陳麗華 孫玥 張偉

(北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 100124)

三階剪切變形板的振動(dòng)特性研究*

陳麗華 孫玥 張偉?

(北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 100124)

對(duì)于中厚板或?qū)雍习宥?，橫向剪切變形的影響是顯著的，采用三階剪切變形理論比采用經(jīng)典薄板理論和一階剪切變形理論能更好的滿(mǎn)足精度的要求，而且能更好地描述板的剪切變形和剪應(yīng)力沿厚度方向的分布情況．本文用解析的方法研究了簡(jiǎn)支、自由和固定三種邊界條件的任意組合下三階剪切變形板的自由振動(dòng)問(wèn)題．首先應(yīng)用哈密頓原理建立自由振動(dòng)方程，再通過(guò)引入中間變量使得原來(lái)耦合的自由振動(dòng)方程得到解耦和簡(jiǎn)化，基于分離變量法，利用邊界條件得到基函數(shù)的表達(dá)式，利用Rayleigh－Ritz法，求得三階剪切變形板在任意邊界條件下的固有頻率和振型．本文得到的結(jié)果可以為厚板在工程中的應(yīng)用提供理論依據(jù)，具有較高的工程實(shí)際應(yīng)用價(jià)值．

板， 三階剪切變形理論， 固有頻率， 振型， Rayleigh－Ritz法

引言

在關(guān)于板振動(dòng)問(wèn)題的研究中，主要是基于經(jīng)典薄板理論［1］、一階剪切變形理論［2］和三階剪切變形理論［3］這幾種理論進(jìn)行研究．對(duì)于厚板和層合板，采用三階剪切變形理論比采用克?；舴虻慕?jīng)典薄板理論和一階剪切變形理論能更好的滿(mǎn)足精度的要求，而且能更好地描述板的剪切變形和剪應(yīng)力沿厚度方向的分布情況．通常不同的板理論適用于不同厚度的板，一般來(lái)說(shuō)，經(jīng)典薄板理論適用于薄板，一階剪切變形理論適用于中厚板，而三階剪切變形理論適用于厚板和層合板．

對(duì)于經(jīng)典薄板理論，以往許多文獻(xiàn)研究的都是兩對(duì)邊簡(jiǎn)支薄板的自由振動(dòng)問(wèn)題．但是Leissa［4］給出了任何邊界條件組合下薄板振動(dòng)的精確解析解．對(duì)于中厚板，橫向剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響不能忽略，許多學(xué)者［5－7］基于一階剪切變形理論用能量法［8－12］來(lái)研究板的振動(dòng)問(wèn)題．最近，Akhavan et al．［13］用這種方法研究了鐘陽(yáng)［14］等人基于此理論將中厚板自由振動(dòng)問(wèn)題導(dǎo)入哈密頓體系，然后利用辛幾何中的分離變量和本征函數(shù)展開(kāi)的方法求出了對(duì)邊簡(jiǎn)支板自由振動(dòng)的精確解．在彈性地基上受面內(nèi)載荷作用的矩形Mindlin板．然而一階剪切變形理論里的剪切修正因子的選取不僅與板的幾何參數(shù)有關(guān)，還與邊界條件和載荷有關(guān)．

對(duì)于三階剪切變形理論，Reddy和 Phan［15］基于此理論給出了四邊簡(jiǎn)支各向同性、各向異性和層合矩形板自由振動(dòng)和屈曲問(wèn)題的精確解．Dong［16］基于三階剪切變形理論運(yùn)用了平均應(yīng)力法簡(jiǎn)支矩形板的振動(dòng)問(wèn)題．Hanna和Leissa［17］又用此理論研究了完全自由的矩形板振動(dòng)問(wèn)題．Matsunaga［18］基于三階剪切變形理論通過(guò)哈密頓原理和Navier方法研究了簡(jiǎn)支矩形板的穩(wěn)定性和自由振動(dòng)問(wèn)題．但是到目前為止，對(duì)于任意邊界條件下基于三階剪切理論的板振動(dòng)問(wèn)題的解析方法還沒(méi)有人研究．

本文介紹了一種基于三階剪切變形理論來(lái)研究厚板橫向振動(dòng)問(wèn)題的解析方法，給出了求解不同邊界條件下的固有頻率和振型函數(shù)的過(guò)程．

1 建立自由振動(dòng)方程

基于三階剪切變形理論，位移函數(shù)的表達(dá)式可以寫(xiě)成:

(1)式中w0為板中面內(nèi)任意點(diǎn)(x，y)的橫向位移，φx，φy分別為板中面的法線(xiàn)繞y軸和x軸的轉(zhuǎn)角．

對(duì)曲率和應(yīng)變進(jìn)行以下定義:

則得到廣義內(nèi)力Mx，My，Mxy，Qx，Qy，Px，Py，Pxy，Rx，Ry和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ii(i=0，3，5，7)的表達(dá)式:

E，G，h分別為板的彈性模量，剪切模量和厚度．

運(yùn)用Hamilton原理，得到自由振動(dòng)的方程:

邊界條件包括位移邊界條件和力的邊界條件兩類(lèi):

可以看出每個(gè)邊上有四個(gè)邊界條件，任意邊界條件是指位移和力邊界條件的任意組合，工程上常用的是固定、簡(jiǎn)支和自由三種情況的任意組合．

2 自由振動(dòng)方程的求解

通過(guò)得到的三階剪切變形板自由振動(dòng)方程(12)式可以看出:這是3個(gè)變量w0，φx和 φy相互耦合的偏微分方程組．對(duì)于四邊簡(jiǎn)支的情況，已有文獻(xiàn)［14］直接給出了其振型函數(shù)的表達(dá)式．但是，對(duì)于任意邊界條件，三階剪切變形板自由振動(dòng)解的形式不能通過(guò)分離變量的方法直接求得，因此本文通過(guò)引入中間變量，經(jīng)過(guò)一系列的推導(dǎo)，使得原來(lái)耦合的振動(dòng)方程得到解耦和簡(jiǎn)化，然后精確給出理論解的表達(dá)式．首先為了進(jìn)行解耦，這里引入一個(gè)中間變量fxy，令

則(12a)式可以寫(xiě)為:

其中

拉普拉斯算子Δ的表達(dá)式為:

由方程(12b－c)和(13)式，方程(12a)還可以改寫(xiě)成下面的形式:

聯(lián)立(14)和(16)兩個(gè)方程，通過(guò)變換消去中間變量fxy，則可以得到只含撓度w0的方程:

下面我們就對(duì)解耦后的方程(17)進(jìn)行求解．首先將撓度w0(x，y，t)中的空間和時(shí)間變量分離，則得到解的表達(dá)式為:

同樣對(duì)于另外兩個(gè)變量φx，φy有

W(x，y)，φx(x，y)，φy(x，y)是振型函數(shù)，ω 是振動(dòng)的固有頻率，其中這些振型函數(shù)可以由x和y方向一系列基函數(shù)的組合來(lái)表示:

為了得到振型函數(shù)，我們需要分別求解基函數(shù)Xi(x)和Yj(y)．本文將x和y方向分開(kāi)考慮，以y方向?yàn)槔?，假設(shè)板在x方向上無(wú)限長(zhǎng)，所有變量只與y有關(guān)，(17)式則化為

假設(shè)上式解的形式為Y(y)=esy，將其代入，于是得到一個(gè)關(guān)于s的特征方程

±s1，±s2，±s3是特征方程的根，且它們是與固有頻率ω相關(guān)的．則基函數(shù)的表達(dá)式可以得到:

其中Ay，By，Cy，Dy，Ey，F(xiàn)y是待定系數(shù)．將上式代入y方向相應(yīng)的邊界條件中

在y=0和y=b處，任取上述兩個(gè)邊界條件，就構(gòu)成了由6個(gè)邊界條件方程得到6個(gè)關(guān)于系數(shù)Ay，By，Cy，Dy，Ey，F(xiàn)y的線(xiàn)性代數(shù)方程組，由方程組有非零解的條件，即這6個(gè)方程的系數(shù)行列式為零，從而求出各階固有頻率ωi的值．把求得的各階固有頻率代入到邊界條件方程中，就求得待定系數(shù)Ayi，Byi，Cyi，Dyi，Eyi，F(xiàn)yi，從而得到y(tǒng)方向基函數(shù)Yi(y)．

對(duì)于x方向，基函數(shù)X(x)的形式與y方向相同，有

同樣，x方向的邊界條件有

同樣方法可以得到x方向各階基函數(shù)的表達(dá)式Xi(x)．

通過(guò)解耦，并利用邊界條件，撓度w0的振型函數(shù)W(x，y)就可以由求得的x和y方向基函數(shù)代入(19)式得到．下面我們開(kāi)始推導(dǎo)轉(zhuǎn)角φx和φy的振型函數(shù)．

首先求出y方向的轉(zhuǎn)角基函數(shù)Φy(y)和撓度基函數(shù)Y(y)的關(guān)系．運(yùn)用單向厚板的表達(dá)式，在(14)式中只考慮y方向(假設(shè)板在x方向無(wú)限長(zhǎng))，所有變量只與y有關(guān)，可以得到:

其中

為了得到Φy(y)與Y(y)的關(guān)系，對(duì)(26)式和(27)式做了如下一系列變換和推導(dǎo):

令(26)式對(duì)y求積分并移項(xiàng)得:

將表達(dá)式 φy(y，t)=Φy(y)·sin(ωt+θ)和w0(y，t)=Y(y)·sin(ωt+θ)代入(29)式，就可以得到Y(jié)(y)和Φy(y)的關(guān)系式:

把前面得到的y方向各階基函數(shù)Yi(y)的表達(dá)式代入到(30)式，就得到各階y方向轉(zhuǎn)角的基函數(shù)Φyi(y)．同樣方法可以得到X(x)和Φx(x)的關(guān)系式:

3 Rayleigh－Ritz法求固有頻率和模態(tài)

對(duì)于三階剪切變形板的自由振動(dòng)問(wèn)題，勢(shì)能和動(dòng)能的表達(dá)式可以寫(xiě)成:

位能函數(shù)

Rayleigh－Ritz法中的試函數(shù)可以選擇滿(mǎn)足邊界條件的振型函數(shù)表達(dá)式:

其中基函數(shù)表達(dá)式Xi(x)和Yj(y)由(22)和(24)式得到．Aij，Bij和Cij為待定系數(shù)．把(18)式代入動(dòng)能的表達(dá)式(32b)式中，得到最大動(dòng)能表達(dá)式

把曲率和應(yīng)變的表達(dá)式(2－5)式，以及廣義內(nèi)力的表達(dá)式(6－8)式以及(18)式代入到勢(shì)能的表達(dá)式(32a)中，得到最大勢(shì)能的表達(dá)式為:

由最小位能原理，得:

由于待定系數(shù)Aij，Bij和Cij相當(dāng)于獨(dú)立的廣義坐標(biāo)，所以變分式可以簡(jiǎn)化為多元函數(shù)的極值條件:

將最大動(dòng)能(35)式和最大勢(shì)能(36)式代入到上式中，就得到一個(gè)關(guān)于待定系數(shù)Aij，Bij和Cij的代數(shù)方程組，一共3×m×n個(gè)．由方程組有非零解的條件，令其系數(shù)行列式為零則可以求得板振動(dòng)的各階固有頻率，將求得的相應(yīng)各階固有頻率數(shù)值帶回原方程組(37)式中，就可以求得相應(yīng)各階的模態(tài)函數(shù)．

經(jīng)過(guò)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，當(dāng)(1)式中χ=0時(shí)，自由振動(dòng)方程(12a－c)中沒(méi)有與 χ有關(guān)的項(xiàng)，即由基于Reddy板理論所推導(dǎo)得到結(jié)果退化為基于Mindlin板理論推導(dǎo)得到的結(jié)果．此時(shí)(22)和(24)式中的s1=0，且所得到的基函數(shù)解的形式和邊界條件與曹志遠(yuǎn)［18］基于Mindlin板理論研究板自由振動(dòng)問(wèn)題所得到的結(jié)果一致，因此可以驗(yàn)證本文所述的方法和推導(dǎo)過(guò)程的正確性．

4 結(jié)論

本文對(duì)于在不同邊界條件下矩形厚板的自由振動(dòng)問(wèn)題給出了精確的解析解．基于三階剪切變形理論，建立了自由振動(dòng)方程，通過(guò)引入中間變量和分離變量法將三個(gè)偏微分方程轉(zhuǎn)化成只含一個(gè)變量的常微分方程．將所求振型函數(shù)寫(xiě)成一系列x和y方向基函數(shù)的組合，再由邊界條件得到基函數(shù)的表達(dá)式，代入Rayleigh－Ritz法中，得到了三階剪切變形板在不同邊界條件下固有頻率和振型函數(shù)的解析表達(dá)式．

由推導(dǎo)的過(guò)程和結(jié)果可以得出以下結(jié)論:

2)由所求得的撓度基函數(shù)Y(y)(或X(x))與轉(zhuǎn)角基函數(shù)Φy(y)(或Φx(x))之間的關(guān)系可以看出，Φy(y)(或Φx(x))的表達(dá)式中包含一個(gè)Y(y)(或X(x))的積分形式，這也是區(qū)別于經(jīng)典薄板理論和Mindlin板理論所得出的結(jié)果．

綜上，本文提出的基于三階剪切變形理論研究厚板自由振動(dòng)的方法和結(jié)果，可以為強(qiáng)迫振動(dòng)或非線(xiàn)性振動(dòng)的研究提供理論基礎(chǔ)，也為厚板的實(shí)際工程應(yīng)用提供理論指導(dǎo)．

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16 Hanna N F，Leissa A W．A higher order shear deformation theory for the vibration of thick plates．Journal of Sound and Vibration，1994，170:545 ～555

17 Matsunaga H．Free vibration and stability of thick elastic plates subjected to in－plane forces．International Journal of Solids and Structures，1994，31:3113～3124

18 曹志遠(yuǎn)，楊昇田．厚板動(dòng)力學(xué)理論及其應(yīng)用．科學(xué)出版社，1983:81～120(Cao Z Y．Plate dynamics theory and applications．Beijing:Science Press，1983:81 ～ 120(in Chinese ))

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(11172011)

? Corresponding author E－mail:sandyzhang0@yahoo．com

STUDY ON VIBRATION CHARACTERISTIC OF THIRD ORDER SHEAR DEFORMATION THEORY OF PLATE*

Chen Lihua Sun Yue Zhang Wei?
(College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology，Beijing University of Technology，Beijing100124，China)

The effect of the transverse shear deformation for Reddy plates or laminated plates is significant．In this case，it can meet the requirements for calculate precision better to use the third order shear deformable theory than to use the classical thin plate theory and the first order shear deformation theory．And it is better to describe the distribution of the plate shear deformation and shear stress varying through the thickness when using the third order shear deformation theory．In this paper，an analytical method is presented for studying the free vibration characteristic of plate using the third order shear deformation theory on different boundary conditions，which are the any combinations of simply supported，free and clamped．Hamilton principle is used to formulate the free vibration equations．Then，by introducing the intermediate variable the original coupling free vibration equations are decoupled and simplified．The fundamental function expressions are obtained basing on the method of separation of variables and the boundary conditions．And the natural frequencies and modal functions are obtained by using the Rayleigh－Ritz method．The method in this paper has a good generality for solving the vibration problems of thick plates under different boundary conditions．The result obtained in this paper can provide a theoretical basis for thick plate＇s application in engineering，and it has relatively high application value．

plates， third order shear deformable theory， natural frequency， modal function， Rayleigh－Ritz method

14 June 2012．

10．6052/1672－6553－2013－059

2012－06－14 收到第1 稿．

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11172011)

E－mail:sandyzhang0@yahoo．com