的解決方法頗多，為避免高次插值可能出現(xiàn)的Runge現(xiàn)象，典型的處理方法：或選取Chebyshev零點(diǎn)作為插值節(jié)點(diǎn)，或利用分段低次插值取代高次插值.

定理2.2[8，9]設(shè)f(x)∈C2[-1,1], 插值節(jié)點(diǎn)取為Chebyshev零點(diǎn)

(2.1)

則在[-1,1]上pn-1(x)→→f(x),n→∞.

3 分段低次插值序列

設(shè)互異插值節(jié)點(diǎn)a=x0

數(shù)值分析教材上從數(shù)值算例說明了分段低次插值的優(yōu)越性，而未從理論上加以證明，這往往受教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)時(shí)間的制約.下面分析分段低次插值基函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)列一致收斂概念來研究分段低次插值序列的一致收斂性.

定理3.1[7]設(shè)f(xk)=fk,a=x0

I1,h=lk-1fk-1+lkfk,x∈[xk-1,xk],

(3.1)

其中

(3.2)

注3.1 基函數(shù)滿足單位分解性

lk(x)+lk+1(x)=1,x∈[xk,xk+1],

(3.3)

且諸lk(x)≥0.

I1,h→→f(x),n→∞.

證利用連續(xù)模定義：

與基函數(shù)的單位分解性，有

|f(x)-I1,h(x)| ≤lk(x)|f(x)-fk|+lk+1(x)|f(x)-fk+1|

≤(lk(x)+lk+1(x))|w(hk)|≤w(hk)≤w(h)

?I1,h→→f(x),h→0+,

且均勻剖分下結(jié)論顯然成立.

若采用Lagrange線性插值余項(xiàng)公式證明[7]，則需要條件f(x)∈C2[a,b].

其中

(3.4)

注3.2 基函數(shù)性質(zhì)：

(3.5)

事實(shí)上，容易驗(yàn)證(3.5)的第一式；而對(duì)于其第二、三不等式，由(3.4)式不難求出βk(x),βk+1(x)的最大值，從而得證.

對(duì)區(qū)間均勻剖分與非均勻剖分時(shí)的分段三次Hermite基函數(shù)αk(x)分別如圖1所示，每張圖中的實(shí)線與虛線分別表示(3.4)式α(x)兩部分曲線. 同時(shí)，對(duì)區(qū)間均勻剖分與非均勻剖分時(shí)的分段三次Hermite基函數(shù)βk(x)分別如圖2所示，每張圖中的實(shí)線與虛線分別表示(3.4)式β(x)兩部分曲線.

圖1 均勻(左)與非均勻(右)剖分上的分段三次Hermite基函數(shù)αk(x)

圖2 均勻(左)與非均勻(右)剖分上的分段三次Hermite基函數(shù)βk(x)

I3,h→→f(x),n→∞.

證利用連續(xù)模定義、Lagrange中值定理以及基函數(shù)的性質(zhì)，有

?I3,h→→f(x),h→0+.

均勻剖分下結(jié)論顯然成立.

若采用三次Hermite插值余項(xiàng)公式證明[7]，則需要條件f(x)∈C4[a,b].

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M].4版.北京：高等教育出版社, 2010.

[2] 葛仁福. 函數(shù)列一致收斂判別法[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2011, 27(4): 179-181.

[3] 傅湧. 有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)列一致收斂的充要條件[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2007, 23(3): 117-120.

[4] 張麗君. 三角級(jí)數(shù)一致收斂性問題在復(fù)空間的完整推廣[J]. 數(shù)學(xué)雜志, 2012, 32(3): 461-465.

[5] ZHOU Songping. A Remark on the Uniform Convergence of Certain Trigonometrie Series[J]. 數(shù)學(xué)進(jìn)展, 2007, 36(2): 239-244.

[6] 徐業(yè)基. 關(guān)于平穩(wěn)隨機(jī)過程的采樣定理的一致收斂速度[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2009, 25(6): 48-51.

[7] 李慶揚(yáng), 王能超, 易大義. 數(shù)值分析[M].5版. 北京：清華大學(xué)出版社, 2008.

[8] 徐利治, 王仁宏, 周蘊(yùn)時(shí). 函數(shù)逼近的理論與方法[M]. 上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社, 1983.

[9] 王仁宏. 數(shù)值逼近[M]. 北京：高等教育出版社, 1999.